力学
1.スケールの話。
2.いろいろな力。
3.3次元空間内の運動の表現
動径ベクトル
4.速度ベクトル、加速度ベクトル。
1
力学とは
mechanics
力や運動を扱う物理の分野。
いろいろな力学がある。
流体力学、粉体力学、量子力学などもある。
物理学1では、力学の基礎を扱う。
2
物理は数学と関係が深い。
ニュートン Isaac Newton
17世紀後半-18世紀初
イギリスの自然科学者
数学も物理も研究していた。
・力学の基礎
・二項定理
・微積分の基礎
3
長さのスケール。
量子力学
素粒子
物理学
古典物理(力学、電磁気)
物性
物理
100
10-10
水素の半径
(ボーア半径)
0.5Å
1010
m(メートル)
=1
細胞の大きさ
ナノ 1μm(10-6)~10μm
(10-9m)
金属原子の
半径
宇宙物理
生物物理
人間の身長
1.5-1.8mくらい
地球1周
4x107m
太陽までの最短距離
1.5x1011m
(半径6400km)
医学が扱う
領域
1Å=10-10m
オングストローム
単位を覚えておこう。
マイクロ(μ)= 10-6 = 1/1,000,000
ナノ(n)=10-9
4
-12
ピコ(p)=10
長さのスケール。
マイクロ(μ)=10-6
ナノ(n)=10-9 n:nine (9) と関係
ピコ(p)=10-12
フェムト(f)=10-15
fifteen(15)
5
いろいろな物理量と人体
・長さ
身長、臓器の大きさ、ガンの大きさ、
・時間
人間の寿命、1日の長さ、1分間の脈拍、呼吸の回数
・速度
歩く速度、走る速度、血流の速度。
・質量
体重
・力
筋肉にかかる力、スポーツ
・振動数 音を聴く。
・圧力
血圧
・電荷
神経系の電気シグナル
・熱、仕事 食物として取り入れるエネルギー、運動で使うエネルギー
・温度
体温
しかし定量的に測りにくい場合も当然ある。
定性的な判断:
例) X線の画像を見て、ガンがあるかどうか判断。
6
いろいろな力:
1.重力
人体にとって大事な力。
重力に逆らって血液を流す必要がある。
無重力下で人体はどうなるか?
・宇宙飛行士の測定。
骨のミネラルが失われる。
適度な重力が人体に役立つ。
m
mg
7
いろいろな力:
2.摩擦力
摩擦が全然ないと、滑って歩けない。
静止摩擦係数 μ
N(抗力)
N
μN
摩擦力 μN
歩くには、μ> 0.15が必要。
これより摩擦が小さいと滑って転びやすい。
乾いた道路上のゴムタイヤ:μ=1.0程度
濡れた道路上のゴムタイヤ:μ=0.7
関節: μ=0.003
8
食べ物を飲み込む時、唾液によって摩擦係数を減らしている。
(乾いたトーストは食べにくい。)
3次元空間のベクトル
9
なぜベクトルを考えるか?
力学は力や運動を扱う。
3次元空間での、位置、速度、加速度や
力を考える時に、ベクトルが扱いやすい。
10
スカラーとベクトル
ベクトル vector
大きさと方向を持つ量
成分の数は、
3次元ベクトルなら3つ。
2次元ベクトルなら2つ。
例:速度ベクトル、力のベクトル
スカラー scalar
大きさを持つが、方向を持たない量
成分の数が1個。
例:質量m、時間t、温度T、体積V
ベクトルではないことを強調したい時に、
「スカラー」ということが多い。
11
力はベクトル。
教科書p.3
大きさと向きだけでなくて、
作用点も大事。
物理のベクトルは、
平行移動できない。
作用点
問題 隣の人と2人1組になり、お互いの手に
力をかけてみて下さい。
力の大きさ、向き、作用点を変えてみて下さい。
12
1a1ベクトル場.ppt
page = 5
ベクトルの矢印
追加ページ
y
(1,3)のベクトルを図示せよ。
(数学のベクトルとして)
数学の場合は特に指示がなければ、
原点を始点にして、
x方向1, y方向に3進んだ点を
終点とする矢印を書く。
-1
3
2
1
1
0
-1
2
x
13
1a1ベクトル場.ppt
page = 7
補足:ベクトル
数学のベクトル:自由に平行移動してよい。
y
ベクトルの成分表示
A  3,2
2
1
0
1
2
x
物理のベクトル:平行移動できない。
y
作用点(始点)が大事。
例:点(1,1)において、
ベクトル(3,2)を書け。
2
1
0
1 2
x
14
3次元の軸の書き方
z
z
右手系
O
x
こちらを
使います。
(業界標準)
O
y
左手系
x
y
回転させても、重ならない。
右手系の書き方。
・xy平面(xが東、yが北)に対してz軸を上向けに書く。
・野球の場合、x軸は1塁方向、y軸が3塁方向、z軸が上向け。
15
3次元の軸:補足
・指で覚えるのは間違えやすいので、避けた方がよい。
右手の親指:x, 人差し指:y, 中指:z
なぜ右手系か左手系の片方に決めた方がよいか。
回転の方向を説明する時に必要。
例:「x軸からy軸に回る方向」
(後で出てきます。)
16
基本ベクトル
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル(長さ1)。
座標で書くと、
z
e x  (1,0,0)
ez
e y  (0,1,0)
e z  (0,0,1)
教科書では
i, j, k
ex
O
y
ey
x
と書いている。
電流、虚数単位、波数などと間違えやすいので、授業では、
を使っている。
e ,e ,e
17
x
y
z
動径ベクトル
r
radius vector
位置ベクトルとも言う。
r  xe x  ye y  zez
z
ある原点Oからのベクトル。
P(x,y,z)
r
ez
ex
x
O
ey
y
注意:数学のベクトルは平行移動できるが、
物理のベクトルは平行移動できない物が多い。
動径ベクトルも平行移動できない。
(位置が変わってしまう。)
18
2次元の場合の
基本ベクトル
ex , e y
x軸、y軸方向の単位ベクトル(長さ1)。
座標で書くと、
e x  (1,0)
e y  (0,1)
y
ey
x
O
ex
19
動径ベクトルを使う理由
r  xe x  ye y  zez
力学は物体の運動を調べる。
運動を見るには、まず場所を知る必要。
動径ベクトルで、「どこにいるか?」を
記述する。
座標(x,y,z)よりも、ベクトルrで
記述した方がわかりやすい場合がある。
20
動径ベクトルの2つの説明
r  xe x  ye y  zez
説明1
成分を使う。
右辺=x(1,0,0)+y(0,1,0)+
x
z(0,0,1)
=(x,y,z) 左辺になる。
z
P(x,y,z)
r
ez
ex
O
ey
y
説明2
動径ベクトル(赤い矢印)
=黄色の矢印+ 緑の矢印 + 茶色の矢印
= xe x  ye y  ze z
21
動径ベクトルの補足
動径ベクトルは、原点から物体がいる点までの
ベクトル。
半径の方向と長さが
物体
変わっていくイメージ。
動径(動く半径)
と呼んでいる。
記号rを使う理由は、
英語でradius(半径)
のため。
原点
22
微分
1.スカラーの微分(高校の微分)
2.ベクトルの微分
23
なぜ微分が必要か?
動径ベクトル
ベクトルの微分の意味は、
後でやります。
微分
速度ベクトル
2階微分
微分
加速度ベクトル
24
微分の定義
教科書p.367-368
differentiation:微分(名詞)
differentiate: 微分する(動詞)
似ている単語:
difference: 差
y = f(x) の微分
df
f ( x  x )-f ( x )
 lim
dx x→0
x
関数
Δ
Δx
lim
lim
x 0
デルタ と読む。
xが少し変化した量
引き算と割り算
limitの略。極限、限度。
Δxが0に近づいた時の値。
xが少しだけ変化した時に、y=f(x)がどのくらい変化するか
割合を示す。 微分の図形的意味は次のページへ。
25
微分の補足
Δxとは xの増分(=増加した分)
もし、xがΔxだけ増えると、
x → 0
x
x + x
x
とは
x
がどんどん小さくなること。
26
直線の傾きとは
y
Δy
Δx
0
y
直線の傾き=
x
x
傾斜が急かどうかを表す。
27
曲線の傾きとは?
その点での接線の傾き。
場所によって傾きが違う。
青い点での傾き大きい
赤い点での傾き小さい
28
接線の傾きをどう定義するか?
y=f(x)
直線の傾きを求めるには、2点必要.
29
接線の傾きをどう定義するか?
赤い点での傾きを求めるには、
曲線上の点(黄色)との傾きを求める。
黄色、緑、青と近づけると、
赤い点での傾きに近くなっていく。
30
微分の図形的意味
y
df
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x0
x
y=f(x)
f(x+Δx)
接線
f(x)
x
青い点線の傾きが
x+Δx
x
f ( x  x )  f ( x )
x
Δxが0に近づくと、青い実線に近づいていく。
df
dx
は接線の傾きを表す。
31
補足:次の2つの式は同じ。
f ( x  x )-f ( x )
lim
x →0
x
f ( x  h )-f ( x )
lim
h →0
h
2階微分
df
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x0
x
もう1度微分したものを2階微分と呼ぶ。
d f
d  df 
  
2
dx
dx  dx 
2
2の位置に注意。
別の書き方
df
 f (x)
dx2
d f
( 2)


 f ( x)  f ( x)
2
dx
33
微分の補足
df
dx
の意味
d
f
dx
d
dx
あるいは
という微分操作を関数fに対して
したと見ることができる。
d 
 f
 dx 
fを分離して
書くことがある。
この微分操作を2回した時の記号は、
2
d 
  f と書くこともできるが、簡単に
 dx 
d2 f
と書くことが多い。
2
dx
2の位置は、分子はdの右上、
分母は変数(この場合はx)の右上。
34
「べき」とは
漢字で書くと、「冪(べき)」
べき乗、累乗とも言う。
英語では、power
2
ここを「べき」と言う。
5
two to the 5th power
two to the power of five
べき関数: power function
2
x ,x
5
など、べきの形になった関数
35
べき関数の微分
df
f ( x  x ) - f ( x )
 lim
dx x→0
x
微分の定義は
数2の復習
問題 微分の定義を使って、次の関数の微分を求めよ。
a) f (x) = c(定数)
b)
f (x) = x
c)
f ( x)  x
d)
f ( x) = x 3
e)
f ( x)  x
2
n
nは自然数
36
微分の定義を使った計算:注意
数2の復習
df
y
f (x + x ) - f (x )
= lim
= lim
dx x →0 x x →0
x
最初からΔx=0を代入すると、分母=0、分子=0になって、
0÷0でわからなくなってしまう。
先に右側の計算(引き算と割り算)を実行して、
整理できることはしてから、最後にlimをとる。
(Δx=0を代入する。)
37
二項定理の復習
数2
n
(a  b)   n Ck a b
n
k
nk
k 0
n!
n Ck 
k!(n  k )!
n
k! k (k  1)(k  2)...1
C0  1, n C1  n
38
ベクトルの微分
スカラー(成分が1個のベクトル)の
場合と同じ
dA
A(t  t )  A(t )
 lim
dt t 0
t
少しの時間Δt だけ経過した時のベクトルの変化の割合。
A(t  t ) と A(t ) は一般には、方向も長さも変わる。
A(t  t )
A(t )
39
ベクトルの足し算と引き算
C AB
40
速度
動径ベクトル
速度ベクトル
dr
v
dt
1次元だと、
dx
v
dt
r
に対して、
dA
A(t  t )  A(t )
 lim
dt t 0
t
ある時間に、どのくらいの距離進むか。
例:一定の速さで動き、3秒間で
15m進んだとしたら、v=15/3=5m/s
42
速度と加速度
動径ベクトル
速度ベクトル
r
に対して、
dr
v
dt
dA
A(t  t )  A(t )
 lim
dt t 0
t
加速度ベクトル
2
dv d r
a  2
dt dt
速度の意味:
ある時間に位置がどのくらい変化するか。
加速度の意味:
ある時間に速度ベクトルがどのくらい変化するか。
問題 消しゴム(または筆記用具)を使って、
以下の運動を実演してみてください。
(1)大きな速度の運動と、小さな速度の運動。
(2)大きな加速度の運動と、小さな加速度の運動。
a) 直線運動の場合
b) 曲がる運動の場合
43
動径ベクトルの補足
動径ベクトルは、原点から物体がいる点までのベクトル。
半径の方向と長さが
変わっていくイメージ。
物体
動径(動く半径)
と呼んでいる。
記号rを使う理由は、
英語でradius(半径)
のため。
原点
例:野球場でボールの場所を表すのに、
ホームベースを原点にして、ボールまでのベクトルを
動径ベクトルにする。
44
速度ベクトルの補足
動径ベクトルがどう変化するか。
その瞬間の進む方向
r(t + t ) - r(t )
r(t )
r(t + t )
r (t + t ) - r(t )
v (t ) = lim
t →0
t
記号vを使う理由: velocity(速度)のため。
45
加速度ベクトルの補足
曲線の場合
v(t + t )
v(t )
v(t + t ) - v(t )
v(t + t )
v(t + t ) - v(t )
a(t ) = lim
t →0
t
曲がる時は内向きの加速度
v(t )
(右折する時は、右向きの加速度)
記号aを使う理由: acceleration (加速)の頭文字。
46
運動方程式 equation of motion
ma  F
質量
加速度
(スカラー) (ベクトル)
教科書p.11
ニュートンの運動の第2法則
とも呼ぶ。
力
(ベクトル)
力を受けると、物体は運動する。
dr
v
dt
2
dv d r
a  2
dt dt
力と加速度は同じ方向。
しかし、力と速度は同じ方向とは限らない。
力と位置ベクトルは同じ方向とは限らない。
48
運動方程式:力により運動が起こる。
ma  F
質量
mass
力
加速度
force
acceleration
運動は目に見える。
教科書p.11
参考
映画Star Wars
「Use your force」
自分の力を使え。
力は目に見えない。
ニュートンさんは、運動(木からりんごが落ちる)を見て、
力の法則を発見したと言われている。
49
運動方程式は経験則
ma  F
運動方程式は、他の式から証明する式ではない。
経験則(経験や実験と合う)。
質量一定なら、加速度と力は比例。
加速度一定なら、質量と力は比例。
力が一定なら、質量と加速度は反比例
50
力の種類
ma  F
力Fにはどのようなものがあるか? たとえば、
・重力
・摩擦力
・電荷が電場から受ける力
・電流が磁場から受ける力
・分子と分子の間に働く力
・人間の体内のタンパク質が他のタンパク質や水から受ける力
・地震の時に、地面から受ける力。
-> 大きな力を受けると、建物が倒れたり、
水が動いて津波になる。
東北新幹線は、最初の地震波(P波)を検出して、
自動的に新幹線への電気を停止。減速した。その後にS波。
脱線や人身事故がなかった。
51
参考:ゲームクリエーターの試験
ゲーム会社の就職(ゲームクリエーター)で
力学や数学の試験がある所もあります。
力学:重力がある場での落下物を正しく表現できるか。
数学:3Dゲームを作るには、
3次元の座標変換、行列。
プログラミング言語、ゲーム作成経験も必要です。
52
運動方程式と微分方程式
ma  F
d 2r
a 2
dt
r
力
より
2
d r
m 2 F
dt
は物体のある時間での位置を表す。
F
がわかっている時、
r
を求めたい。
r を求めることを、「運動を解く」と言う。
微分方程式(微分を含む式)を解く必要。
53
微分方程式を解くとは。
微分方程式:
例:
関数の微分を含む式
dy
 a (定数 )
dx
y  ax  b
いろいろな関数の微分を知っていれば、
微分方程式を解くことができる(場合もある。)
問題 次の微分方程式を解け。
dy
(1) dx  x
dy
2

x
(2)
dx
2
d
y
d y
0
2

b
(3)
(4)
dx
dx2
2
55
三角関数の微分
三角関数は、物理でよく使います。
56
角度
(数2の復習)
y

O
平面角:
半径1の円上の弧の長さ。
0から2πの範囲。
x
単位:ラジアン(rad)
180°
= πラジアン
57
三角関数の復習
y 1
sin 
1

-1
O
cos 
1
x
sin 

cos 
sin 
tan  
cos 
-1
問題 次の関数のグラフを書け。
y  cos x
y

sin
x
(2)
(1)
(3) y  tan x
58
三角関数の加法定理(数2の復習)
(1)
sin( + ) = sin  cos + cos sin 
cos( + ) = cos cos - sin  sin 
問題1.
問題2
(2)
加法定理(2)を証明せよ。
加法定理(2)から(1)を示せ。
問題1のヒント:単位円(半径1の円)上に角度(α+β)の
三角形を書く。図のP, A, Q, Rの座標を書き、PA, QRの長さ
を求める。PA=QRを使う。
y
y
P
 +
O
A
x
O
Q


R
x
59
三角関数の合成(数2の復習)
a sin  + b cos = r sin( + )
ただし、
r = a +b
a
cos = 2 2
a +b
2
2
sin  =
b
a +b
2
2
問題 上の合成の式を証明せよ。
ヒント:加法定理を使う。
60
三角関数の微分
数3の内容
df
f ( x  x)  f ( x)
 lim
dx x0
x
微分の定義(復習)
結果は教科書p.368の表にもある。
問題1
問題2
微分の定義を用いて、
f ( x )  sin x に対して
を示せ。
f ( x )  cos x
を示せ
に対して
df
 cos x
dx
df
 - sin x
dx
ヒント:三角関数の加法定理を用いる。
61
三角関数の和と差の公式(数2の復習)
sin( + ) = sin  cos + cos sin 
cos( + ) = cos cos - sin  sin 
(1)
(2)
sin x
lim
 1 の説明
x 0
x
数Ⅲで学ぶ
y
y=x
y= sin x
0
π
2π
x
・原点でsinxの傾きは1, 接線はy=x
63
グラフを使った説明
sin x   cos x
「微分は接線の傾き」を使う。
1
y
y  sin x
0
π
y  cos x
2π
x
・原点でsinxの傾きは1.cos xの値も1.
・sinxの頂上(x=π/2)で傾きは0.cos xの値も0
64
三角関数の微分方程式
三角関数は、物理の「振動」で使います。
65
微分方程式を解くとは。
微分方程式:
例:
関数の微分を含む式
dy
 a (定数 )
dx
y  ax  b
いろいろな関数の微分を知っていれば、
微分方程式を解くことができる(場合もある。)
問題
次の微分方程式を解け。
2
dy
2
dy
d
y
(1)
 sin x (2)  cos x (3)d y
 cos x
(4)

sin
x
2
dx
2
dx
dx
dx
2
2
d
y
d
y
(5)
  y (6) 2  Cy C  0
2
dx
dx
66
(6)の補足
合成関数の微分
dy dy du

dx du dx
教科書p.369
y  sin ax の微分を求めたい時、
dy
 cos u
u  ax とおくと、 y  sin u
例
du
du
a
dx
dy dy du
dy

a
 a cos ax
dx du dx
du
2
d y
2
2
 a sin ax  a y
2
dx
67
微分方程式について詳しく勉強したい方は。
大きな書店に行くと理工系書の棚に
「微分方程式」という題名の本がたくさんあります。
数学科向けの本と、一般理系向けの本があります。
数学科向けの本は難しいので避けた方がいいです。
中をよく見てから買いましょう。
「常微分方程式」(物理数学シリーズ) 、
渋谷仙吉・内田伏一著、裳華房、
ISBN 978-4-7853-1515-3
「常微分方程式」(理工系の数学入門シリーズ)、
矢嶋信男著、岩波書店、ISBN 4-00-007774-0
「常」微分方程式とは、変数が1個だけの微分方程式です。
(例:xの関数を求める。)
「偏」微分方程式は、変数が2個以上の微分方程式です。
68
(例:x, y, zの関数f(x,y,z)を求める)
運動方程式の例1
ばね
69
バネの運動方程式
例1:強さkのバネに質量mのおもりがついている場合、
バネの、伸びxに比例した力F=-kxで
縮ませようとする力が働く。
壁
F
 kx
k 0
x
したがって運動方程式は、
d 2x
m 2  kx
dt
(tは時間)
問題1 上の微分方程式を解いて、運動を求めよ。
(意味:xをtの関数として求めよ。)
70
バネの運動方程式、補足
バネが物体に及ぼす力
F
 kx
k 0
x>0の時、バネは伸びている。
壁
この時は、バネを縮ませようとする力が
マイナス方向に働く。
よってkxの前にマイナスがつく。
運動方程式は、
x
2
d x
m 2  kx
dt
(tは時間)
71
補足
x(t )  A sin t  B cost
k
 
m
2
x
発展問題
三角関数の合成を用いて、
x(t )  C sin t  
と書けることを示せ。
と A, B の関係を書け。
また。 C , 
このような運動を「単振動」と呼ぶ。
ωを角振動数と呼ぶ。
-> 教科書p.17
72
単振動の角振動数と周期
x(t )  A sin t
k
 
m
2
k
 
m
sinφのφの部分を「位相」と呼ぶ。単位はrad(ラジアン)
ωは角速度または角振動数と呼ばれる。
単位はrad/s。単位時間当たりに何rad進むかを表す。
sin関数の周期は2π(=360°)。
1周するのに必要な時間を周期と呼ぶ。Tとおくと、
T  2
2
m
T
 2

k
73
補足
初期条件とは:
出発地点の位置rと速度vのこと。
74
運動方程式の例2:重力
75
基本ベクトルの復習
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル(長さ1)。
もし軸が動かない場合は、座標で書くと、
z
e x  (1,0,0)
e y  (0,1,0)
ez
ex
e z  (0,0,1)
O
y
ey
x
参考:動く電車の中で基本ベクトルを考える場合は、
基本ベクトルは時間の関数になるので、
時間で微分して0にならない場合がある。
76
動径ベクトル
復習
r
位置ベクトルとも言う。
r  xe x  ye y  zez
z
原点Oから物体までのベクトル。
r
ez
ex
x
P(x,y,z)
O
ey
y
r  x(1,0,0)  y(0,1,0)  z(0,0,1)  ( x, y, z)
77
動径ベクトルを微分する。
r  xe x  ye y  zez
補充問題(前ではやりません)
e ,e ,e
基本ベクトル
が定数(動かない)の時、
x y z
動径ベクトルを微分して以下を示せ。
dr dx
dy
dz
 dx dy dz 
v   ex  e y  ez   , , 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
d x d y d z
dv d x
d y
d z
a   2 e x  2 e y  2 e z   2 , 2 , 2 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
2
ヒント:積の微分法
2
2

 fg   f g  fg 
2
2
を使う。
2
78
運動方程式の例:重力場中
ma  F
質量x 加速度
=力
例2:重力が質量mの質点に働いているなら、
z
下向けにmgの力を受ける。
mg
gは重力加速度。
y
g= 9.8 m/s2
x
ベクトルで書くと、  m ge z
運動方程式は、
はz軸方向に
2
e
z
d r
上向けの長さ1の
m 2  m ge z
ベクトル。
dt
成分で書くと、
tは時間
(0,0,1)
問題2 例2の運動方程式の両辺を、x,y,z成分で書け。
微分方程式を解いて、運動を求めよ。(一般解を求めよ。)
79
例2:x方向の運動からわかること。
x方向の運動
d 2x
m 2 0
dt
d 2x
0
2
dt
質量mは0ではないため
dx
 vx0
dt
x(t )  vx 0t  x0
力を受けない方向には、等速度で進む。
・野球のボール場合には、空気抵抗があるので、
速度はだんだん小さくなる。
では、一定の力を受ける場合は? → 次のページへ。
80
z方向の運動からわかること。
d 2z
d 2z
m 2  m g
 g
2
dt
両辺をmで dt
2
割る
gt
z (t )  
 vz 0t  z0
2
dz
  gt  v z 0
dt
右辺にマイナスがある理由
z座標は上向けにプラス。
重力は下向けに働く。
一定の力を受ける場合は、
・落下の速さ(速度の絶対値)がどんどん大きくなる。
・落下距離は、時間tの2次関数になる。
問題 原点から出発、初速度がx方向の時の
速度、動径ベクトルの各成分を求めよ。
さらに、xとzの式から時間tを消去して、zをxの関係として
表し、軌道が放物線になることを確認せよ。
81
ネアンデルタール人とクロマニヨン人の話
・ネアンデルタール人の骨が発見された。
・肋骨に槍(やり)による傷跡。
斜め45度から。
・ネアンデルタール人は森で生活。
近くまで行ってから、動物を槍で刺していた。
・一方、クロマニヨン人は、大平原で暮らしていた。
遠くの動物に槍を投げて刺す。
・ネアンデルタール人はクロマニヨン人に
殺されたのかも。
82
補足
初期条件とは:
出発地点の位置rと速度vのこと。
83
運動方程式からわかること
運動量、力積、運動エネルギー
84
運動方程式
ma  F からわかること
問題1: 運動量 p  mv を使って、
運動方程式は
dp
と書けることを示せ。dt
F
運動量:
運動の勢いを現す。
教科書p.51-52
問題2:前問の結果より、
t2
p  p   Fdt
力積により
運動量が変化する。
2
1
t1
を示せ。
教科書p.55
問題3:運動方程式と速度ベクトルの内積を
とることにより、
P1
1
1
2
2
m v 1  m v 0   F  dr
P0
2
2
を示せ。
運動エネルギーの変化=仕事
85
教科書p.20
運動量
momentum
p  mv
運動量
= 質量
x 速度
重い物ほど運動量が大きい。速いほど運動量が大きい。
衝突の時の勢いを表す。方向も示す。
dp
F
dt
力を受けると、運動量が変化する。
86
力積(りきせき)

t2
t1
Fdt
impulse
力積=力
x 時間
運動量の変化は力積に等しい。
t2
p 2  p1   Fdt
t1
87
仕事
F

d
r

work
・内積
F
仕事=力 x 距離
dr
経路に沿った微小長さ。接線方向
dr
(微小=非常に小さい)
例:水平面上に物体があり、
水平から60度の角度で5Nの力を加えて
3m引っ張った場合、した仕事は、
5N x 3m x cos60°=7.5N・m
88
運動エネルギー
kinetic energy
1 2
mv
2
1
2
運動エネルギー   質量  速度
2
89
単位の話
ma  F
SI (MKS)単位系
International System of Units
Le Système International d'Unités
力学では、次の3つを使う。
時間 s(秒)
長さ m(メートル)
質量 kg(キログラム)
参考:SIではない単位の例
長さ:マイル、フィート
面積:アール、ヘクタール
体積:ガロン
質量:ポンド
熱量:カロリー
secondの略
90
ma  F
単位の問題
下記の単位をSI単位系で書け。理由も書くこと。
問題1
動径ベクトル
問題2
速度と加速度
問題3
力の単位、N(ニュートン)
ヒント:運動方程式を使う。
問題4
運動量
問題5
p  mv
運動エネルギー
1
2
mv
2
の単位、J(ジュール)
91
偏微分、
gradベクトル、
-> ポテンシャル
92
偏微分:2変数以上の関数で、1つの変数について微分する
教科書p.376
p( x, y )
 q( x , y )
x

x
:xについて微分する。(yを一定とみる)
「偏微分(へんびぶん)」と呼ぶ。
図形的には、z=p(x,y)の関数を、
y一定の断面で見た時の、傾き
z
問題:関数z=p(x,y)=xyを図示せよ。
また
p ( x , y )
を求めよ。
x
y
x
93
偏微分の記号

f
x
読み方はいろいろある。
・ラウンドディー
・パーシャルディー
・ディー
英語では、
・rounded d
・partial d
・d
英語なら、rounded f over rounded x
partial derivative of f with respect to x
日本語なら、ラウンドx 分の ラウンドf
fのxに関する偏微分
または ディーf, ディーx
(これだと普通の微分と同じ読み方になるので、
ラウンドの方がよい。)
94
偏微分の記号の書き方

f
x
数字の6(ろく)をそのまま書かないこと。
左右ひっくり返して書く。
アルファベットのd(ディー)ではない。
ギリシャ文字のδ(デルタ)ではない。
ギリシャ文字のσ(シグマ)ではない。
ミニワーク
f
偏微分の記号に注意しながら、
をアンケート用紙の
x
上部に大きくはっきり3つ書いて下さい。
95
2変数関数のグラフの書き方
z  p( x, y)  x  y
2
2
z
x,y,zの表を作る。
x y
0 0
0 1
1 1
など。
z
0
1
2
x
1
1
y
xとyの値を与えた時に、zの値をプロットする。
96
偏微分の例
p( x, y)  x y  sin x cos y
3
xについての偏微分
2
(yは定数だと思って微分する。)
p( x, y )
2 2
 3x y  cos x cos y
x
yについての偏微分 (xは定数だと思って微分する。)
p( x, y)
3
 x  2 y  sin x  ( sin y)
y
 2 x y  sin x sin y
3
97
z=xyのグラフ
・原点、x軸、y軸を通る。
・第1象限、第3象限でz>0,
他の象限でz<0
・y一定で、(x,z)=(0,0)を
通る直線。
傾きは、y。
・x=yの時、z=x2の放物線
gnuplotを
使って書いた。
98
場(ば)
field
空間の各点で、スカラー(数字)やベクトルが
定義されている。
y
スカラー(数字)の場合
y=f(x)
1次元上(変数1個)なら、2次元のグラフ。
曲線で書ける。
x
2次元上(変数2個)なら、3次元のグラフ。
曲面で書ける。
z
y
x
99
場の微分を考える。(後で電磁気でも使う。) 教科書p.27
    
grad  
,
,

y
z 
 x
グラジエント、と読む。
問題1
 :ファイ
(ギリシャ文字)
「勾配」の意味。



   ,
,

 x y z 
grad  
問題2
←ベクトル
を使えば、  ナブラ演算子とも
呼ぶ。
逆三角形。
と書けることを示せ。
(Δではない)
 ( x, y )  xy に対して
grad を計算して図示せよ。
ヒント:(x,y)平面のいろいろな点で、矢印を書く。
100
ベクトル場
xy平面で、ベクトル場(y,x)を描く。
書き方:
点(x,y)において、始点が(x,y)の矢印(y,x)を描く。
例
(1,0)点でベクトル(0,1)
(-1,0)点でベクトル(0,-1)
y
0
1
x
101
斜面の例
z  ( x, y)  x
は平面を表す。
斜めの面を無限まで
延長した平面
(チーズを斜めに切った
ような面)
z
y
x
この面の傾きを考える。
102
斜面
z  ( x, y)  x
グラジエントを計算する。
 x

1
x x
 x
(yで偏微分する時は、xは定数と見る

 0 ため)
y y
y
   
grad   ,   (1,0)
 x y 
x
103
斜面
z  ( x, y)  x
上から見ると、
y
P
P
z
y
x
x
0
点Pでの勾配(傾斜、傾き)を考える。
赤い方向は、坂を上がる。勾配が最大。
青い方向は、同じ高さ。勾配ゼロ。
緑の方向は、坂を下る。
z  ( x, y)  x のグラジエントは、
grad ( x, y)  (1,0) で赤い方向になっている。
グラジエントベクトルの方向は、勾配が急な方向。
大きさは、坂の勾配に等しい。
104
gradの幾何学的意味。
df
1変数の関数f(x)なら、
dx
は曲線y=f(x)の傾き。
(高校の数学)
2変数関数g(x,y)の場合:
z=g(x,y)とすると3次元空間内の曲面になる。(例はg=xy)
曲面上の点Pを決めても、傾きは方向によって違う。
変分を考えると、
g
g
dg 
dx 
dy  ds  grad g
x
y
ds  (dx, dy)
grad gは場所を決めると、方向も含めて1通りに決まる。
変分(dx,dy)は、grad gと同じ方向にするとdgが最大になる。
つまりgの変化が最大になる。
傾きがベクトルgrad gの長さになる。
3変数関数φ(x,y,z)の場合も同様。
105
grad φは、φの変化が最大になる方向を向き、大きさは勾配
    

grad  
,
,
y
z 
 x
グラジエント
関数をxで偏微分したものをx成分にする。
gradの図形的意味:2変数x,yの場合
z   ( x, y)
の傾きが最大になる方向が
例:山を登る場合。
grad
z

x はy一定の時のx方向の変化。
  と 
106
grad

の大きい方に近い方向を、
は向く。
y
x
ここから物理に戻る。
ポテンシャルの話
107
経路に沿った積分
(大学の物理では使う)
教科書p.26
ある点AからBまでの経路に沿って
質点が力
を受ける。
この力が質点にする仕事は、
F
B
B
WAB   F  dr
経路に垂直な成分は
A
A
仕事に寄与しない。
もしこの仕事が経路によらず、始点Aと終点Bだけで
決まる時、力 F は保存力であると言う。
B
WAB   F  dr  U (rA )  U (rB )
A
と書ける。この時のUをFのポテンシャルと言う。
108
保存力の場合、始点と終点で決まる。
教科書p.29
B
WAB   F  dr  U (rB )  U (rA )
A
この時
F(r)   gradU (r)
と書くことができる。
力を積分すると
ポテンシャルになる。
ポテンシャルを微分すると
力になる。
マイナスがつく理由
-> 後でエネルギー保存則にしたいため。
物体に仕事をすると、物体の運動エネルギーが上がる。
では代わりに下がるものは何か?
109
これをポテンシャルエネルギーと考える。
保存力の問題
問題
教科書p.29
力が保存力Fcと非保存力(経路による力)F’の和
であるとする。
F’が経路に垂直な時、力学的エネルギー
(運動エネルギー+ポテンシャルエネルギー)が
保存することを示せ。
110
運動方程式からわかることの3番
P1
1
1
2
2
mv1  mv 0   F  dr
P0
2
2
復習
教科書p.20
運動エネルギーの変化=仕事
物体に仕事をすると、物体の運動エネルギーが上がる。
では代わりに下がるものは何か?
それをポテンシャルエネルギーと考える。
U (r )   F  dr
111
力学的エネルギーの保存則
教科書p.30
保存力をFc, 非保存力(経路による力)をF’とすると、
B
B
B
1
1
2
2
m vB  m vA   (Fc  F)  dr   Fc  dr   F  dr
A
A
A
2
2
B
 U A  U B   F  dr
A
非保存力がゼロ、あるいは、経路に常に垂直なら、
右辺第2項の積分はゼロ。
1
1
2
2
mv A  U A  mv B  U B
2
2
力学的エネルギーの保存則
112
保存:
保存する
conserve (保存する)、conservation (保存)
=
(ある条件の下で何かが)一定である。
(1)力学的エネルギー保存則
1 2
mv  U  一定
2
(2) 運動量保存則
外力がなければ、運動量は一定。
t2
p 2  p1   Fdt
t1
の右辺がゼロの場合に対応。
(3) 角運動量保存則(後で出てくる。)
113
ポテンシャル
(potential
可能性、将来性)
ポテンシャルエネルギーは、力の距離による積分で定義する。
特に、力Fがx軸方向の時、
U ( x )    F ( x )dx
問題1 バネ運動で、F(x)=-kx (kはバネ定数)の時、
ポテンシャルU(x)を求めよ。
問題2 重力F(z)=-mg (z軸は上向けを正に取る)の時、
ポテンシャルU(z)を求めよ。(位置エネルギーと呼ぶ)
114
ポテンシャルの意味
クイズ 重い物が、
(a)床の上に置いてある時
(b)高い戸棚の上に置いてある時
のどちらが恐いか。
115
・ベクトル積(外積)
-> 後で回転に使う。
116
内積(スカラー積)
教科書p.21
ベクトル A, B のなす角をθとする。
内積
A  B を、
A  B  A B cos
と定義する。(スカラー量)
問題
A   A1, A2 , A3 , B  B1, B2 , B3 
A

B
のとき、
A  B  A1B1  A2 B2  A3B3
を示せ。
(各自やっておいて下さい。前ではやりません。)
117
教科書p.51
ベクトル積(外積)
ベクトル A, B
のなす角をθとする。
ベクトル積 A  B
は、
ベクトル A, B に垂直で、
大きさは A  B  A B sin 
のベクトルである。
θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる向きを
ベクトル A  B
の向きとする。
問1.A 
A1, A2 , A3 と B  B1, B2 , B3 
AB
A
に対して、

B
AB
の成分表示
A  B   A2 B3  A3B2 , A3B1  A1B3 , A1B2  A2 B1 
を示せ。
118
ベクトルA,Bのなす角
為す(なす)=作る、する
angle made byA and B
angle between A and B
ふつうは、
0
B
angle = 角度

A
2つの角度のうち、小さい方を使う。
この範囲のθに対して、
sin   0

cos   0 if 0   
2

 0 if

2
119
方向の表し方
記号を使う場合
矢の裏の
イメージ
矢の先の
イメージ
言葉を使う場合
スクリーン(紙面)
裏から表
スクリーン(紙面)
表から裏
y
z
x
x
z
y
120
方向の表し方
記号を使う場合
矢の裏の
イメージ
矢の先の
イメージ
y
x
x
z
z
y
y
z
x
121
内積(スカラー積)補足
product = 積
inner product, scalar product, dot product
・スカラー積と呼ぶ理由:積の結果がスカラー(数)。
・「内積」と呼ぶ理由。
単位ベクトルとの内積は、
その単位ベクトルの方向への射影になる。
A
射影:projection
A  e  A e cos  A cos
θ
e
赤い部分の長さが射影
内側に倒れこむ感じ -> 内積のイメージ。
122
外積(ベクトル積)補足
outer product, vector product, cross product
・「ベクトル積」と呼ぶ理由:積の結果がベクトル。
ベクトルとベクトルの掛け算
-> 数 (内積)
ベクトル(外積)
・「外積」と呼ぶ理由
2つのベクトルの作る平面に垂直になる。
外に広がるイメージ。
123
成分の覚え方
A B   A2 B3  A3 B2 , A3 B1  A1B3 , A1B2  A2 B1 
A
1
2
③
B
3
①
1
②
1 2 3 1
①
第1成分
A2 B3  A3 B2
124
ベクトル積の問題(続き)
問2
A  B  B  A
問3
A  B  C  A  B  C
を示せ
である。
等号が成立しない例を示せ。
問4
d
dA
dB
A  B    B  A 
dt
dt
dt
を示せ
125
回転の話
・回転と人体
・回転のベクトル
・回転角速度と速度の関係
126
回転と人体
人間は回転をどこで感じるか?
内耳で感じる。
耳がやられると、目まいがする。平衡感覚がおかしくなる。
三半規管
半円状の器官が、
垂直な面上にある。
中にリンパ液が入っている。
流れが変わると、半規管中の
感覚毛が感知して、神経を通して
脳に信号が行く。
127
角速度ベクトル

回転を表すベクトル
オメガ
大きさは、角速度。
単位時間に回った角度。
単位は、ラジアン/秒
rad/s

方向は、回転面に垂直
向きは右ねじが進む方向
回転ベクトルの向きに注意。
日常会話の「回転の方向」と
ベクトルの向きは違う。
問題:地球の自転の角速度ベクトルの
方向を図示せよ。理由も述べよ。
128
ラジアンの復習
半径1の円上の弧の長さ。
0から2πの範囲。
単位:ラジアン(rad)
無次元量
扇形の半径がr,
弧の長さが
の時、
中心角は、



r
復習
平面角
radian ラジアン
似た単語
radius 半径
1
O
θ
129
無次元量とは
教科書p.383
物理の4つの基本単位で表せない量
m(メートル) 長さ
kg(キログラム)質量
s (秒)
時間
A (アンペア) 電流-> 後期の電磁気でやります。
例:
個数 N (個)
角度 θ(ラジアン)
130
比率
ratio
同じ単位の物の割り算
例:あるクラスの女子の比率は1/2 = 女子の人数/全体
の人数
例2:雨が降る日は1/4 = 雨が降る日/全部の日数
・比率は一般には足せない。
上記の1/2 + 1/4 = 3/4 を求めても、意味がない。
・分母が同じなら足せる場合もある。
例:ずっと晴れている日は1/3=晴れの日/全部の日数
上記の数字と足して、1/4 + 1/3 = 7/12
晴れた日か雨が降る日になる確率
131
回転している時の速度
点Pが原点Oからベクトルrの点にあるとする。
点Pが回転軸の周りにωで回転しているとする。
点Pの速度は、
v  ω r
で書ける。


P
O
r
問1.上の式の両辺の単位を調べよ。
問2.上の式を証明せよ。
132
v 補足:
 AP 
  r '


の証明
弧の長さ
両辺を微分すると、r’が一定なら、
d
d
 r'
dt
dt
r '
角度
P

A
v  r '
133
円運動の速度は接線方向(半径に垂直)になること。
補足
動径ベクトルをx, y座標で書くと、
r  e x a cos  e y a sin 
a r
v
時間で微分する。半径aや単位ベクトルは
一定(時間が進んでも同じ)。θが変化する。
dr
d
v
  e x a sin   e y a cos
dt
dt
 a e x sin   e y cos
rとvの内積をとると0なので、円運動の速度は動径ベクトルと
直交する。
134
・力のモーメント
・角運動量
・力のモーメントと角運動量の関係
135
力のモーメント
教科書p.50
F
ある質点mが原点Oからrの位置にあり、
m
mに力Fが加わっているとする。
この時の、点Oのまわりの力のモーメントは、
N  rF
r
O
図でNの方向は、スクリーンを(裏から表に)貫く方向
136
力のモーメントの問題
問題1 力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。 F
力のモーメントの大きさが最大および最小になる時の角度を求め、
図示せよ。
m
r
O
問題2 長さ2aのシーソーがあり、支点Oはシーソーの中央にある。
質点mがシーソーの端にあるとする。
シーソーと水平線のなす角をθとする時、
mにかかる重力によって生じる、支点0のまわりの力のモーメントを求めよ。
O
m
137
三角関数の公式
sin    sin 
cos   cos


sin     cos
2



cos     sin 
2

1
y
0
y  sin 

4

2
π
y  cos 
2π

138
モーメントとは。
rA
r
の形
動径ベクトル(位置を表す)
A ベクトル。特別な場合は、スカラー(1次元ベクトル)。
力のモーメント
N  rF
L  r  p 角運動量もモーメントの1つ。
p  mv
その他のモーメント
慣性モーメント
(前期に勉強します。)
双極子モーメント(後期の電磁気で出てきます。)
139
角運動量とは。
運動量
角運動量
p  mv
既にやった。
L  mr  v  r  p
v
ベクトル積
r
ある基準点Oの周りの
角運動量。
m
O
問題
半径aの円上を一定の速さvで回っている粒子の
角運動量ベクトルを求めよ。
140
角運動量の運動方程式
F
力のモーメント(ある点Oの周り)
m
N  rF
r
力のモーメントと角運動量の間には、
以下が成立する。
dL
N
dt
問題
運動方程式
O
(1)
L  r  mv
力のモーメントに
よって、回転する。
ma=Fより、(1)を導け。
高校の物理では、(1)は独立に覚える人も多いが、
実際はニュートンの運動方程式から導かれる。
141
角運動量と力のモーメントの違い
角運動量:回る時の勢い
L  r  mv
N  rF
dL
N
dt
質量が大きいほど、勢いが強い。
速いほど勢いが強い。
基準点からの距離が長いほど勢いがある。
動径ベクトルと速度の角度が直角に近いほど、
勢いがある。
角運動量を変化させるのが、力のモーメント
142
角運動量の方程式と運動方程式の比較
dL
N
dt
力のモーメントで
dp
F
dt
p  mv
力が働くと、
速度が変化
回転の勢いが
変化
143
まとめ
力のモーメント
N  rF
角運動量
F
ある点0の周り
O
L  mr  v
r
m
v
ある基準点Oの周り
O
r
m
注意点
・力のモーメントも角運動量もベクトル。
大きさだけでなくて方向・向きも指定する必要。
・力のモーメントも角運動量も「ある点の周り」。
基準点が違えば、力のモーメントや角運動量は
違ってくる。
dL
N
dt
力のモーメントをかけると、
角運動量が変化する。
144
剛体を考える前に、
多重積分を説明する。
145
多変数の積分を考える前に。
1変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF ( x )
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
146
多変数の積分を考える前に。
1変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF ( x )
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
147
復習
偏微分:2変数以上の関数である1つの変数について微分する。
p ( x, y )
 q ( x, y )
x

x
:xについて微分する。(yを一定とみる)
「偏微分」と呼ぶ。
図形的には、z=p(x,y)の関数を、
y一定の断面で見た時の、傾き
z
y
x
148
次に多変数の積分を定義します。
149
2変数の積分
F ( x, y )   dy dx f ( x, y )
2段階で定義。
g ( x, y )   dx f ( x, y )
F ( x, y )   dyg ( x, y )
g ( x, y )
 f ( x, y )
x
F ( x, y )
 g ( x, y )
y
順番に積分すればよい。
大部分の場合は積分順序によらないので、
積分しやすい方を先にすればよい。
z=f(x,y)
図形的には、曲面z=f(x,y)の下の体積
次のページに詳しい説明。
y
x
150
積分の幾何学的意味
y=f(x)
y
1変数の積分:曲線の下の面積
 f ( x)dx
x
0
図のような微小な幅の帯を考えると、
幅がdx, 高さがf(x)。
これの和が積分なので、面積に対応する。
f(x)
dx
2変数の積分:曲面の下の体積
 dx  dy f ( x, y)
f(x,y)
dx
次のページに例。
dy
151
重積分の例
d
a
c
I   dx  dy f ( x, y )
f ( x, y)  x3 sin y
1
b
の場合

1

I   dx dyx sin y   x dx 2 dy sin y
0
2
0
3
3
0

 x4 
1
1
2
   cos y 0   1 
4
4
4
0
2変数の積分:曲面の下の体積
f(x,y)=xyのグラフ
y
f(x,y)
dx dy
問題
z=xy, xy平面、x=a, y=bで
x
囲まれる立体の体積を求めよ。(a>0, b>0)
特に、a=10, b=10の時、体積はどうなるか?
辺の長さが10,10,100の直方体の何パーセントの体積か?153
ギリシャ文字
「割合」に使うことが多い。
 ロー 密度 kg/m3
ω
θ
φ
オメガ 角速度 rad/s
シータ
ファイ
角度
rad
 弧の長さ
 
r
半径
154
ここから物理にもどる。
剛体とは。
慣性モーメント
155
剛体とは
教科書
p.65
大きさを持った物体。
しかし、変形、膨張圧縮はしない。
形や体積は一定。
(形や体積が変わる場合は、
弾性体力学や流体力学で考える。)
質点の集まりと考えればよい。
156
剛体の場合の角運動量
質点の角運動量は、
L  r  mv
質点系の場合、質点miの位置、速度をri, viとして、
L   ri  mi vi
i
質量が連続的に分布している場合は積分で置き換える。
 ( x, y, z)
L   (r  v)  ( x, y, z )dxdyd z
密度:単位体積中の
質量。
dz dy
dx
r
o
157
v
 ( x, y, z)
の意味
場所(x,y,z)によって値が違う。
1変数だとf(x)など。
例:人間は場所によって密度が違う。
頭は密度が高い。
手は密度が低い。
158
角運動量に戻ると、
角速度ωで回転している、物体の角運動量は、 (質点の場合)
L  r  mv
密度をρとして、
v  ω r
L   (r  (ω  r ))dxdydz
(以前やった)
問題 r=(x,y,z), ω=(ωx,ωy,ωz)を使って、
角運動量は以下のように書けることを示せ。
L  Iˆω
 I xx

ˆ
但し、
I   I yx
 I zx
2
2
I xx   ( y  z ) dxdydz
I xy    xy dxdydz
I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
^:ハットと読む。
159
教科書p.71
角運動量の続き
 I xx

Iˆ   I yx
 I zx
前問より、
L  Iˆω
I xx   ( y  z ) dxdydz
2
2
I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
I xy    xydxdydz
対角成分を慣性モーメントと呼ぶ。(非対角成分は、慣性乗積)。
慣性モーメント
慣性モーメントを書き換えると、
I   r dm
2
rは軸までの距離。
例えばIxなら、x軸までの距離は、
r2=y2+z2
dmは質量の微小部分
161
慣性モーメントが大きいと、
・回し始めは回りにくい。
・いったんある速度で回ると、止まりにくい。
微小部分とは
数学的には、
x
dx
(デルタx) xの差(有限)
difference of x
x  x2  x1
(ディーx)
微小の(無限に小さい)x
differential of x
図に描くときは、dxは有限の大きさで書く。
(無限に小さいと見えないため。)
dx
x   dx
x
微小部分をたくさん加えると、
全体の長さになる。
いろいろな微小部分
dx
長さの微小部分
x   dx
微小部分dxの和は、全体の長さ
曲線の場合も同様
ds
s   ds
微小長さの和は、曲線全体の長さ
面積の微小部分
S   dS
surface
曲面の面積は、
微小面積dSの和。
体積の微小部分
V   dV
微小体積をたくさん加えると
全体の体積になる。
volume
質量の微小部分
微小質量をたくさん加えると、
全体の質量になる。
m   dm
1次元
dx
dm  dx 
線密度(単位長さ当たりの質量)
2次元表面なら、
dm  dxdy

面積密度(単位面積当たりの質量)
3次元の立体なら、
dm  dxdydz

密度(単位体積当たりの質量)
剛体の運動
重心の運動以外に、「回転」を考える必要がある。
力のモーメント
dL
dt
N
N  rF
角運動量Lは、剛体の場合は、
前回の計算より、
L  Iˆω
行列
Iˆ
F
m
r
ω 回転ベクトル
の対角成分が慣性モーメント。
慣性モーメント
I   r 2 dm
dmは質量の微小部分
rはdmから軸までの距離。
軸が大事。
165
同じ剛体でも、軸が違えば、慣性モーメントが違う。
慣性モーメントを求めてみよう。
166
慣性モーメント
I   r 2dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
ある軸の周りの回転しにくさを表す量
問題 質量M、長さ2ℓの細い一様な棒の、
図の軸(中心を通る)の周りの慣性モーメントを求めよ。
2ℓ
教科書p.71
167
慣性モーメント続き
(重積分)
問題 質量Mの長方形の板ABCDがあり、
AB, BDの長さはそれぞれ2a, 2bであるとする。
A 2a
M
C
B
2b
D
(a) 長方形と同じ面内で、AB, CDの中点を通る軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
(b) 中心を通り、長方形に垂直な軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
168
慣性モーメントの続き。
問題
教科書p.72
一般に慣性モーメント
I   r 2 dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
を重心を通らない軸の周りで求めたいとする。
重心を通る軸(図)の周りの慣性
モーメントIGを使って、
I  I G Mb
2
(bは2つの軸間の距離)
と書けることを示せ。
これを使って、棒の端を通る軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
M
b
2ℓ
169
円筒座標をやる前に
復習をします。
1.三角関数の復習(高校数学)
2.2次元極座標の復習(高校の数学B)
3.円筒座標の復習(前期)
170
三角関数の
復習
高校の数学1,数学2
図のように、直角三角形を置く。
(角度φが水平からの角度、直角部分が右下)
水平の辺
cos 
斜辺
垂直の辺
sin =
斜辺
斜辺
φ
水平の辺
高校では、角度はθ(シータ)を用いたが、
後で極座標や円筒座標と比較するために、
φ(ファイ)を使っている。
垂直の辺
2次元極座
標
高校の数学Cの復習
質点の位置P(x,y)を2次元極座標(r,φ)で表す。
x  r cos
y  r sin 
y
P(x,y)
r
r≧0
0≦φ<2π
高校ではθを使うが、
後の都合でφを
使っている。
0
φ
x
質問:なぜφの範囲を0からπにして、
rをマイナスも考えないか?
ぐるっと回った時に、
rがプラスからマイナスになるのは、
不連続な変化になってしまう。
rはずっとプラスにしておく。
y
0
x
2次元極座標、続き
r=一定の図形
y
半径rの円
x
0
φ=一定の図形
半直線
y
0
x
少し質点に戻って。。
円筒座標系
粒子と一緒に動く
座標系
175
教科書p.2の1-1図の右
z
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
円筒座標系
x  r cos
y  r sin 
zz
φ(ファイ)
0
x
P(x,y,z)
φ r
Q
点P(x,y,z)のxy平面上への射影を
Qとする。
OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ
角度によく使う記号。
0≦φ<2π
問題 円筒座標系で、下記の条件を満たす点の集合は、
どのような面になるか。それぞれ3次元空間内に図示せよ。
(a)r=一定
(b) φ=一定 (c)z=一定
176
y
教科書p.2の1-1図の右
円筒座標
z
P
0

x
P(x, y, z)
y
r
Q
x  r cos
y  r sin 
zz
y
xy平面
Q
r

O
x
177
参考:極座標(後期に詳しくやります。)
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
y
Q
O

x
x
角度が2種類必要。片方がθ、もう片方がφ。
-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。
rの取り方が違うことに注意。
極座標では原点からの距離。
円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。
極座標は球対称な場を考えるときに使う。
例:電荷が球状に分布している場合。
178
円筒座標を使うメリット
・円運動、らせん運動、円筒の
対称性を持つ系
(例えば直線電流の周りの磁場)を
扱いやすい。
179
次に
円筒座標系の
基本ベクトルを求める。
(粒子が動くと、基本ベクトルも動く。)
180
基本ベクトルと
は
長さが1
お互いに直交する。
3次元なら3個
(2次元なら2個)
座標系によって、基本ベクトルが違う。
その座標系のベクトルを、
基本ベクトルを使って書く。
1) 直交座標
2) 円筒座標
3) 極座標 (後期にやります。)
直角座標系の基本ベク
トル
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル(長さ1)。
x, y, zがそれぞれ増える方向
z
成分で書くと、
e x  (1,0,0)
ez
e y  (0,1,0)
e z  (0,0,1)
ex
O
y
ey
終点
x
始点
ベクトルの始点(矢印の根元)を原点に置いた時の、
ベクトルの終点(矢印の先)の座標で表す。
動径ベクトル
r
radius vector
位置ベクトルとも言う。
r  xex  ye y  zez
z
ある原点Oからのベクトル。
P(x,y,z)
r
ez
ex
x
復習
O
ey
y
183
円筒座標系の基本ベクトル
x  r cos
y  r sin 
zz
円筒座標系の基本ベクトル。
長さは1で、点Pにおいて、
er
e
ez
rが増える向き。
φが増える向き
z
0
φ r
P(x,y,z)
y
x
x軸、y軸、z軸は、
空間に固定されている。
注意:
e
点Pにおいて、r,zは
一定で、φが微小量だけ
増える向き。
zが増える向き。
問1:er , e , ez を図示せよ。
問2: er , e , e z のx,y,z成分が
右のようになることを示せ。
e r  cos sin  0
e   sin  cos 0
e z  0 0 1
184
次に
円筒座標系の基本ベクトルの
時間微分を求める。
185
時間微分とは
d
dt
例
tで微分する。
differentiate with respect to t
f (t )  at  bt  c
2
df
 2at  b
dt
の時間微分は、
円筒座標系の基本ベクトルの時間微分
0
前の問題より、
e r  cos sin  0
e   sin  cos 0
x
P(x,y,z)
ez
φ r
xy面に投影すると
e z  0 0 1
e r , e
z
er
y
e
y
er
は方向が時間に依存する。
er  e x cos  e y sin 
e
r
φ
x
de r 
  e を示せ。
問1.両辺を時間で微分して、
dt

d

d
e


問2 同様にして
を示せ。
  er
dt 187
dt
復習
ベクトルの表し方
1) 太い文字:
2) 矢印を上につける。
er
er
どちらの方法でもいいですが、ベクトルとわかるように書いて下さい。
時間微分の書き方: 上に点(・)を付けて表すことがある。
d

dt

d 2 d  d 
 2   
dt
dt  dt 

物理では時間微分がたくさん
出てくる。
188
次に
円筒座標系で、
速度ベクトルと加速度ベクトルを
求める。
189
速度と加速度
動径ベクトル
速度ベクトル
r
復習パワポ
に対して、
dr
v
dt
加速度ベクトル
2
dv d r
a  2
dt dt
速度の意味:
ある時間に位置がどのくらい変化するか。
加速度の意味:
ある時間に速度ベクトルがどのくらい変化するか。
190
動径ベクトルの補足
復習パワポ
動径ベクトルは、原点から物体がいる点までのベクトル。
半径の方向と長さが
変わっていくイメージ。
物体
動経(動く半径)
と呼んでいる。
記号rを使う理由は、
英語でradius(半径)
のため。
原点
例:野球場でボールの場所を表すのに、
ホームベースを原点にして、ボールまでのベクトルを
191
動径ベクトルにする。
速度ベクトルの補足
復習パワポ
動経ベクトルがどう変化するか。
その瞬間の進む方向
r(t + t ) - r(t )
r(t )
r(t + t )
r (t + t ) - r(t )
v (t ) = lim
t →0
t
記号vを使う理由: velocity(速度)のため。
192
加速度ベクトルの補足
復習パワポ
曲線の場合
v(t + t )
v(t )
v(t + t ) - v(t )
v(t + t )
v(t + t ) - v(t )
a(t ) = lim
t →0
t
曲がる時は内向きの加速度
v(t )
(右折する時は、右向きの加速度)
記号aを使う理由: acceleration (加速)の頭文字。
193
前の問題より、

de r 速度と加速度
  e
dt

de 
   er
dt
e
y
r
φ
0
問題1:動径ベクトルは、円筒座標系で、
と書けることを説明せよ。
er
x
r  re r  ze z
問題2:速度ベクトル、加速度ベクトルに関して、



v  r er  r  e  z e z
2
を示せ。
a  ( r  r  )e r   r   2 r  e  z e z




 

194
記号の注意
d

dt

d 2 d  d 
 2   
dt
dt  dt 

 
 d 


      
   dt 
 
2

2
2
195
直角座標の
動径ベクトル
r
radius vector
位置ベクトルとも言う。
r  xe x  ye y  zez
z
ある原点Oからのベクトル。
P(x,y,z)
r
ez
ex
x
復習
O
ey
y
196
直角座標:動径ベクトルの2つの説明
r  xe x  ye y  zez
説明1
成分を使う。
右辺=x(1,0,0)+y(0,1,0)+
x
z(0,0,1)
=(x,y,z) 左辺になる。
z
P(x,y,z)
r
ez
ex
O
ey
y
説明2
動径ベクトル(赤い矢印)
=黄色の矢印+ 緑の矢印 + 茶色の矢印
= xe x  ye y  ze z
197
注意
追加



v  r e r  r  e  z e z
第2項の微分に注意。
3つの積の微分
2つの積
3つの積
 fg  
 fgh  
f g  fg 
  fg h  fgh
f gh
198
円筒座標系の加速度がわかったので、
今度は運動方程式を書いてみる。
199
円筒座標系の運動方程式

    
a  ( r  r  )er   r   2 r  e  z e z



前問より
力も円筒座標で書く。
2
F  Fr er  F e  Fze z
すると運動方程式の円筒座標系での各成分は、
2

m( r  r  )  Fr
この2つの式の意味を
これから考える。


m r   2 r    F




m z  Fz
 
200
円筒座標系の運動方程式からわかること。
動径(r)方向の運動方程式

2
m( r  r  )  Fr
左辺第2項を右辺に移すと、

2
m r  m r  Fr
遠心力
(高校の物理では、等速円運動を考えた。)
一般にはrは時間に依存する。
φが時間変化すれば、遠心力がある。
バスに乗っている時、カーブで外側に力を受ける。
洗濯機の脱水で、洗濯物は外側にへばりつく。
201
円筒座標系の運動方程式からわかること(2)
φ方向の運動方程式
    
m r   2 r    F


変形すると、
d  2 
 m r    F r
dt 


m r2 
は角運動量(のz成分)になっている。
(次のページで詳しく見る)
202
角運動量
運動量
角運動量
p  mv
L  mr  v
(これは復習)
ベクトル積
問題 円筒座標で角運動量を書け。
203
まとめ
円筒座標で加速度を求めた。

2
m( r  r  )  Fr

 


m r   2 r    F



m z  Fz
ma  F
運動方程式
遠心力の項
d  2 
 m r    F r
dt 

角運動量と関係する。
問題 特に、平面運動(z=0)、半径が一定(r=a)の場合に、
上記の運動方程式がどうなるか、述べよ。
204
剛体の運動方程式を考える。
205
振り子の問題
ℓ
問題1:長さℓの糸の端に質量Mの質点を付けて、振り子にする。
M
a) 運動方程式は、糸の張力をTとして、
下記のように書けることを示せ。(円筒座標の加速度を使う)
2
 m   m g cos  T ,

m   m g sin 
b) 微小振動(φが小さい)の場合に、角度方向の運動方程
式(aの2つめの式)が以下のようになることを示せ。

g
  

または
d 2
g
 
2
dt

c) bの運動方程式を解いて、φ(t)を求めよ。
振動の周期Tも求めよ。
206
剛体振り子の問題
2ℓ
φ
問題2 長さ2ℓ、質量Mの一様な棒の端を固定して、振り子にする。
a) 運動方程式が次のようになることを説明せよ。
(角運動量の時間変化=力のモーメントの式から出発する。)
d 2
I 2   Mg sin 
dt
Iは慣性モーメント。支点(棒の端)のまわり。
b) 微小振動の場合に運動方程式を解き、周期を求めよ。
c) 棒の支点のまわりの慣性モーメントを求めよ。
207
剛体と振り子の比較の問題
問題3 長さ2ℓ、質量Mの一様な棒の端を固定して、振り子にしたものと、
質量Mのおもりを、糸(長さ2ℓまたはℓ)の先につけた場合を
比べて、微小振動の周期の長い順に並べよ。理由も書くこと。
2ℓ
2ℓ
φ
ℓ
M
M
(1)
(2)
(3)
208
sin    (ほぼ等しい)
補足
説明その1
sin x
lim
1
x 0
x
φ
数Ⅲ
xが小さい時に、sin xとxはほぼ等しい。
説明その2
グラフを使う。
次のページへ。
sin   
グラフを使った説明
y
y=x
y= sin x
0
π
2π
x
・原点でsinxの傾きは1, 接線はy=x
210
ダウンロード

Document