験
ノ「
報
時
~
居
着E
第 1
2巻 第 1競
宇無限均一弾性鶴の表面に週期的力が働いて
生ずる弾性波の停播
庚 野 卓 蕨 帯
~1.緒言
ー本文は,筆者の浅後地震に関する研究の一部である.目的は深後地震に就て大成功を牧めた地震
波の定量的研究を,浅後地震にも長しひろめんとするものである.その理論的研究の第一考とし
、
i
てF 宇無限均一弾性鰻の表面に任意の力が働いて生歩る弾性波の停播を取扱った.その前宇の問題
が表題の如き力が週期的に働いた場合である.
?
f
金〈同じ問題を既に故中野博士が解いてたられるが
博士のは地表面の波動丈を計算して長ら
(
1
)
‘れて,より重要な内部の欣態は考へて長られない.此庭で解いたのは,その内部の欣態である.故
・に本研究はいはど同博士の研究の縫演とも見られよう.
倫紙数の関係上,本文では計算と結果の要貼のみを記 L,全文は叉別誌に後表する積りである.
~ 2~
運動方程式とその解法
) を考へる・ z軸は同商に垂直で下方
宇無限均一弾性鰻の境界面に原貼を有する園等座標 (
1
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; 時間, p
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.
A μ; ラーメ常数である.
* 中央集象蓋
(
1
) H. Nokano
,SomeProblemsconcerning もhe,Propergationof ぬ eDisもurbances in and oI
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2
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中野博士は以上の運動方程式を基とし, 地面表に原貼を中心として (
i
) 放射欣勇断力
(
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i
i
i
)垂直力 (NormalF
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) が働く三つの場合を解
いて長られるが,筆者もそれに従ってそれぞれの場合を解いた.併し執れも同一方法で解けるもの
であるから,と Lでは主として (
i
) の場合丈,而もその要鯖のみを示す事にする.
t
p
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i
) の力が I
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, 、その時の弾性瞳内の一騎のき電位を
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.
.
.
.
.
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l
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出
3
キ無限均一弾性韓の表面に週期的力が働いて生ずる弾性波の惇播
上の式を更に分けて
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“[Jn+l(~r') -Jn-l(グ )HJn+l(争):f:Jn-I(~r)J d~
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二
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1
5
}
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5
宇無限均一弾性瞳の表面に週期的力が働いて生ずる弾性波の惇播
である.
我々は R が充分大きいとじて上 2式の漸近解を求めるのであるが,その解法は坂井博士の方法
と根本的に同じである(1).ω 面の性質F 被積分函数の極及び分校黙の位雷に閲する議論,場合を三
つに分けて計算する事等々 3 本質に於ては全く博士と同じ友のである.それで、それは省くとして一
足飛びに結果に移る.
3
3
.6種 の 波 動
今,地表面に働く力は,原黙を中心とし'1"0 を宇径とする園の中丈にあるとして,之から充分離
れた場所の波動を調べた. (
1
2
)(
1
3
) 式を, 8 の値に従って三つの場合に分けて,漸近解を求むべ
pち, P 波 .β1波(第 1種 S 波
)
, 82
,波(第
く解くと,六種類の波動を区別する事が出来る. g
2種 S 波),レーレー波,今二種は,.
p
'波
, 8
' 波と云ふ二次的友,特殊友波動である.
便宜の鴬 Rsin8=r, Rcos8=z, cp=cp
, 81 波,82 波の解は,夫々の成分
で定義される極座標を併用するとj 昼間波とも云ふべき P 波
。
向。
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o
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'
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i
n28
町
叉最後の O(k~) 等は省略した項のォザ{を示す
上の式から中jる事を列奉ずれば.
(
1
) P 波は θ=const. 面内で, 81 波は R=co:nst.
、商内で, .
82波は Z二 c
o
n
s
t
. 面内で振動する.
1 .
.
. 1
B が充分大きくて互によじし矛が無視出来る程
.第 1 園
P,8H 82 設の張動方向
になれば P 波は R 方向に, 8i 波は 9方向に,
82 波は
p 方向にのみ振動すぐ第 1 園λ之等の波
が地下で曲げられて再び地表に出て来る時には 81
波は 8V波 に ん 波 は 8 H波にたる.
(
2
) 8=子 即 ち 地 表 面 に 沿 う で は P 波と 81波
の第 1 近似値は零になる . 1
3
Pち地表は之等の波に
~s
謝して節商を友す. 82 波に霊ましては別にな・んでも
~ >
,
t
.'
-.
.
.I王 ¥ > , t . . ...
,
.
I ¥
えにいから地表面に沿うではん波丈が( :
:
'
1のオ{ダ{で進み P 及び 81 波は大きくとも
(:
:
?
)
¥.RJ
¥R j
のオーダーとなる.、之は中野博士の結果と一致する.
'
:
t
.
.
.
(
3
) n=2 の場合は象限型稜震機巧に相官する. その時は P 波の分布も c
o
s
2
c
p を含むから象
限型となる. 81 波も cos2cp を含むから P 波と同じ象限型となる が
, 82波は s
i
u2
c
pを含むから
I
P 波とは 4
5 度食ひ遣った象限型とたる.故(!C, 81 波が 8V波とえ主って再び地表に現はれる場合
に は ん 波 の 分 布 と 重 複 す る か ら S 金鰻としての分布には笥線がえにく友り象限型とはならない.
本多博士は曾て西埼玉地震について方位による地震動の模園を示されたが川上の理論と一致する
様に思はれる.
(
4
) 振幅に
L1n,L2n 等 の 函 数 を 含 む か ら 振 幅 の O分布は地表に作用する力の週期とか分布
の仕方によって愛化する .r
o 園の中で,中心より園周の方に力が集って来ると下方に出る波動の量
が多くえにって来る.最も自然に近い力の分布扶態を求めるのが,本研究の最大の叉最も困難友問題
と在ってゐる.
(
1
) 本 多 弘 吉 : 浅い地震の機構と記象型は就て,験震時報 5 巻 2 ~虎,
- 6
ー
I
昭和 7年 6 月
(¥
7
宇無限均一弾性慢の表面に週期的力が働いて生ずる弾性波の俸播
。
例
次に表面波は F 饗位成分を {
}
z
,r,{
}
z
,
.
、!s
Lz
とかくと
。z,r= 竺~Lln(κJTo)fEL{2drawー
(2/C2ーが) eーβlZ}{H~2~μr)-Eriμr)} cosncpetPt
)
: F'(必
4
μ
UI
t
P
t
{}z,ψ= 竺~ L1n('" r
O
)主EL{2drawー (
2/C2-P)e-戸lZ}{H~2l1(が)十Hf:~l (/Cr
)
}s
i
n?
z
f
te
ト
ー (20)
4
μ
F
'
(/C)
{}~Z
7n_ κ 2
=:
L1n(κ,
1
'0
)一一
{
2
α
1
β
1e
-a1zー (
2/C:i..
!
k2)c
-問 時)
(
"
r
)C
O
S叩 e
tPt
2 fL-~'.\"-'
F
'
(
κ
)
U
'u/
、
イ
ー
F
p β1=1ji
二
五
三
i
i
c
G1
=
"
V
/
C2二
但し
κ は F(g)=Q の賞根である.
‘此の波が,振幅を除いては,自由レーレー波と全く同じ性質のものである事は容易に詮明する事
h _
7
T
"
-a1Z を含む波は s
ーくOくー
i
n
-1
が出来る.只具る所はその垂直分布でるる .e
/
C
2
s
i
n
-1
主くO
く与の範園で、のみ存在する.之に就ては叉後で述べ、る .(
/'0
C
/
β
l
Z を含む波は
e-
己
}
p
I中,{
{
}
P
Iη {
' の成分を夫々 (
}
p
I
Z
),(
{
}
S
l
r
}
S
I
c
p,{
次に P' と S
,{
}
S
'
Z
) とかくと
/
4
ε(ε2-1)
白7哨
7
r=-LL1n(
h
,
r
o
)
,
,
一一一
2(
/
2
幻想(
(
ε
2
2
)
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3
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R
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nO-COS8
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i"
…
'
e
.
:
.
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1
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P
{
R
)
}
町 内 +tpt
'
4
l
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1
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7
一一一
2
3
2
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v μ ( ε 2 _ 2 ) 3s
ye-1s
)
C
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i
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)3
{
}
P
I伊=一一一一n
L
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7
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げ 一 山 内nn叶
叫O
右
)
}
2
1
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・
・(
Xe-
/〆
4〆
¥ 1
_
1
)
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ε2
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2
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,
,
~~一一一
1
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y
e-f
s
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n8-cos0
)明 (kR)2
i
n 0(
,
{
}
p
hr
z =ー←一一 L1n(
o}
,
,
,
/9
;;
Xe-げ 岡 山
-n(ε2_1)3/4
1
, εsio
) J
)
3
β (hR)2 _
/
2
θ
(
ε cos8+げが -1s
n1
i
n8
{}S
=竺LL1n(kr
'
'
l
μ
Xe-tT一
c
o
s
n
c
vh+o{~
一 日z叩
'(
。
i
t
¥
-hRJJ
mp+I(ε2_1)3/!1
-nLIn(k
,
T
o
)
伊=一一一
'J
v
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3
/
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μ
ーふ
Xe
tkr-Y両 吾 川
(
ε
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〆
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,
1
/
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二1
)
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.
με2sin
(εcosθ+iy
s
i
n8
"
i
i
-帽
4t
kr
{
}
S
I
Z
=一空と-L1'TI(
o
)
,
宮
ーいー四z+tptcos叩
(
目
。
(
古
)
}
Xe
-7-
2
2
)
・
・(
8
験
P
'波も 8'波も
ν
主く
k
震-時
Oく zの範園に丈存在する
2
報
叉敦れもそのオーダーは会であるから
F
他の波に比して重要で、えにい.上式から中j
石事を列奉ずればヨえの如くである.
まづ P'波に就ては
.ら =
(
1
) p'波の波面は h
r
+
V
k2コ
pt と云ふ国錘面になる.波面に直角に S波の速度で進行す
〆
"
る.但し地表面に沿う方向には P 波の速度を持つ.
(
2
) 純然たる横波で波面内で 8V的に振動する.
(
3
) 配
みると
A
1
fO の方向で振幅が無限大になる様であるが此の部分について更に詳しく吟味して
ご
o
(
却 友 っ て や は り 二 次 的 械 で あ る 事 に 相 違 はb
1
(
5
) 地表面に沿うては P 波の速度で進みそのオ{ダー矛 1で、ある・一方 P 波も地表面は節面
1
と友ってやはりそのオーダ R2 と友:る・爾者を加ヘ合せる中野博士が地表面の P 波として算出
したものと一致する.
S
'波については
(
1
)S
'波 の 波 商 は か =pt と云ふ国場面である.
(
2
) レーレー波の様に進行方向に楕園振動を友し,その向轄の方向と進行方向との関係はレーレ
ー波と同じ.深さと共に指数函数的に振動が減少する所も似てゐる.
(
3
) 地表面に於ける 8
' と S 波の値を加へると中野博士が地表面の S波として求めたものと一
致する.
/
)
/ ~4.
各浪動の間♂の関係
各波の聞の関係を簡皐に述べる
第 2 園はある時刻に於ける各波の波面の位置を示す.但し λ=μ とな沿いて角を計算してある.
園にした記読によって明瞭 と思ふが,宇国 AA
,BBが夫々 P 波 S 波を,直線 O
K' と OKが
d
1
Z 項及び e
s
1S
l
: 項 を 示 す 叉 直 線 AL と直線 B
L
'が P
'波と 8'波である.
レーレー波の e-a
勢力の関係を調べると次の様主主事が中j
った・
レーレー波の勢力は波面に直角に流れ出る.でその下端 K'から新しい勢力が絶えす=次に湧かな
o
けば友ら左い勘定にえにるが,之は P 波から補給される.K
'から出た勢力は水平に流れて OK線
に交叉し之を超える.超えると際商に勢力が不連綾的に一部減少する. 3
t
P
ち K 黒占で勢力の一部が
吸牧される.之は S 波を酒養する.要するに P 波の勢力がレーレ{波と云ふ管を俸はって S 波
に流れ込んだ事になる.
P
'波の勢力も波面に直角に流れる.従って
A 黙を通し P 波から絶えず勢力を補充してもらは
'波は大鐘は水平阿波面に直角に,流れるが一部上昇し表面を通して S波
なくてはならない. 8
-8噌
、
9
宇無限均一弾性瞳の表面に週期的力が働いて生ずる弾性波の惇播
一 一 . . 12
に流入する.要するに,之等一次波は振幅かーのオ{ダーであるから,勢力保存の原理がぎラゆ
R
う具合に成立するかを調べて見たわけである.
策 2 聞 各 波 の 波 宙 開 の 関 係 くO は震源,
OZの左右は封稽〉
〆
o
C
B
A
r
B
'
5“
・
k
~
5
. 波長が長い場合の解と周
最後に表面力の作用する面積に比して波長が充分長い場合の解とその園を掲げる.
a
) 放射欣勇断力
t
p
t
f
l
'
l
l(
r
)GOSncpe
が宇径
'
1
'0
の園の中で働いた場合には,先づ昼間波は
s
i
nn
BVe2s
i
n
:
!
B
{
}
R
=ー 2AnuvoB
v Q~.u. .v y
D(cosB)
{}R=-♂ An
,
_
_
①
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B
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_
_ e 伐 R+tpt
E(cosθ
,' 7
kR
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Ans
i
n
n
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i
nn伊町
A
-tkR+tpt
kR
但し
An=hn~竺LlroIIW) ・
μ2nr(n)Jo
れ =0の時には
- 9-
rndr
.(
2
3
)
1
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時
震
報
2
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8 e-tnR+tvt
口 ~;u v r
D (cos8)
hR
ðR=2An~
,
-
回
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+
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_kR
...
'
(
2
4
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:
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Ic
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。伊二 O
A
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E
2
4
j
T
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g
o
(
タ)
r2dr
但し
f
L~ Jo
賞用上の見地から n=u;1
.2
,の場合の之等の振幅の方位分布を孔 =μ の場合について第 1表
及び第 3圏に示す.固に見られる如く P 波の振幅は S 波のそれに比して著しく小さい.之は観
測事賓と定性的に一致する.叉 81波は分布が 8=45 を境にして二部分に分れてゐるのが目立つ.
0
下部の方が大きい.叉ぬ波はん波よりも優勢で、ある. 作用力と波の位相差〈遅れ〉は P 波で
1
第
。
。
O
2
28cos(
D(8)=(3-2s
i
n
8)2-4sin
)
.
¥
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百
云
可
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i
F
e
z
r
+
、
旬
os2<
p
ð~=O・3801A2:7LλπMmtpzeω2伊
uκr
以上の数値から,昼間波に霊まするレ{レ(波の振幅の割合が中j
る.
以上と同様友方法で得た同事事挟勇断力は垂直力が地表に働いた場合の結果を示す.勿論力の働-く
面積は波長に比して充分小さいとする.
b
) 同事事欣勇断力 P
n
(
r
)Sillnβe(pt が地表面に働いた場合の解は, 既に述べた放射欣勇断力の場
I
n
(r
.
) の代りに P
n
(
"
) と3
ないたものと金く一致する.只 n=O の場合には同事事勇断
合の解に於て J
力を
p
o
(
r
)~ipt t.会くと第
2 の S 波 (SH)丈稜生して他の波は何も起ら左足い.即,
ds
r=0
2
A
-ikR+tr
。抑=AosinBJ::
kR
ド
.
.
. ・・・・・・・・・・・・一・・・・・・・・ (27)
J
0ぬz
=
O
寸
封
、
。
但し
(
1
'
)'
1
2d
,r である
A
かように作用する力の性質が金ぐ異るのに同じ結果を生ずる事は注目に値する事である.もっと
1
0 が同程度になると,各空間波の量の割合に於て,爾場合は多少喰ちがって来る.
も波長と '
t
p
t
ダ(
c
) 垂直力が作用した場合の特長はん波が全く起ら友い事である.作用力を Zn(
1
')
c
o
s仰 <
pe
とすると昼間波は
策 5 固 く其 1)
垂直力 ~(n=O) に止って愛生ずる各波の射出角分布
一 司
14‘
1
5
宇無限均一弾性韓の表面に週期的力が働いて生ずる弾性波の惇播
,策 5 固 く其 2) 垂直力 (η=1) に止って護生ずる各波の射出角分布
策 5固 く其 3) 垂 直 方 (η=2)に止って愛生ずる各設の射出角分布
J
.{}R=An
e
)
_
_
_e
Os
:
i
nnp(ε2-2s
i
n2
D(cos(
J
)
hR
V:2-sin2
ωesinn+le
{}o=_2sn+lAn
R
+
t
v
t
ー幼
(
J
E(cosθ
.{)F叫
c
o
s勿 g
;
"
:
:
'
fpt
}-. • .
.
. • ;.
.
(
2
8
)
kR
d
c
p
=
O
r
,
n
i
Zn(r)rn+1dr
μ2
四f
'(
n十 1
)ん
k
n
+
l
'
An=一一
但し
賞用の見地から n=O,1,2 の場合の之等の振幅の方位分布を λ=μ り場合について第 1表及
k
び第 5 園 示ず.国t.c見られる通り,前の場合と同様 P 波が 81 波よりも小さい.叉 81 波は二
- 1
5ー
1
6
験
震
報
時
0
部分に分れて今度は上部の方が大き〈友ってゐる.分岐黙は 8=35
1
0
' にある.位相の遅れは P
波にあってはp
3
7
1
・
2' .
' 2
.
7
l
・
鈎
=0,1,2 に封し夫々一, 7T',ーである. 81 波に撃ましては,まづ n=Oの場合,
0
0
8=0から 35
1
0
'迄7i-ArgE,8=.35 10' から 90。迄 ~-ArgE である. n=l
,2 の場合は上
2
の値に夫々を,7l"を加へればよい
レーレー波の場合は放射欣勢断力の場合と殆ん E同じである.只 B
r
aが今度は
2
Bn=lÝ~~nlln (
21l 同 Lr
弘附句
n
μ2
F(n+l)βl
F
'
(κ
)
)
0 .ú n~r Jr .-ar
e
となる.
An と B.
, との比は
百
1
芸k
n
+
1 '(I
An/B
戸 一 一F
l
)
κnβ1
^
=
μ とすると
鈎
=0のときは
。
。
ムパ
宵
r
=
0
.
0
9
1
7A V
l
l
r
よ
C
fl<
do=O
ユ
3
8
0A u,
z
re十 tr
+
t
p
t
/
C
1~=1 のときは
0
ふr=O
ω
.
0
ω
9
9
釘7A
ム1ι
ム
"'κ~r
パ -ttr
ル 山い
d
叫川
げ
K
l
<
事
苧
揖
叫
?
走
i
七
7e
竹町
…
m
+
ω
“
0
仇戸
8
作い
=
凶
0.150
4
n=2のときは
o
r=0
1085 i4 -E4
叫t
l
e
γ+
・,p
tcos2伊
0
.
1
0
8
?
fAz長ア ・
。
。
=
・
01592A1-÷
2
Y
K
γcos.2cp
『、
終りに,本研究 t
亡格始興味を持たれ御鞭捲を賜はった本多地震課長,並びに地震課の諸事兄につ
"
.
Lんで厚く感謝の意を表する.叉砂たからぬ数事上の疑黙に就き色々教示と相談を奥へられた正
野技師並びに本間技師に厚く謝意を述べる.叉製園を台願し?と高見嬢並びに計算を手停って戴いた
大竹氏 K御躍を申上げたいと思ふ.
〈昭和 1
6年 11月 11 日 於 中 央 気 象 叢 〉
-16ー
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