9月30日演習解答
[1]
複素共役は和積を保つので,
f (α) = a0 αn + a1 αn−1 + · · · + an−1 α + an = a0 ᾱn + a1 ᾱn−1 + · · · + an−1 ᾱ + an
ここで,a0 , a1 , . . . , an ∈ R なので,
a0 = a0 , a1 = a1 , . . . , an−1 = an−1 , an = an
したがって,
a0 ᾱn + a1 ᾱn−1 + · · · + an−1 ᾱ + an = a0 ᾱn + a1 ᾱn−1 + · · · + an−1 ᾱ + an
これから,f (ᾱ) = f (α) を得る.
補足.α = a + bi (a, b ∈ R) に対して ᾱ = a − bi と定義する.α, β ∈ C に対して α + β = ᾱ + β̄, αβ = ᾱβ̄
が成立する.さらに,α ∈ R ⇔ ᾱ = α.
[2]
1
1−i
1−i
1
1
=
=
なので,実部 = , 虚部 = − .
1+i
(1 + i)(1 − i)
2
2
2
[3]
( √3 1 )
(
√
π
π)
(1) 3 + i = 2
+ i = 2 cos + i sin
2
2
6
6
(2) 2 = 2(cos 0 + i sin 0)
[4]
√ ( 1
−1 ) √ (
7π
7π )
7π
2 √ + i √ = 2 cos
+ i sin
なので,偏角 =
.
4
4
4
2
2
√
√
(2) 1 + 2 + i = 2 + (1 + i).ここで,
(1) 1 − i =
√
√
√ ( 1
1 ) √ (
π
π)
2 = 2(cos 0 + i sin 0), 1 + i = 2 √ + i √ = 2 cos + i sin
4
4
2
2
π
.
8
√
(1
(
√
− 3)
5π
5π )
5π
(3) 1 − 3i = 2
+i
= 2 cos
+ i sin
なので,偏角 =
.
2
2
3
3
3
√
7π
5π √
π
, arg(1 − 3i) =
, 3 + i = なので,
(4) arg(1 − i) =
4
3
6
なので,偏角 =
偏角 =
7π 5π π
43π
19π
+
+ =
=
4
3
6
12
12
[5]
(2 + i)2 − 4(−1 − 2i)(8 + 10i) = (3 + 4i) − 4(12 − 26i) = −45 + 108i = 9(−5 + 12i) = 32 (2 + 3i)2 なの
で,二次方程式 (−1 − 2i)x2 + (2 + i)x + (8 + 10i) = 0 の解は
4 + 8i
−(2 + i) − 3(2 + 3i)
−8 − 10i
4 + 5i
2
−(2 + i) + 3(2 + 3i)
=
= −2,
=
=
= (14 − 3i)
2(−1 − 2i)
2(−1 − 2i)
2(−1 − 2i)
2(−1 − 2i)
1 + 2i
5
で与えられる.
ダウンロード

f(α) = a0αn + a1αn−1 +