岡山大学井数 ・数学教育学会誌
r
パ ピルスJ第 1
9号 (
2
01
2年)6
5T
3-7
0首
I
CT 機器 を利用 して、数 学的活動 の充実 をめ ざ した
高等学校 にお ける授業実 践
∼高校 1年生 「
y=s
i
nxの グラフ」の授業実践 を通 して∼
岡 村 忠 幸 *
研 究 の要約
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I
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l
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1
I--. - 一
一一一1--I--1---I-.-I---I----------一一一
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・
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新学習指導要領
か
ら、高等学校
の数
学の授業
にお
いて
も
r
数学的活動
の重視」
の方
向性
I
:
講義形式」 の授
lが示 され たO 私 は今 回の学習指導要領 の方 向性 か ら、高等学校 の授 英 も r
;
数学的活動重視」の授業 -転換すべきでは ないか と考 えて いるo
1薬 か ら r
:
l 数学的活動電視 の授業-転換すべ きとはいえ、高等学校 にお いて数学的 活軸が ま った く
:
L
Hづ
l行 われ ていない とい うわけではない。 問題 は 、授業 に 「どの よ うな」数学的活動 を位 J
:
Iけ、「どの よ うな方法 を用 いて展開」すべ きかであ る と私 は考 えてい るO
関数 のグ ラフの作成 」を数学的活動 と して授 業 に位芯 づけ、活動 を充実 させ る
I 今 回は、「
:
r方法 と して 「
I
CT機器」 を用 いて授兼 を実践 した. 「衆を作成 し、グ ラフを作成 し、グラフ
I
:の特徴 をま とめ る」 とい う授兼ス タイル を、TCT 健勝 を利 用す ることで どの よ うに質 を
:め られ るのか を、生徒 の授業後 の感想 を もとに考察 .検証 した。
市
keywor
ds:ICT機器 の利用
1,数学的活動重視 の方 向性
高等学校 にお いては、各高等 学校 にお いて、
新学習指導資領 において、高等学校 の数学
授業 の進度が さま ざまであ る。 中には、授業
においては、その 目標 が以下の よ うに定 め ら
の進度 が とて も速 く、効率的 な知軌 の伝達 を
れ てい る。
重視 して、授業 では 「
詐義形式」 の授業 が中
r
数学的活動 を通 して、数学 にお ける基本的
心の学校 もあ る。 私 の勤務す る高校 もその形
な概念や原理 ・法則 の体 系的 な理解 を深 め、
式が中心で あ り、私 も普段 の授 業では、その
事 象 を数学的に考察 し表現す る能 力 を高め、
よ うな授 英ス タイル 中心で行 ってい る。
創造性 の基礎 を培 うとともに、数 学の よさを
今回の学習指導要領 の改訂 か ら、私は高等
認識 し、それ らを税極 的に活用 して数 学的論
学校 の授業 の方法 は、「
転換期」が来てい ると
拠 に基 づいて判 断す る態度 を育て る。」
考 えてい るO それ は 「
瓢歳形 式」 の授 英 中心
この文章の、冒頭 に述べ られ てい る 「
数学
ではな く、「
数学的活動 を重 視 した」授業への
的活動 を通 して ∼ 」の一文か らも、新学習指
転換期 であ る。 もちろん講義形 式の授業 は効
導要領 が、数 学の授業 の中で、数学的活動 を
取 り入れ、その充実 を奄視 してい ることが見
率的 な知織の伝達 を 目的 と してお り、授業 の
て取れ る。
分承知 してい る。 私 は、講義形式の授業 を最
低 限に とどめ、数学的活動 を重視 した授業 を
*岡山県立岡山工茶筒等学校
中心に行 ってい くべ きではないのだ ろ うか と
-
進度 の関係 もあることか ら、その重要性 は十
65
I
考 えて い るので あ る。 今 回実 践 した授 業 は 、
か ら、や は り 「
授 業 Jで の学 習 が生徒 の 実 態
数学 的活 動 を中心 に し、 それ を充実 させ る手
か ら考 えて 、出重 な学習 時 間 とな る。 この よ
立て の有 効性 を検 証 した0
うな理 由か ら、1時 間 の授 某 の 「
質」を 「
数
学 的活 動 」 を充 実 させ る こ とで 、高 めて い け
2.岡 山 県 立 岡 山工業 高 等 学校 にお け る授 業
るので は な いか と考 え てい る。
実践
(3)授 業 の概 要
(1)学 校 の概 要
本校 は 、機 械 科 、土木 科 、化 学 工 学科 、デ
ザイ ン科 、建 築 科 、情 報 技術 科 、 電気科 の 7
1. 単元名
三 角 関数
2,単 元 計画
科 、 1学年 8ク ラス (
機 械 科 2ク ラス 、3年
第 1次
三 角 関数
第 1時
角 の拡 張
で あ るO 生徒 の ほ とん どは就 職 す る とい う進
第 2時
三角 関数 の性 J
l
f
G
i
路 を とる。 また 、部活動 が盛 ん で 、テ ス ト一
第 3時
三角 側敬 に つ いての 力 投 】
t・不 等 式
生 のみ機 械 科 は 1ク ラス )か らな る大規 模 校
第 2次
週 間前 で も、一 定 の条件 の下 で 部活 肋 をす る
こ とが で き る。
数 学 につ いて は 、す べ て の生徒 が数 学 I、
牛徒 には 、選 択科 目と して数 学 Ⅲ と数 学 B を
る。
三 角 関数 の加 法 定理
第 2時
加 法 定理 の応 用
第 3次
Ⅱ、数 学 A を必履 修 と して い るo 進 学希 望 の
開許 してお り、履 修 す る よ うに指 導 を して い
加 法定 理
第 1時
第 1時
三 角 関数 の グ ラフ
y=s
i
nxの グ ラフ - ・(
本 時)
第 2時 y=c
os
x,y=t
anxの グ ラフ
3.本 時 の 目標
y=s
i
nxの グラ フ を香 き、周 期 性 な ど三角 関
(2) 生徒 の実態
数 の特 徴 を理解 す る。
4.対 象 生徒
情 報 技術 科 1年 生
面 目に作 業 に取 り組 む 生徒 が 多 く、非 常 に落
5.場所
岡 山工業 高校
ち着 いて い るO -方 で 、学習 の 内容 の定着 が
6. 日時
7.準備 物
201
2年 2月 15 日
/
L徒の 実態 と しては、 教 師 の指 示 に従 い兵
十 分 で は ない こ とが 、定期 考査 な どか ら うか
視 聴 覚教 案
が え るO 例 えば 、 きちん とノー トを取 って い
ワー ク シー ト,生徒 の投 票感 想 記 入 用 紙 ,
るが公 式 を覚 えて いな か った り、覚 えて い て
パ ソコン
も使 い方 ま で習得 で き てい ない生徒 も、少 な
か らず い る。
(
PP,GRAPES)
, ホ ワイ
トボ
ー ド (
黒 板 の代 用)
(4)授 業 の流れ
授 業 の進度 と して は 、1年 生 の うちに数 学
Ⅰが終 わ り、数 学 Ⅲを学 習 す る。 つ ま りは 、
1995)
授 業 の 流れ を考 えて い く際 に 、 中原 (
の構 成 的 ア プ ロー チ の授 業モ デ ル を参 考 に し
1年 間 に きちん と 1冊 の教科 碁 を終 え る程 度
た。その モ デル に よ る と授 業 は 「
音 識 化 」、「
操
の進 度 で あ る。 扱 う内容 は 、主 に教科 香例 題
作 化 」、 「
媒 介 化 」、 「
反 省 化 」、 「協定 化 」 の 5
レベル の 問題 を扱 い 、必要 に応 じて応 用例 靖
段 階 に分 け られ る。 各段 階 を非
も扱 うo 教 科 苔車 末 の問題 は扱 わ ない。
に鋭 明す る と 「
意 職 化 」 は、授 業 の導入 に相
常にお お まか
数 学 学 習 に お け る生 徒 の 探 題 と して は 、
当 し、「
操 作 化」は 生徒 が初 めて 自分 で問題 解
個 々人 の理解 力 は 商 いが 、家庭 で の学 習 時 間
決 を行 う場 面 で あ る。「
媒介 化 」は 、操 作化 の
は少 ない とい う実 態 が あ る。 この よ うな都 実
段 階 の類 似 問題 を解 決 す る段 階 で あ り、必 要
-6
6-
に応 じて設 ける段階 であ る。「
反省化」は、他
者の考えな どを聞 くことによ り、生徒 の理解
が深化 ・発展 す る段階 である。 「協定化 」 は、
ま とめに相 当す る段階 であ る。
以下に、私の実践 を各段階に分 けて、行 っ
た手立てを示 し、授業の流れ を示 す。(
手立て
は轟号① ∼⑨ を付 与 した。)
様子 を GRAPES を利 用 して見せ る。
⑧ グラ フの形 を生徒 が確認で きた後 で、
GRAPESの y
=s
i
nxの グ ラフを投影 しつつ、
0 までのグラ
教師の発間 「
今は 、00-360
0 以 卜も考え
フを番いたけ ど、角度 は 360
0
られ るこ とをみ んなは知 ってい る。360
以上か らは どのよ うなグ ラフにな るので
直垂L
Ej
しょ うか ?」 と問 い、生徒 に考 え させ た後
y=s
i
nxの グラフ磨
① ワークシー トを渡 し、「
いてみ よ う」 と PPで生徒 に提示 し、本
で 、GRAPESで 3600 以上の点 もプ ロッ ト
時の裸題 を伝 える。
_
I
,
t
J
H
l
.
:
②
r
表 を完成 させ よ う」 と PPで提示 し、
00- 3600 の表 を完成 させ る。
③ ワー クシー トの座標軸に点 をプ ロッ トさ
せ る。
④発 問 「
点 と点の間は グラフを どの よ うに結
べば よいですか ?」 と発問 し、点 と点 を結
し、グ ラフの形 を見せ る。そ して、同 じ「
形」
が繰 り返 され てい るこ とを確認 し、 グ ラフ
の周期作 を理解 させ る。
堅甲
⑨y
=s
l
nXの グ ラフは周期性 を持 ち、その周期
が 360
0 であ るこ とを縫線す る。
ばせ グラフを作成 させ る。
E
i
l
l
i
L
l
⑤ パ ソコンの PPか ら GRAPESの画面に映 し
軌跡」機能
変 え、GRAPESの機 能 である 「
=s
i
nxの点 を一点一点の間隔 を大 き く
でy
開けて連続的 にプ ロッ トす るo
⑥教師の発言 「グラフの大 まかな形 はわか っ
て きたが、 まだ点 と点 の間が空 いてい る。
了
LA■
l L⊥
ど うすれ ば、 グラフ点 と点の間 を埋 め るこ
点と
とができる ?」 と発 間 し、生徒 か ら 「
一
一
点の間隔 を さらに細 か く して点 をプ ロッ
トす る」 とい う発言 を引 き出 し、GRAPES
で さらに細か く点 を打 ち、外見上すべての
Fl
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∼.
.
∼.
[
(
丑教師の発間 r 見、すべての点がつなが っ
てい るよ うに見えるが、本 当につ なが って
い るのか ?」 と問いか け、生徒 を考 えを揺
拡大」で
さぶ った後で 、GRAPESの機能 「
グラフの一部分 を局所 的に拡大す る。 す る
と、まだ点 と点の間隔が空いてい るのがわ
か るので、 さらに細か く点 をプ ロッ トす る
有
「I
冗 言
.l
千
f
局所 的 に
.
ノ′ '
点がつ ながってい る様一
子を映 し出す。
せ
5欄
7ー
よ り と記の よ うな 2点 を克服 で きた こ とが授
業 の工 夫 であ る。G
RAPESであれ ば、人間が
才 で行 う点 のプ ロッ トよ りも、正確 に よ り早
く、 よ り多 くの点 をプ ロッ トす るこ とが で き
る。「
人 間が で きない こ とを機 械 で行 うこ と」
が工夫 であ る。
② につ いては 、反省化 の場 面の 手立て⑦ と
手立て⑧ で あ る。 手立て⑦ にお いては、教師
の党 閥 ト-見 、すべ ての点 がつ なが って い る
よ うに見 えるが 、本 当につ なが ってい るの
確 聞 :「36 0 以 Lか らけ どの よ う
0
か ?」 に よって、生 徒は ス ク リー ンに映 し出
され た 岡が 曲線 です べて点 と点 が 滑 らか につ
なが ってい るもので あ る と考 えてい る。 牛徒
は この発 問に よ って、 自 らの考 えを揺 さぶ ら
れ る。そ して 、
GRAPESで局所 的 に拡大 す る
と、つなが って いない様 子が酪 兄す る。 この
ことでf
E徒 は 「グラフは 、点 が つ なが ってい
(5)指 導 の工夫 点
今 回の実践 にお け る工 夫 点は、数学 的活動
るの では な くて、点 が集 ま って つ なが ってい
を充実 させ るた めの方法 と して 、「
I
CT機器 」
化・
確 展 す るの では ない か と私 は考 えてい る.
を利用 した ことで あ る。 特 に工夫 した手 立て
また、手 立て(
塾につ い ては、生 徒は 0 0-
と しては 、以下の 2点 で あ る と考 えてい る。
360 0 まで しか、グラ フを 拝い て はい ない し、
① GR
APESを用 い て、連続 的 に点 をプ ロ ッ ト
ス ク リー ンには 見 えてはい ないo だか らこそ
教師 の発 間 「
3600 以上 か らは どの よ うな グ
す る様 子 を生徒 に見せ た こ と。
② 「教師 の発 問」 と GRAPESの機能
る よ うに見 えて い るj とい うよ うに考 えが深
「
拡 大」
ラフにな るの で しょ うか ? 」 に よって、乍徒
を併用 した こ と
の想像 力 をか きたて た後 で、GR
APESで
O につ い て は、反省化 の場 面 の 手 立 て⑥ 、
徒 も碑 解 し、理解 が深 ま るよ うに思 う。
36 ∩ 以 上 もプ ロ ッ トして見せ る こ とで 、生
0
⑦ の ことであ るO 手立 て⑥ 、⑦ にお いては、
この よ うに、「
発 閃 」に よって生徒 の考 えを揺
y=sinxの グラフの点 を連続 的 にプ ロッ トす
さぶ り、I
CT機 器 に よって 「確認 」す る こと
る。 この よ うな作業 は、人間が行 うと以 下 の
で佐徒 の理解 を深 化 ・発展す る こ とがで きる
よ うなデ メ リッ トが生 じるn
のではないだ ろ うか と私 は考 えて い る。
Q 無坪 数 な どは っき りとはわか らない数値 を
含 む点 は 人間 にはプ ロ ッ トで きない。
(6)生 徒 の感想 に よる授某 の評価 ・考 察
塗)
50分間 をす べて点の プ ロ ッ トの た めの時
授業 の終 了 5分 前 には生徒 に授 業 の感 想 V
)
間 に使 って も、人間で は た くさんの グラフ
感 想 を 自由記述 の形 で竃 かせ たo 以下 の よ う
を苦 くことはで きない。
な感想 が あ ったO
生徒 A :「
単位 で もグラフで も、衷 ではな く
I
CT機 器 、今 回 は GRAPESを使 うことに
-6
8-
山形 " と し し
ー
見 る こ とで、 よ りわ か り
やす く学ぶ こ とが できた。s
i
nについ
ては、不等号の変 わ り方の意味が よ り
わか りやす く理解 で きた。」
生徒 B :「
表の グラフの点 を 0.
1
0 ずつな ど動
生徒
CT機鴇 を利 用 した こ と
以上の ことか ら、I
で、生徒 に とっては以 下の 3点 が とくに理解
され た ようだ。
かす ことに よって曲線 にな るこ とが し
①y=s
i
nxのグラフの形 を理解 し、グラフは周
期作 をもってい る こと
っか りわか った。」
② グラフは点の集合 体 であ ること
C:「細かい ところまでみれ て、わか りや
すか った。点 と点の朋は永遠 に埋 ま
③ si
nxの各角度 にお ける符号の変 わ り方の
理解 が深 ま った。
らない 」
生徒 D:「
限 りな く曲線 に近 い点の集合体 、
4.今 回の実践 を振 り返 っての考案
y=s
i
nxのグ ラフは周期 が ある。」
坐徒 E:「
若 くだけではわか らない ことが、ス
い う数学 的活動 を授業 の中心 に行 った。 普段
今 回の実践 では、「
関数 の グラフを番 く」と
ク リー ンを見 て理解 で きたO」
であれ ば、
表 を作成 し、黒板 で グラフを番 き、
このほかに、ほ とん どの生徒 に見 られ た記
述内容 と しては 「
周期性 を持つ」や 「
パ ソコ
れ ばその よ うに行 う数学的活動 を 「
充実」 さ
CT
せ る とい う点 に焦点 を当て、方法 と して I
ンを使 ったので、新鮮 に授業 が受 け られたC」
機器 を使 用 した。 この ことで、生徒に とって
な どがあったQ
は、「グ ラフが点の集合 であ る」とい う点が強
その特徴 を ま とめて い く。今回 は、普段 であ
生徒 A の記述 か らは、グラフの "形"が見
ることができた ことに よって よ り分 か りやす
く印象づ け られ た点 で、普段 の授 業 よ りも質
の高い ものにな ったのではないか と考 えてい
くなった とあるO グラフの "形"は、教科 部
るn
や 自分でグラフを番 いて もわか ることなのか
I
CT 機 器 は、授 業
私は今 回 の実践 か ら、「
も しれ ない。けれ ども、今回の よ うに I
CT機
者 の指導力 を さらに発揮す るための道具 であ
器 を利用 した ことで、印象が残 ったのではな
いだ ろ うか。また 、
不等号 と記述 してい るが、
CT磯
る」 とい う誰織 を得 ることがで きた。I
紫 を使 うだ けで も 1度 で あれ ば 、生 徒 の興
これ は、各角度 にお ける s
i
l
l
Xの 「
符号」の こ
味 ・関心 を引 き付 け られ るか も しれ ないO け
とであろ う。 グラフを観察す ることに よ り、
れ どもそれ は 、I
CT機器 -の興味であ り、数
符号の付 き方の理解 が深 まった よ うだ。
学の内容 に関す るものではないので あるu あ
生徒 Bの記述 内容か らは、今 回の授業 の工
夫 の成果が見て取れ る内容 が市かれ てい る.
くまで 、I
CT 機 器 は 、数学- の興味や 関心、
理解 を深 めるための道 具 であ る。「いつ」、「ど
生徒に とっては 、0.
1
0
ずつ動 かす とい う人間
の場 面で」、「どの よ うな方法 で」I
CT機器 を
にはできない連続 的 なプ ロッ トとい う作業 に
使 うべ きか の判 断 に は 、数 学 の専 門的 な知
よって グラフが曲線 に見 える とい うことが理
托 ・見取 が必要 とな るo だか らこそ、 この道
解 された よ うだ。
具 を使 い こなす ための数学に関す る中門的 な
生徒 C,Dの記述 内容 か らは、 グラフが点
知織や見識が私 自身 に一層 必要 にな ることを
の集合 であ ることが理解 で きてい る様子 が う
かがえる。生徒 E か らは、視偲覚機髄 を使 っ
痛感 した。
た ことで、 よ り理解 が挟 まった様子 が うかが
の利用 とい う方法以外 に も、数学 的活動 を充
実 させ る手 立てを今 後考 えてい きたい。
える。
CT機 器
自分 の専門的 な力丑 を高 めつつ 、I
-6
9-
参 考文 献
・ 中原 忠 男 . (1
995),算数 ・数 学 教育 にお
け る構成 的ア プ ロー チ の研 究 .聖文社
・ 高等学校指拳 要領数 学編 .文部科学省
●使用 した P Pの スライ ド
表を完成させ よう !
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正
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ーCT 機器を利用して、 数学的活動の充実をめざした 高等手校における