(特)
力学 I − αβ 試験問題解答例
問題1.天井から質量 m の物体をヒモで吊るしてある。水平方向に力 F で引
張ったとき、吊るしてあるヒモと鉛直下向きの方向のなす角は θ となった状態
でつり合った。重力加速度を g とし、またヒモの張力を T とするとき、水平方
θ
向に加えた力 F の大きさ F およびヒモの張力 T の大きさ T を m、g、θ を用いて
表せ。
T
m
[ 解答 ]
F 質量 の物体の重力 をヒモの張力 T の方向と引張力 F の方向に分解すれ
mg
m
mg
ば、各力の大きさの関係は力のつり合い式から次のようになる。
mg
T
F
tan θ =
mg
cosθ =
図−1
これらの関係式より、力 F およびヒモの張力 T は次式で与えられる。
mg
cosθ
F = mg tan θ
T=
T
m
mg
F
θ
図−1A
1
(特)
力学 I − αβ 試験問題解答例
問題2.次に問に答よ
(1)質量 m = 5 kg の物体に加速度 a = 7200 m / min 2 を生じさせるには、どれほどの力 F [ N ] を加える
必要があるか。
(2)x 軸上を移動する物体の原点 o からの位置 x [ m] が時間 t [ s] によって、次のように表される。
x = t 3 + 3t + 10
①この物体の速度 vx および加速度 ax を求めよ。
② t = 3 s におけるこの物体の速度 vx
t= 3
および加速度 ax
t= 3
を求めよ。
(3)毎分 1500 回転している回転軸がある。この軸から 50cm 離れた所にある物体の向心加速度の大
きさ a [ m / s 2 ] を求めよ。
(4)屋上から質量 m の物体を初速なしで自由落下させた。その 2 秒後に全く同じ物体を初速なしで
自由落下させた。最初に物体を自由落下させてから t 秒後における速度差 ∆ v 、および落下距離
の差 ∆ x はいくらか。ただし、重力加速度を g とし、空気抵抗や風などの影響は無視できるもの
とする。
[ 解答 ]
(1)加速度 a は、
a = 7200 m / min 2 =
7200 m
= 2 m / s2
2
3600 s
したがって、
ma = 5 kg × 2 m / s2 = 10 kgm / s2 = 10 N
(2)
まず①に対する答
dx ( t) d 3
= ( t + 3t + 10) = 3t 2 + 3 [ m / s]
dt
dt
dv ( t) d
ax ( t) = x = ( 3t 2 + 3) = 6 t [ m / s2 ]
dt
dt
vx ( t) =
次に②に対する答
vx t = 3 = ( 3t 2 + 3)
t= 3
= 30 m / s
ax t = 3 = 6 t t = 3 = 18 m / s2
(3)毎分 1500 回転は、毎秒に直すと 25 回転である。したがって、角速度 ω は、
ω = 25 × 2π [ rad / s] = 50π [ rad / s]
となる。したがって、向心加速度 a は、
a = rω 2 = 0.5 m × {50π [ rad / s]}2
= 1.23 × 10 4 m / s2
(4)最初に自由落下させた物体の速度 v1 は、v1 = g t で与えられる。一方、2 番目に自由落下させた
物体の速度 v2 は、最初の物体を自由落下させたときからの時間が t のときは、v2 = g( t − 2) で与
えられる。したがって、両者の速度差 ∆ v は
∆ v = v1 − v2 = 2 g
また、落下距離の差 ∆ x は、
1
1
∆ x = gt 2 − g( t − 2) 2 = 2 g( t − 1)
2
2
である。
2
(特)
力学 I − αβ 試験問題解答例
問題3.質量 m の物体がロープで鉛直に吊るされ、そのはロープは滑
車を介してばね定数 kの水平に置かれた一端を壁に固定されたコイルば
ねに繋がれている。当初、物体を手で持ち上げ、ばねの伸び縮みがな
く、かつロープにたるみがない状態に置く。この位置から鉛直下向きに
x 軸を採るものとする。手で支えた状態からそっと手早く手を退けたと
き、この物体の運動方程式を示せ。ただし、運動中ロープは滑車を滑る
ものとし、ロープと滑車の摩擦力は無視でき、かつロープの伸び縮みは
ないものとする。また、重力加速度を g とする。
k
m
x
図−2
k
[ 解答 ]
質量 m の物体には鉛直下向きに大きさ mg の力が作用しており、ま
た、物体が x だけ下降すれば、コイルばねが kx なる大きさの力を鉛直
上向きに及ぼすことになる。mg の力は x 軸の正の方向に作用し、コイ
ルばねによる kx なる力は x 軸の負の方向に作用している。以上の考察
から、運動方程式は次のように書くことができる。
kx
m
mg
m
d 2 x ( t)
= mg − kx
dt 2
x
図−2 A
3
(特)
力学 I − αβ 試験問題解答例
問題4.図−3に示すように水平面と角度 θ をなす表面が粗い斜面
上を初速 v0 で滑り降りる質量 m の物体がある。斜面に沿って下向
きに x 軸を取り、原点を t=0 の時の位置に取るとする。斜面と物体
m
x
の動摩擦係数を µ′ とするとき、以下の問に答よ。ただし、重力加
速度を g とする。
(1)この物体の x 軸方向の運動方程式を示せ。
θ
図−3
(2)時刻 t における物体の速度 vx ( t) および位置 x ( t) を求めよ。
[ 解答 ]
sθ
gco
m
x
nθ
gsi
m µ'm
mg θ mgcosθ
(1)質量 m の物体に作用している力には、まず重力 mg がある。こ
の力を斜面に平行な力と垂直な力に分解すると、大きさが mg sin θ 、
mg cosθ となり、その作用方向は前者は x 軸の正の方向、後者は斜
面を押す方向に作用している。後者の斜面を押す力 mg cosθ は、斜
面が同じ大きさの力で押し返すので、力のつり合いが成立し、斜面
に垂直な方向に運動は生じない。しかしながら、斜面が押し返す力
図−3 A
mg cosθ は、通常抗力と呼ばれ、摩擦力はこの力に比例し、比例定
数は運動を開始しようとするときは静止摩擦係数、運動中は動摩擦
係数に等しい。また、摩擦力は、物体が運動しようとする方向あるいは運動方向と反対向きに作用す
る。したがって、物体は斜面を x 軸の正の方向に移動しているので、それと反対方向(x 軸の負の方
θ
向)に作用し、その大きさは µ′mg cosθ である。以上の考察から、x 軸方向の運動方程式は次のよう
になる。
d 2 x ( t)
m
= mg sin θ − µ′mg cosθ
dt 2
= mg(sin θ − µ′ cosθ ) (1)
(2)式(1)から加速度を求めれば、
d 2 x ( t)
= g(sin θ − µ′ cosθ )
dt 2
上式を x で不定積分し、その時の積分定数を C1 とすれば、
dx ( t)
= g(sin θ − µ′ cosθ ) t + C1 (2)
dt
さらに x で不定積分し、その時の積分定数を C2 とすれば、
1
x ( t) = g(sin θ − µ′ cosθ ) t 2 + C1t + C2 (3)
2
をえる。ところで、題意より t=0 の時、速度( dx ( t) dt )は v0 であったから、式(2)にこの条件を
適用すると、
C1 = v0
となる。また、t=0 の時、物体は原点( x = 0 )にあったから、この条件を式(3)に適用すると、
C2 = 0
となる。以上の計算から、速度 vx ( t) および位置 x ( t) は次のようになる。
dx ( t)
= g(sin θ − µ′ cosθ ) t + v0
dt
1
x ( t) = g(sin θ − µ′ cosθ ) t 2 + v0 t
2
v x ( t) =
4
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第1回