時系列の予測

時系列:観測値を時刻の順に並べたものの集合

時系列モデルの予測(forecasting) –vs- 回帰分析の予
測(prediction)

時系列モデルの予測の場合、推定の基となるデータ
の領域外にある系列の値を推測しようとする(外
挿)
経済時系列の回帰分析:“ラグ”つきの説明変数を伴
う場合

ランダム・ウォーク
yt = yt - 1 + εt



または
yt - yt - 1  εt
時刻 t と t-1 における値の差がランダムな誤差
トレンドもパターンもない
εt の平均は 0  yt+1 の予測値は yt とするのが最
適
時系列解析の基本的考え方

時系列規則的な動きをする部分と不規則な部分と
に分けられる

規則的な動きをする部分は予測可能
規則的な動きをする部分




周期性を持つもの
トレンド(長期的傾向)を持つもの
良い時系列モデル=規則的な動きをなるべく多く説明
できるモデル
経済時系列の分解(古典的考え方)

長期的変動(T) 長期に渡る基本的な変動
滑らかな動き(直線、または滑らかな曲線)

周期変動(C) 景気変動など 3~10年周期
Tを中心として上下動を繰り返すもの

季節変動(S) 1年周期で循環を繰り返すもの

不規則変動(I) 規則性を持たない変動

加法モデル
乗法モデル

yt  Tt  Ct  St  It
yt  Tt  Ct  St  It
log yt  logTt  logCt  log St  log It
トレンドの分析


トレンド:時間を通じて安定的に増加、又は減少する傾向
直線的に増加、或いは減少する傾向がある場合
yt = α  β t  εt

曲線的傾向がある場合(非線形回帰)
yt =   e t   t

成長曲線(ロジスティック曲線)
A
yt =
1  e- t

 yt
 log 
 A  yt

    t


移動平均法:型を仮定せずに時系列を滑らかにする方法
yˆt =

 log yt= logα  β t  log εt
yt k  yt k 1    yt    yt k 1  yt k
2k  1
差分法(トレンド除去が目的の場合) yt = yt  yt 1
ロジスティック回帰(クロスセクションデータ)

従属変数が質的(二値)変数の場合
pi 
1
1  e  xi
 pi 
    xi   i
 ln

1

p
i 

誤差項の分散は不均一  正確な推定には加重最小二
乗法が必要
例)持ち家率を所得に回帰させる

オッズ比
季節調整

季節変動:移動平均法によって取り除くことが可能
季節変動、経済外的な理由で発生
政策などでは管理できない
分析の前に除去する場合も

センサス局法Ⅱ(X-12-ARIMA)

季節調整されたデータラグ(時間的遅れ)の構造、
解明できない
季節性のあるデータを用いた分析

四半期データの場合
ダミー変数法1
yt  α  β0 xt  β1Q1  β2Q2  β3Q3  εt
Qi : 第i四半期だけ1、後は0をとるダミー変数
ダミー変数法2
yt  α  β0 xt  β1Q1 xt  β2Q2 xt  β3Q3 xt  εt
時系列データの回帰分析


問題点:誤差が互いに独立でない恐れ
系列相関  分析は不正確に
yt = α  βxt  ut ut= ut-1  εt , -1  ρ  1
時系列データの分析の際には系列相関に注意

ダービン・ワトソン検定:1階の系列相関を検定
H0:ρ=0 (1階の系列相関無し)(DW ≈ 2)
H1:ρ>0 (系列相関あり)
(DW ≈ 0)
n
検定統計量

DW = t  2
(uˆt  uˆt 1 ) 2
n

t 1
2
uˆt
時系列モデルの例
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AR(1)
yt =   yt 1  ut

AR(p)
yt =   1 yt 1   2 yt 2     p yt  p  ut

分布ラグモデル y =   1xt   2 xt 1     p xt  p  ut
t
2015/11/18
自己相関係数
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時差 h ( h次)の自己相関係数

相関係数の時系列バージョン
自分自身の過去との相関を測る尺度
-1と1の間の値を取る
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
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
コレログラム:rh をhの関数みなしたもの
偏自己相関: ラグ内の要素の影響を取り除いた下で
の偏相関係数
11
2015/11/18
相互相関(交差相関)係数

2種類の時系列データxi , yiに対して 時間的先行遅
行関係まで考慮した相関係数

変数 x と h 期先行する変数 y との間の相関係数
12
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回帰分析