変数分離法による
三次元二群拡散方程式の解法(7):
横断面漏洩法との比較
Solution of Three-dimensional Two-group Diffusion
Equation by Separation of Variables (7):
Comparison of Transverse Leakage Method with
Separation of Variables
株式会社 ナイス
江連 秀夫
目的
前回までの発表:
① 炉定数が均質な体系内では拡散方程式の解法に
変数分離法の適用が可能。三次元→一次元化。
② 二領域では一次元二群拡散方程式は解析解が求
められる。これを適用して三次元の解析解
③ 解の構成要素は明確に物理的解釈ができる。
今回の発表:ノードの境界での漏れを用いる横断
面漏洩法と変数分離法との解の類似性について。
2
三次元二群拡散方程式の解法
 D      0
(1)
2
 D1 0 

D  
 0 D2 


 1  1 f


 
12

 2 f 


 
(2)
 2 
ノード側面dydzについて積分
d 2 ( x )
D
 ( x )  L( x ) (3)
2
dx
(x, y, z)dydz
(x)  
4 y  z
 L1 ( x ) 

L( x )  
L
(
x
)
 2 
 ( x )
Z軸
L(x)z
L(x)y
(4)
Y軸
X軸
一次元斉次方程式(3)の解:基本解+特解
1 ( x )  a sin x  b cosx  c sinh x  d cosh x  1p ( x ) (5)
 2 ( x )  ap sin x  bp cosx  cq sinh x  dq cosh x   p2 ( x ) (6)
1 s
1 s
1 sh
1 sh
qD
L
(
x
)

D
L
(
x
)

pD
L
(
x
)

D
p
1
1
2
2
1
1
2 L 2 (x)
1 ( x ) 
(7 )
qp

qD
 (x) 
p
2
1 s
1
1
1 s
2
2
 
1 sh
1
1
1 sh
2
2

L ( x )  D L ( x ) p  pD L ( x )  D L ( x ) q
(8)
qp
a,b,c,d:任意定数 p,q:結合係数
λ,μ:特性方程式(3)の解
Ls (x), Lsh (x) : 基本解(sin,cos),(sinh,cosh)に対する漏洩の特解
4
ノード境界の中性子流
境界での連続則,平均中性子束が既知の条件から

J
j1

 
j 1
j1

( 2  H 2 )   j (1  H1 ) (9)
 j  Pj Tj j1  j  Pj C j 1 G j  S j j1Fj  C j Pj1E j  H j (10 )
P,T,Δ,C,S:ノード境界での連続則から求められるマ
トリックス 例:
1  cos 2 cosh 2  1
1 1

P  
p q 
 D 1  D 1 

  
 D 2 p D 2 q 




2


2



S
 1  cos 2 cosh 2  1 
q
p

2
2


G:特解のノード平均中性子束
F,E:特解のノード境界の中性子流、中性子束
ノードの中性子バランス
J x  J y  J z    0


(11)


 i i  0
(12)
( iK   iKm ) 1 Ki  i  H i  ( iK   iKm ) 1 Kim  iKm  H iKm
 
2 K
K  x , y ,z m 1, 1
  1i

 i
 2
g 1i 

g i2 

K   H
i
1
i
Hi

i
i

 i1Km d 1iK m 


 i  m d i  m 
2K
 2K

i 

H
 i  ' Ki  i
 K 1 

i 


i
(13)
: Correct ion value
6
三次元二群拡散方程式の階差式
1i 
i2 

 
  x , y , z m  1,1
im
1



  i i2m 1i m  d1i m   i d i2m i2m
i
i



k
i
1
1
1 1  i   1   ii
 1  


  
  x , y , z m  1,1
i im
1




(14)

 i2m 1i m  i d1i m  d i2m i2m

i


g
i
2
(15)
 2 1  i  1   ii
1  2 
i
i
i
i
i
i 1
k2 
g1  g 2 
2  1 k1 
i
i
i
  1  i i 1  i    p 1  i i 1  i  
  k 2  2   2 
 p  1   1  


(16)
変数分離から導かれる特性方程式
 D      0
2
d2 X
 D 2  x X  0
dx
i
i
J


1y , z
D1i B2  1i  1f 

X1i
 12i
 X1 ( x )Y1 ( y) Z1 (z) 

  X( x )Y( y) Z(z)  
 X 2 ( x )Y2 ( y) Z 2 (z) 
 Jy  Jz 

x  
 X 


 i2f


D i2 B2   i2 
J i2 y ,z
X i2
X  X 
Y( y) Z(z)dydz
4 y  z
1f
 2f


 1 
 


 
2
12

変数分離係数
 0 Ξ,Γ:隣接ノードの中性
子束、中性子流を相互
関係づけるマトリック
ス





im
i
1
 J1i y ,z 
(



)
i
i m
K
K

  Ji  Ji 
i
im





.


K
K
 i  y z K  y ,z m 1, 1
2 K
J
 2 y ,z 


8
まとめ
横断面漏洩法を適用した場合、三次元二群拡
散方程式の解は変数分離法の解の構成要素を補
正した類似形式で表される。前者は非斉次、後
者は斉次拡散方程式、後者は、前者の特性方程
式に変数分離係数を加算した方程式である。今
後はこれまでの知見を基に、変数分離法の数学
的と炉物的との命題を整理し、それらの関連、
背景を明らかにしたい。
9
中性子の挙動
Node i+m
Node
i m
1K
(g1)
d
Fast neutron
αi
Fission
Fission
Thermal neutron
d 2i Km
(g2)
Thermal neutron
Fast neutron
Fast neutron
m
d1iK
Fission
(g1)
d 2i Km
Thermal neutron
:ノード法,近代ノー
ド法では考慮されてい
ない。
Node i+m
Fast neutron flux
:反射体中で零、無
し
Fast neutron
i
(g2)
Thermalization
βi
Thermal neutron
Fast neutron

i m
1K
(θ1)
 2i Km
(θ2)

i m
1K
(θ1)
 2i Km
(θ2)
Thermal neutron flux
Thermalization
Thermal neutron
Fast neutron
Thermalization
Thermal neutron
:流入 ( ):流出
10
 1

 2 2 1  2 2 1  

1
   (a  b )  2

 4   2  4  c 2

2
2
2
2
2
  2  2 

 3 2  2  3 2  2  



G2  
 p
 2 2 1 

 2 2 1   
q
2
2
  2  2 (α2  β2 )  2 2  4 p 2   2  4 q 2 γ2 
 3 2  2   
   2  2 
3 2  2 



  


2c
a
2c
 a2
 2  4 2  22  42
2
2
2
 2
E2  
 a2
 a2
2c 2 
2c 2



  2  4  p 2    2   4
2 
2
 2
 2
F2


 D 21  1  1
2
 2


2
 2
 

 p2
q2

D


22 
2
2



2
 2




 

q 2 

 


b 2 






 2 




11
関数展開による特解の解法
gp ( x ) 
5
c
p 0
f (x)
gp p
f p ( x ) : Legendre polynomial
c gp は gp (x)を拡散方程式に代入して同類項が
零である条件より求められる。同様に拡散方
程式の解も求められている。
12
Decoupling Equation
d 2 (x)
1
1
1
1


P
D

P

(
x
)

P
D
L( x )
2
dx
 1 ( x ) 
  0


 ( x )  P ( x )
 ( x )  
P 1 D 1P  
0 
 1 ( x ) 
1 1 
12
12

P  
p
,
q

 2  D 2 2
 2  D 2 2
p q
1f
 2f
D1 B   1 

 0.

ω
 12
D2 B2   2
2
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