多様体補正法による
人工衛星の軌道積分Ⅱ
総合研究大学院大学D1
梅谷 真史
総研大コロキウム
1.研究内容
高精度・高速な
人工衛星の数値積分法の開発
二体問題+地球重力場(球面調和関数)
ヤコビ積分を保存させる多様体補正法
研究の概要、及び目的
人工衛星の軌道運動
衛星重力ミッション
重力場定数の精度 →
観測
モデル化
数値積分
軌道半径 約13000km
観測精度 約0.2mm
相対精度 10
11
人工衛星の物理モデル
運動方程式
r
dx r
v,
dt
r
dv
dt
r3
r r
x a
摂動力
地球重力場
月、太陽からの摂動
空気抵抗
固体、海洋潮汐
太陽からの輻射圧、地球からの照り返し
相対論的効果
地球重力場での各摂動の大きさ
Otsubo,T.(2005)より
重力場係数からわかること
重力場の形状
コア、マントルの物理的性質
相対論的効果の検出(Lense-Thirring effect)
ヤーコフスキー効果の検出(YarkovskySchach effect)
地震波の解析
海洋運動
数値積分法
ルンゲ・クッタ法
長所:アルゴリズムが簡単
短所:誤差が時間の二次成長
線形多段法
長所:高速
短所:誤差が時間の二次成長
シンプレクティック積分法
長所:誤差成長が線形成長
短所:散逸系に適用不可
時間対称型公式
長所:誤差が時間の線形成長
短所:時間非対称な系に適用不可
メタ数値積分法
数値解の補正により高精度化を実現
外挿法
長所:高精度
短所:実行速度が遅い
多様体補正法
長所:高精度
短所:積分する系に依存する
多様体補正法
Nacozy,P.E.(1971),Murison,M.A.(1989),Fukushima,T.(2003)
系の準保存量(多様体) → 保存させる
例. 力学におけるエネルギー保存
二体問題の数値積分
(Fukushima,T.2003)
運動方程式
r
dx
dt
r
r
dv
v , dt
エネルギー
E
補正法
r r
(x,v )
1 r2 3
v s
2
1 r2
v
2
r3
r
x
r
r r
(sx , sv )
Es
r
軌道長半径aと
エネルギーEの関係
0
E
2a
二体問題における誤差成長
ルンゲクッタ法
位置の誤差
エネルギーの誤差
2.人工衛星の軌道運動への適用
人工衛星のポテンシャル
軸対称摂動ポテンシャル
V
r
n 2
RE
r
n
J n Pn (sin )
球面調和関数ポテンシャル
n
V
r
n 2m 0
RE
r
n
Pnm (sin )(Cnm cos(m ) Snm sin(m ))
全エネルギーのよる多様体補正
運動方程式
r
dv
dt
r3
r
r
r
r
dV ( r )
r
dr
r
r
dx
a , dt
r
V (r )
全エネルギー
E
1 r
v
2
2
r
r
r
v
r
r
VS ( r ) V A ( r )
r
dE
V ( r ) , dt
r
v
r
a
z
角運動量の 成分
Lz
xv y
dL
yv x , z
dt
x
VA
y
ay
y
VA
x
ax
補正法 その1
補正式(単スケール変換)
r r
(x , v )
r r
( sx , sv )
s
の決定(全エネルギー保存より)
1 r2 2
v s
2
E
r
1
V ( sr ) 0
r
r s
ニュートン法を使用 初期値: s 1
補正法 その2
補正式(二重スケール変換)
( x , y , z ; v x , v y , v z ) ( s p x, s p y , s z z ; s p v x , s p v y , s z v z )
s p の決定 (角運動量z成分保存より)
Lz
x vy
Lz
y v x s p
xv y
s z の決定 (全エネルギー保存より)
1 2
2
vz sz
2
r(sz )
x
r(sz )
2
y
2
V ( x', y', sz z)
s z2 z 2 , C
C
yv x
0
vx
2
vy
2
E
2
ニュートン法を使用 初期値:
sz
1
ヤコビ積分による多様体補正
運動方程式
r
dx
dt
r
r
dv
V
r
r a
3
dt
r
r
n
R en m
Pn (sin )( C n , m cos( m )
n 1
2 m 0 r
r
vx ,
V
n
S n , m sin( m ))
ヤコビ積分
C
1 r2
vX
2
2
(X
2
Y )
2
r
V
補正法
単スケール変換
r r
( x, vx )
r r
( sx , sv x )
Sの決定(ヤコビ積分の保存)
1 r2 2
vX s
2
2
( X 2 Y 2 )s 2
rs
V (rs ) C
0
ニュートン法を用いる 初期値:s=1
数値実験 n=10まで
11次の線形多段法
(陰的アダムス法)
a 2
Re 1
e 0
I 45o
dt Period / 180
100周期後の誤差
11次の線形多段法
(陰的アダムス法)
a 2
Re 1
e
0
I
45 o
LAGEOS
11次の線形多段法
(陰的アダムス法)
a 1.92
Re 1
e 0.004
I 109o
dt Period / 256
GRACE
11次の線形多段法
(陰的アダムス法)
a 1.07
Re 1
e 0.0015
I 89o
dt Period / 180
HINODE
11次の線形多段法
(陰的アダムス法)
a 1.10
Re 1
e 0.0015
I 98o
dt Period / 180
HIMAWARI6
11次の線形多段法
(陰的アダムス法)
a 6.61
Re 1
e 0.019
I 0.06o
dt Period / 180
HARUKA
11次の線形多段法
(陰的アダムス法)
a 2.70
Re 1
e 0.61
I 31o
dt Period / 1200
3.結論
全エネルギーによる補正より
ヤコビ積分の補正が高精度となる
多様体補正法の効果
誤差成長の低減
丸め誤差の低減
安定性の向上
4.今後の発展
より現実的なモデルへの適用
空気抵抗
月、太陽からの摂動
太陽から輻射圧
地球からの照り返し
固体潮汐、海洋潮汐
を含む高精度・高速なアルゴリズムの開発
離心率の高い人工衛星の高精度化
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