電磁気学Ⅰ演習 11 月 9 日
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問題
1.
B
右の図のベクトルについて以下の問いに答えよ
(1) ベクトル A, B の内積を|A|、|B|、θ を使って求めなさい
A・B =
|A||B|cos

(2) ベクトル A, B の外積 C を同様に求めよ。
さらに右図中に、C を書きなさい
|C| = |AB| = |A||B|sin
C は A, B に対して垂直方向
B

2.
A
次のベクトルの計算をしなさい。なお、A=(Ax,Ay,Az ), B=(Bx,By,Bz )とする。
 Ax   B x 
   
(1) A・B =  Ay    B y   Ax B x  Ay B y  Az B z ←各成分をかけて足す。
A  B 
 z  z
i
 Ax   B x 
   
 Ay    B y   Ax
(2) A×B = 
  
 Az   B z  Bx
j
Ay
By
k
Ay
Az 
By
Bz
Az
A
i z
Bz
Bz
Ax
Ax
j
Bx
Bx
Ay
k
By
 Ay B z  Az B y i   Az B x  Az B x  j  Ax B y  Ay B x k
A
3.
右の図のベクトル A と、
x, y, z 方向に対する単位ベクトル i, j,
k について以下の問いに答えよ。
y
 Ax   1 
   
(1) A・i=  A y    0   Ax
 A  0
 z  
j
A(Ax, Ay)
(2) A・j=Ay
z
(3) A・k=Az
B(Bx, By)
k
i
x
(4) 問(1)(2)(3)より、各単位ベクトルとの内積を計算することによって何が得られたか考えよ。
単位ベクトルとの内積を計算すると、ベクトル A の各単位ベクトルに対して並行な成分の大き
さが得られる。
i
 Ax   1 
   
 Ay    0   Ax
(5) A×i= 
  
 0   0 1
j
Ay
0
k
A
0  y
0
0
0
0
i
0
0
Ax
A
j x
1
1
Ay
k
0
  Ay k
|A×i|=Ay
(6) A×j=Axk
|A×j|=Ax
(7) A×k=-Axj+Ayi
(8) 問(5)(6)(7)より、各単位ベクトルとの外積を計算することによって何が得られたか考えよ。
単位ベクトルとの外積を計算すると、ベクトル A の各単位ベクトルに対して垂直な成分の大き
さを持つ新たなベクトルが得られる。ただし、このベクトルの方向は A と単位ベクトルの両方
に対して垂直方向となる。
(9) |A×B|は何を表すか考えよ。
(ヒント:どこかの面積)
|AB| = |A||B|sinとなる。一編を A、B とする平行四辺形の面積となる。
(章末問題より)→上記の問題が理解できた人は挑戦してみましょう。
任意のベクトル A は、任意の方向の単位ベクトル s を用いて、以下の式で表されることを証明せよ。
A=(A∙s)s+s×(A×s)
また、右辺の第 1 項と第 2 項はベクトル s に対してどちらの方向のベクトルになるか考えなさい。
第1項の(A∙s)は、A の s 方向の大きさ。その値に単位ベクトル s が掛けられているので、(A∙s)s
は A の s 方向の成分となる。第 2 項の(A×s)は、A のベクトル s に対して垂直な成分の大きさを持つ
A,sに対して垂直方向を向くベクトルとなる。そのベクトル s の外積を計算すると、s に対して垂直
方向を持つベクトルに変換される。その結果 A の s 方向に対して垂直な成分が得られる。
A ベクトルの s と平行な成分
(A∙s)s
A ベクトルの s と垂直な成分 A-(A∙s)s= s×(A×s)
4.
以下のベクトルを計算しなさい。
(x,y,z 成分表示にして)
  
 x 
 x 




(1) 勾配:φ=   y  

i   y j  z k
x
 y  x
y
z
  
 z 
 z 
  
 
 x    x 
   


(2) 発散:・A=      y  

  y  z
x
 y 
x
y
z
     z 
 
 z 
各成分の微分
各成分を微分して足し合わせる。結果は
ベクトルにならないことに注意!
  
 
 x    x 

      
 y   y  y
 
(3) 回転:×A=      z   y
 
 z 
 
   z
 y
5.


i

z
z
z
z



x j  x
x
x

y k
y
  
  
 
 y i    x   z  j    y   x k
z   z
x   x
y 
のとき、次の経路に沿って
から
まで A を線積分
しなさい。
(1) y 軸上を座標(0,0)から(0,1)まで、その後、x 軸に平行に(0,1)から(1,1)まで
 (x
2
 y 2 )i  2 xyj  dl  
( 0 ,1)
( 0, 0)
( x
2

 y 2 )i  2 xyj dxi  dyj  
C
1
  2 xydy
1
0
x 0
1
1
0
0
  ( x 2  y 2 )dx
0
y 1
  0dy   ( x 2  1)dx

(2) 放物線
4
3
に沿って
y  x および dy  2 xdx より、y を x に置き換えて計算する。
2
(1,1)
( 0 ,1)
( x
2

 y 2 )i  2 xyj dxi  dyj
 ( x
C
2




 y 2 )i  2 xyj  dxi  dyj   x 2  x 4 dx  2 x 3  2 xdx
1
0
1


  5 x 4  x 2 dx
0

6.
4
3
を座標(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)の 3 点を頂点とする三角形の平面 S で面積分せよ。
ただし、法線ベクトル n は原点から遠ざかる向きとする。
(1)3 次元座標上に求める平面 S を書きなさい
C(0, 0, 1)
(2)平面 S の関数を求めよ。
(x,y,z の関係)
二つの方法がある。
B(0, 1, 0)
(1)平面の関数を ax+by+cz=1 と置く。この平面は、
A,B,C 点を通ることから、それらの座標を式に代入
O(0, 0, 0)
し、未知数 a.b.c を求める。
A(1, 0, 0)
(2)ベクトルを使って解くことができる。右図より、
ベクトル W,V が形成する平面上にベクトル S があ
ると仮定する。
変数 a,b を用いて S=aV+bW と置くことで、
S
V,W が形成する平面上のすべての点を表現することがで
きる。
W
原点から平面上の点へのベクトルを P(x,y,z)と置く。
P=
+t
V
+s
S=aV+bW
 x   1    1   1
       
 y    0   t  0   s 1 
 z   0  1   0 
       
C(0, 0, 1)
P(x, y, z)
上記の式より、t と s を消すことにより、x,y,z の式が
B(0, 1, 0)
得られる。
O(0, 0, 0)
x  1  t  s
ys
z t
→
x  1  z  y
A(1, 0, 0)
(3)面積分を計算しなさい
(2)より、z=1-x-y が得られる。したがって、P(x, y, 1-x-y)となる。
z z

 1 となることから、教科書(1.28)式に代入して
x y
1 1 x
1
  x  y  (1  x  y)dydx  2
0 0
7.
図 7-1 に示すように z 軸を中心として回転する
y
流れを考える。中心からの距離に比例して速さ v は
大きくなると仮定する。 各問いに答えよ。

(1) 図 7-2 より速度 v の x,y,z 成分 vx, vy, vz を r とθ,

ωを用いて表せ。
 2
1 2
z
r
r
x

 v x    r sin( ) 
  

 v y    r cos( ) 
v  

0
 z 

図 7-1
位置と速度の関係
図 7-2
解析に用いる図
(2) r およびθと座標 x,y 関係より、 (1)の vx, vy, vz
を x、y、ωを用いて表せ。
x  r cos( )
より、(1)の結果を書き換えると
y  r sin( )
 v x    y 
  

 v y    x 
v   0 
 z 

(3) ×v=
を計算しなさい。またその結果と、回転の軸の関係について考えよ。




0  x 

z
  0 
  y   y

  

  
   x   
(y )  0    0   2k
x
 0   z
  2 




 (x)  (y ) 
y
 x

z 軸方向に 2ωの大きさを持つベクトルが得られる。このベクトルは回転軸の方向と等しい。
(x 軸、y 軸中心の回転についても同様の計算をやってみましょう)
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第1回目 演習問題の解答