応用数学Ⅱ:書き込み式ノート
フーリエ解析とその応用
(知能機械学科,2年後期,バージョン2)
担当:綴木 馴
1
●今までの電気回路
直流(direct current)と交流(alternating current)
交流といっても特に正弦波形の交流回路を扱ってきた
60Hzの正弦波形は中国電力が苦労して作っている
中国電力が優秀だからできる.
でも一般には,ひずみ(distortion)が混ざる.
図
電気回路3では,このひずみ派を扱う
2
●ひずみ派の解析法(フーリエ解析)と周期関数
ひずみ派を解析する方法にフーリエ解析がある.
フーリエ解析は電気回路のひずみ派だけでなく,
周期関数であれば,一般の解析することができる.
周期関数とは
(periodic function)
式
を満たす
Tは周期(fundamental period)
式
である.
図
例えば,
式
等である.
3
●周期関数の性質と例
周期関数の線形性(linearity)
関数
と
が周期
の周期関数であれば
その線形結合
もまた,周期
の周期関数となる.
(証明)
式
4
●例題
次の関数の基本周期を求めよ
(解)
5
●例題
関数
と
がともに周期
の周期関数であるとき
この2つの関数の積
も周期
の周期関数となることを示せ.
(解)
6
●フーリエ級数
いま関数
関数
を周期2πの周期関数とする.
のフーリエ級数展開(Fourier series expansion)
とは,三角関数の級数(三角関数級数)によって,
関数
をあらわそうというものである.
式
周期2πの任意の周期関数はフーリエ級数に展開できる.
周期が2πでない場合はまた後でやる.
7
●フーリエ級数2
実は周期2πの周期関数であれば,どんな関数でも,
と
を適当に選ぶことにより以下のように
フーリエ級数展開することができる.
式
フーリエ係数(Fourier coefficient)
式
(
)
(
)
8
●偶関数と奇関数
任意の
(
)にたいして
偶関数とは
となるもの
奇関数とは
ポイント1
関数
を任意の関数とするとき
式
はそれぞれ,偶関数および,奇関数となる
添え字のeは偶(even),oは(odd)をあらわす
また
式
は次のようにあわせる.
式
式
偶関数部分
奇関数部分
9
●偶関数と奇関数2
ポイント2
偶関数と偶関数の積は偶関数となる.
奇関数と奇関数の積は偶関数となり,
偶関数と奇関数の積は奇関数となる
ポイント3
式
,
式
をそれぞれ偶関数,奇関数とする,このとき
式
となる.
10
●フーリエ級数計算のコツ(1)
偶関数
のフーリエ係数は,計算しなくても
式
式
である.
フーリエ係数(Fourier coefficient)
式
理由:
ポイント2
の積
より,偶関数
式
式
と奇関数
式
は奇関数である.
よって ポイント3 より
式
11
●フーリエ級数計算のコツ(2)
奇関数
のフーリエ係数は,計算しなくても
式
式
である.
フーリエ係数(Fourier coefficient)
式
理由:
ポイント2
の積
より,奇関数
式
式
と偶関数
式
は奇関数である.
よって ポイント3 より
式
12
●フーリエ級数計算のコツ(3)
ポイント1 より,任意の関数
式
は以下の様に分解できる
式
よって,関数
のフーリエ係数は以下のように計算できる
式
コツ(1),(2)
の結果ら明らか
別の理解の仕方
関数
の偶関数部分
の奇関数部分
のフーリエ係数は
と 0
のフーリエ係数は 0 と
13
●フーリエ級数計算のコツ(4)
フーリエ変形数の線形性について
超重要!
関数
式
関数
式
のフーリエ係数を
式
のフーリエ係数を
式
このとき,関数
式
式
とする.
のフーリエ係数は
となる.(ただし,
,
は定数.)
この性質をフーリエ係数の線形性という.
14
●例題1
関数
を
によって周期的に拡張した関数
をフーリエ級数展開せよ.
図
ヒント:
を奇関数部分
偶関数部分
と
に分け,
コツ(4) を駆使せよ.
15
●例題1(続き1)
解
の奇関数部分を
と置くと,
は
式
を
によって周期的に拡張した関数である.
図
また,
の偶関数部分を
式
と置くと,
は
となる.
図
16
●例題1(続き2)
解
のフーリエ系数
式
は
のフーリエ系数
式
は
のフーリエ系数
式
は
のフーリエ系数
式
は
式
式
式
式
17
●例題1(続き3)
解
よって コツ(4) フーリエ係数の線形性より,
式
以上から関数
式
のフーリエ級数展開は
式
と求まる.
18
●例題1(続き4)
1.2
1.2
1.0/2.0+2.0/3.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x))
1.2
1.0/2.0+2.0/3.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x))
1.0/2.0+2.0/3.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x)+1.0/7.0*sin(7.0*x))
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
-0.2
-2
0
2
4
6
8
10
12
-0.2
-2
0
2
4
m=2
6
8
10
12
-0.2
-2
0
2
4
6
8
10
12
m=4
m=3
1.2
1.2
1.2
1.0/2.0+2.0/3.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x)+1.0/7.0*sin(7.0*x)+1.0/9.0*sin(9.0*x)+1.0/11.0*sin(11.0*x)+1.0/13.0*sin(13.0*x))
3.0*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x)+1.0/7.0*sin(7.0*x)+1.0/9.0*sin(9.0*x))
1.0/2.0+2.0/3.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x)+1.0/7.0*sin(7.0*x)+1.0/9.0*sin(9.0*x)+1.0/11.0*sin(11.0*x))
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
-0.2
-2
0
2
4
6
8
10
12 -0.2
-2
0
2
4
m=5
m=∞で元の関数
6
8
10
12
-0.2
-2
0
m=6
式
2
4
6
8
10
m=7
と等価になる.
19
12
●例題2
関数
を
によって周期的に拡張した関数
をフーリエ級数展開せよ.
図
ヒント:
コツ(1)
は偶関数.
より,
式
は考えなくても
式
20
●例題2(続き1)
解
21
●例題2(続き2)
解
.5
(3.0*x)/9.0+cos(5.0*x)/25.0)
3
.5
2
.5
1
.5
0
-10
-5
0
5
m=3
10
22
●例題3
関数
を
によって周期的に拡張した関数
をフーリエ級数展開せよ.
図
23
●例題3(続き1)
解
24
●例題3(続き2)
解
n=4
4
+sin(3.0*x)/3.0-sin(4.0*x)/4.0)
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-10
-5
0
5
10
n=8
4
+sin(7.0*x)/7.0-sin(8.0*x)/8.0)
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-10
-5
0
5
10
25
●一般の周期を持つ周期関数に対するフーリエ級数
関数
を周期
の周期関数とする.
この関数をフーリエ級数展開することを考える.
□考え方□
周期
の周期関数 の展開法ついてはもう知っている.
周期
の周期関数
周期
の周期関数 の関数に変換できる.
をスケール変換することで
関数をスケール変換し,スケール変換した関数の級数展開を
スケール逆変換すればいい.
26
●スケール変換の方法
変換前
変換後
周期
変数
関数
このとき
と
の間には次の関係がある.
式
導出法:
よって,関数
関数
のとき =
であるので
とおいて を求める
=
==
をスケール変換して得られる
=
式
は周期
の周期関数となり
(次のページへ)
27
●スケール変換の方法2
式
=
とフーリエ級数展開できる.
を変数
に戻すと
式
=
により,
式
=
となる.
一方フーリエ係数は
式
28
●例題1(一般の周期関数)
関数
を
によって周期的に拡張した関数
をフーリエ級数展開せよ.
解
29
解(の続き)
30
●例題2(一般の周期関数)
関数
を
によって周期的に拡張した関数
をフーリエ級数展開せよ.
解
31
解(の続き)
32
●これからの流れ
1.複素フーリエ級数
実は,フーリエ係数こそが波のスペクトルをあらわす.
すなわち,フーリエ変換されたモノである.
しかし
と
と言う様に二つもあっては困る.
よって,一つの係数に統一する.
2.離散フーリエ変換
複素フーリエ係数こそが離散フーリエ変換されたモノ.
3.線形RLC回路
電気回路を解析してみる.
4.線形システム
5.連続フーリエ変換
が整数ではなく,実数を取る場合を考える.
33
●オイラーの公式
オイラーの公式
電気系の本では,通常以下のような表記を行うが,
物理・数学系の本では
とすることが多い.本稿では,引き続き物理・数学系の
表記を取ることにする.
電気系の表記を取るときはその都度,注意を促す.
34
●ド・モアブル(de Moivre)の公式
オイラーの公式
に
(1)
を代入すると
(2)
式(1),(2)の和と差を取ることにより,
式
次のド・モアブルの公式を得る.
,
35
●複素フーリエ級数
ド・モアブルの公式
,
をフーリエ級数展開の式
に代入すると,
式
となる,ここで,複素フーリエ係数を
式
と定義すると,次で与えられる複素フーリエ級数展開の式が得られる.
式(ここは小さい字で書いてね)
36
●複素フーリエ係数
フーリエ係数
を
に代入すると,
式(3行)
複素フーリエ係数
複素フーリエ係数に対し,今までのフーリエ係数を
実フーリエ係数という.
を得る.
37
●一般の周期の場合の複素フーリエ級数展開
周期
の場合の複素フーリエ級数を考える.
とおくことができる.
(
と
座標の上では,周期
の間に
であると考える.)
の関係があるとするなら
となり,
よって
と求まる.
となり,
と一般の周期の場合の複素フーリエ級数展開の式が得られる. 38
●一般の周期の場合の複素フーリエ係数
同様に周期
座標
の場合の複素フーリエ級数を考える.
上において複素フーリエ級数を以下のように置くと,
が成り立つ.
及び
より,
と一般の周期の場合の複素フーリエ係数が得られる.
39
●離散フーリエ変換
が周期
の周期関数とするとき,
その,離散フーリエ変換は次で与えられる.
「複素フーリエ係数の式」
理工学では,
を求めることを
をスペクトル(SPECTRUM)と呼ぶ.
のスペクトルを調べるとか,
をスペクトルに分解するとか言う.
逆フーリエ変換は次の式で与えられる.
「複素フーリエ級数展開の式」
40
離散でない場合や周期関数でない場合は連続フーリエ変換を使う
●スペクトルの例(光)
事前知識
1.太陽光はいろいろな周波数を持つ光の集まりである.
2.光の色はその周波数によって決まる.
3.いろいろな色の光が集まって太陽光となっている.
異なる周波数の光は屈折率が違う.
太陽光をプリズムに通すと,色が分解して現れる(分光).
分光された光の強さの分布がスペクトル.
分光された
番目の光の強度は
赤
で与えられる.
41
●光について(補足)
1.光は物に当ると反射・吸収・透過する.
2.吸収された光は見えないが反射・透過した光は「色」として見える.
カボチャが橙色に見えるのは
スペクトルの中の赤や橙色の光を反射して
青や青紫の色を吸収しているからである.
物が光を反射や透過して見える色を物体色と呼ぶ.
42
●スペクトルについての例題1
関数
ただし,
が実数のときには,
は
の複素供役(
,ただし, と
となることを示せ.
のとき
は実数)
解
43
●スペクトルについての例題2
関数
(
)を
によって周期的に拡張した関数
のスペクトル
を調べよ.
(豆知識)このような波形をのこぎり派
と呼ぶ.電気工学では,
テレビの走査線の調整に用いる
-T
0
T
2T
3T
4T
5T
解
44
●スペクトルについての例題2(つづき)
解
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
45
-10
-5
0
5
10
●複素直交関数系
重要!
(これからよく使う)
任意の整数
,
に対して,
=
が成り立つ.
ただし, は複素共役を意味する.すなわち
.
この成立を,複素関数直交関数系がなされている,と言う
言い換えれば
が値を持つのは
その値は
である
こっちの方をむしろ
よく使う
のときのみで
46
●複素直交関数系の証明
(証明)
(i)
(ii)
47
●例題(逆変換の確認)
離散逆フーリエ変換:
を離散フーリエ変換:
すると元に戻ることを確認せよ.
解
48
●離散フーリエ変換の微分
周期
の周期関数
の離散逆フーリエ変換
が項別に微分できるとすると,
となる.
とおくと,
よって離散フーリエ変換の微分は
と求まる.
49
●離散フーリエ変換の積分1
周期
の周期関数
の離散逆フーリエ変換
が項別に積分できるとする.
このとき関数
を不定積分した関数を
とすると,
分離
ここで,
が
を除く和を意味するものとすると,
となるので,項別に積分すると
よって
50
●離散フーリエ変換の積分2
元の式
を展開すると
となる,この式と以下の式を比較すると,
(対応している箇所)
よって,次の離散フーリエ変換を積分した式が得られる.
単に
で割れば良いだけ
51
●演習問題1
周期関数
が偶関数であれば,その複素フーリエ係数
は実数となることを示せ,また,奇関数であれば純虚数となることを示せ.
解
52
●演習問題2
ド・モアブルの公式を利用して,次の複素フーリエ級数展開を求めよ.
(1)
解
(2)
(1)
より
(2)
より
53
●整流回路
(1)半波整流回路
・ダイオードが1個で済む最も簡単な回路.
・交流の半サイクルのみ整流.
図S-1
・小電流負荷の場合によく使用される.
・出力リップル(脈動)は電源周波数と同じになる.
・ダイオードの逆耐電圧は、トランス2次側交流電圧の3倍以上必要.
(2)両波整流回路
・センタ・タップ付のトランスを使って半波整流回路で利用しなかった
残りの半サイクルも整流する回路.
・出力リップルは電源周波数の2倍になる.
・ダイオードの逆耐電圧は、トランス2次側交流電圧の3倍以上必要.
図S-2
54
●両波整流回路のスペクトル分析1
分析を簡単化するために,図S-2からコンデンサを取り去った
以下の図S-3を考える.
出力
入力
図S-3
この回路において,入力電圧を
とすれば,
その出力電圧が
になることが知られている.
この整流回路の出力電圧
のスペクトルを求める.
のグラフ
55
●両波整流回路のスペクトル分析2
スペクトルを求めるには
ここで
の周期は
を離散フーリエ変換すれば良い.
であるので,
2.2
2.0
ド・モアブルの定理を使うと
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
この間の計算は次ページ演習
0.4
0.2
0.0
と
のスペクトル
が求まる
-0.2
0
2
4
6
8
10
56
●演習問題(両波整流回路のスペクトル分析の計算)
前ページの
が成り立つことを
確認せよ.
解
57
●線形システム
線形性をもつ系を線形システム(linear system)と呼ぶ
ここからは,これまでの知見を元に,
周期的な外力(これを励振ともいう)を受ける,
特に電気回路の線形システムの解析を行っていく.
線形システムでは,重ね合わせの原理がなりたつ.
線形性により,いくつかの解を
足し合わせて(重ね合わせて)
新しい解を作ること
電気回路もフーリエ変換も線形性が成り立つ.
ここからはそれらの密接な関係を見ていく.
58
●線形RLC回路1
図のようなRLC回路を考える.キャパシタに蓄えられる電荷を
とすると,回路に流れる電流
は次の式で与えられる.
さらに電圧源の電圧を
次の式が得られる.
とおくと,キルヒホッフの第二法則より
であるので
を代入すると
この式の解を
求める
59
●線形RLC回路2(定常解の解法)
いま,電圧源
すなわち,
が角周波数
の周波波形であるとする.
は周期
の周期関数とする.
以後の計算を簡単化するために
を以下のように複素フーリエ級数に展開する.
対応している
ここで,
対応している
一般にこう書ける
は複素数であり,複素振幅と呼ばれる.
←この式の線形性から
で置き換えた式
の解
を
をまずは求める.
60
●線形RLC回路3(定常解の解法)
を求めることができれば,
とすることで
の解
は,
ここからは
と同様に
が求まる.
(★)
の重ね合わせで求まる.
を実際に求める.
を複素フーリエ級数に展開することで
を以下のように置く.
であるので
(★)式に
を代入すると次のようになる(次ページ演習),
よって,
と,フーリヘ級数展開を用いることで特解を簡単に求めることができる.
61
●線形RLC回路4(演習問題)
に
を代入することで,
を求めよ.
解
62
●一般化された線形システム1
これまでの話しをより一般的にまとめてみる.
電圧
を加えたときの出力として電荷
が得られていると考えられる.
入力から出力への対応関係を数式にすると以下のようになる.
は関数関係とか微分演算とかを意味する.
数学的には
から
を決める規則を与えている.
これを から への写像 (map)と言う.
電気回路の場合,
を複素数として,この
は以下の二つの式を満たしている.
(1)
(2)
63
●一般化された線形システム2
一般に上図のように入力
に対し出力
を対応させるシステム
が,以下の性質を満たすとき,これを線形システムという.
(1)
(2)
いま入力
が周期関数で
で与えられるとする.このとき線形システムの出力
は
となる.
つまり
に対する応答
が分かっていれば,一般の周期入力
に対応する応答
を調べることができる.
64
●演習問題1(線形システム)
上図のRLC回路に下図に示すような方形波列が入力されたときの定常出力
を求めよ.
ヒント:
を使う.
65
●演習問題1(線形システム)その2
解
66
●演習問題2(線形システム)
左図の回路に,ノコギリ派
(
を加えたときの定常解
)
を求めよ
ヒント
を使う.
1.まず
2.次に
を求める.
を求める.
67
●演習問題2(線形システム)ー2
解
68
●演習問題2(線形システム)ー3
解
69
●非周期関数1
非周期関数
とは,周期のない関数,すなわち
を満たす
が存在しない関数である.
非周期関数は,周期関数の周期
が
考えることができる.
となったものと
1
(例1)ソリトン:粒子のような性格を持った非線形波動として,
ソリトンと呼ばれる.パルス波が理工学の様々な分野に現れる.
ソリトンは,各時刻で次のような単一パルス波形をしており,
の非周期波形として
1/cosh(x)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
0
1
あるいは,
5
10
1/cosh(x)**2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
とあらわされる.
0.2
70
0.1
0
-10
-5
0
5
10
●非周期関数2
(例2)概周期関数
において,
で比
を無理数とすると,
は
非周期関数となる.これを概周期関数と呼ぶ.
意味は,厳密に言うと周期関数ではないが,おおむね周期的
と言う意味である.無理数
を小数点以下第
位までで
打ち切った数を
とすると
は周期
の周期関数である.ここで
とすると,
は
になると考えられるので,この場合もやはり概周期関数は
周期関数の極限と考えることができる.
2sin(x) + sin(3.1415926535*x)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-20 -15 -10
-5
0
5
10
15
71
20
●フーリエ変換(まずはフーリエ積分公式)
フーリエ積分公式
これまで非周期関数とは周期関数の周期
とした極限であることを確認した.
を
ここからは,周期
の周期関数に対する離散フーリエ変換が
でどのようになるかを考察し,非周期関数に対するフーリエ変換を導入する.
周期
関数
の周期関数
を考える.
が複素フーリエ級数に展開できるとすると
(1)
(2)
式(1)に式(2)を代入すると,
フーリエ積分公式
右辺を関数
が得られる
に対するフーリエ積分表示と呼ぶ.
72
●演習問題(フーリエ積分公式の導出1)
(1)
(2)
式(1)に式(2)を代入することで,
フーリエ積分公式
を求めよ.
解
73
●演習問題(フーリエ積分公式の導出2)
解
74
●離散フーリエ変換の復習
フーリエ係数
を求めること(離散フーリエ変換すること)は
周期関数
をフーリエ係数
の組みに変換することであり,
逆にフーリエ係数
から
を求めること(離散逆フーリエ変換すること)は
はこの変換の逆変換を行うことである.
このような立場から,フーリエ積分公式を次のページのように
置き直すことができる
75
●(連続)フーリエ変換
フーリエ積分公式
を次のように置き換える.
関数
関数
を関数
を関数
のフーリエ変換(Fourier transform)
のフーリエ逆変換(Fourier inverse transform)という
以下,フーリエ変換を行う写像を
また,
であらわすことにする.
の逆写像であるフーリエ逆変換を
であらわす.
76
●(連続)フーリエ変換ー2
フーリエ変換とフーリエ逆変換の公式の対称性を良くするために
フーリエ逆変換の式の右辺の積分係数
その代わりにフーリエ変換の式の右辺に
つまり,
を
に改め
を掛けても良い.
としても良い.上のペアを使うかしたのペアを使うかは
本や論文によって異なるから注意を要する.
本講義では,上のペアを用いることにする.
77
●演習1
次の非周期関数をフーリエ変換せよ
{
0
解
1
(1/x)*sin(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-15
-10
-5
0
5
10
78
15
●演習2
次の非周期関数をフーリエ変換せよ
解
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-15
2/(1+x*x)
79
-10
-5
0
5
10
15
●
80
●
81
●
解
式
式
式
82
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2年後期・応用数学Ⅱ