有限要素法の考え方
The idea/thinking behind the Finite Element Method
The philosophy/concept/perspective of the Finite Element Method
1.
1次元モデル
1-dimensional model
d 2u
 2  f
dx
次のような簡単な1次元常微分方程式の境界値問題を考える。ただし u は未知関数、 f
は既知関数である Consider the following simple 1-dimensional ordinary differential
equation, where u is an unknown function and f is a known function.
d 2u
 2  f
( 0  x  L)
dx
du
L   0
u 0  
dx
(1) [Kikuchi 4.1]
(2) [Kikuchi 4.2]
 
(1)の両辺に重み関数(試験関数) v をかけ積分し、また(2)の第2式に v L をかけ、
先の式との和をとる。Both sides of equation 1 are multiplied by a weighing
function v , and integrated. Then, the middle term of equation 2 is multiplied by v L
and added to the previous one.
 
L
L
d 2u
du
  2 vdx  L vL    f vdx
dx
dx
0
0
(3)
(3)の左辺を部分積分する integration by parts is applied to the left hand side of eqn 3 .
L
du dv
du
 du 
0 dx dx dx   dx v 0  dx L vL   0 f vdx
L
L
(4)
ここで v0  0 なる条件を課せば here, if the condition v0  0 is imposed,
L
L
du dv
0 dx dxdx  0 f vdx
(5) [Kikuchi 4.5]
(5)を問題(1)、(2)に対する弱形式といい、(1)に比較して u の導関数の階数
が下がっている。Eqn 5 is the weak form of equation 1 and 2, and compared
to eqn 1, the smoothness requirement has been reduced to the first order
differential.
いま関数 u が、条件 u0  0 の他に、 v0  0 なる任意の関数 v に対して(5)を
満足するならば、(5)ー>(4)ー>(3)と逆にたどって、(1)と du dx  0 x  L を導く
ことができる。 u0  0 はあらかじめ要求する境界条件で、基本境界条件と呼び、
du dx  0 x  L は(5)から導かれる境界条件であり、自然境界条件と呼ぶ。
We set the function u with the condition u0  0 and v0  0 with v
being an arbitrary function so that equation (5) is satisfied. Tracing backwards from
equations 5 to 4 then 3, we are able to derive (1) and (2). u0  0 , the initially
imposed boundary condition, is called an essential boundary condition, whereas
du dx  0 x  L which was derived from (5) is called a natural boundary
condition.
有限要素法では弱形式を利用して u の近似を求める。まず図.1に示すように、
区間 0, L を小区間(有限要素または要素)に分割する。We now seek an
approximation to u by using the weak form and the FEM. First, as shown
in Fig 1, the interval 0, L is subdivided into intervals (finite
elements/elements).
[i]
1
2
i
i+1
n +1
x1  0
x2
xi
xi 1
xn1  L
x
図.1[Kikuchi図4.1] - 1次元の有限要素分割 1-dimensional FE devision




代表要素 i 、すなわち区間 xi , xi 1 で û を x の1次式で近似しよう。
With the representative finite elements i , i.e. the intervals xi , xi 1 ,
we shall denote û , a function of x by the following equation, as an
approximation.
uˆ  1   2 x


(6) [Kikuchi 4.7]
x  xi で u  ui , x  xi 1で u  ui 1とすると、
Here, when x  xi , u  ui, and when x  xi 1 , u  ui 1
ここで
 ui  1


 ui 1  1
xi  1 
 

xi 1   2 
, so
(7) [Kikuchi 4.8]
すなわち、 That is,
 1 
1
 
  2  xi 1  xi
 xi 1 - xi   ui 
 1 1  u 

  i 1 
(8) [Kikuchi 4.10]
あるいは、 alternatively,
uˆ 
xi 1  x
x  xi
ui 
ui 1
xi 1  xi
xi 1  xi
(9) [Kikuchi 4.11]
これは u の両端のてん(節点)での値を使って1次補間したものに他ならない。これで
(5)の u の近似式が要素内で決定された。
次に(5)を用いるためには v も近似する必要がある。 v も(9)と同じ形にする。
The end (nodal) values of u are used to form the interpolation function above.
This means that the approximation u for of eqn 5 has been set within the element.
Next, to make use of (5), v has to be approximated as well. The form used in eqn
9 is used in the same way for v
vˆ 
xi 1  x
x  xi
vi 
vi 1
xi 1  xi
xi 1  xi
(10) [Kikuchi 4.18]
いままでは uˆ, vˆ は要素ごとに考えた。しかし区間 0, L 全体で考えると、 uˆ, vˆ
は連続であると都合がよい。uˆ, vˆ を連続にするには、隣りあう要素間の共通節点で
のuˆ, vˆの値を等しくすればよい。例えば要素 [i  1]と [i ] との間では、 uiがどちらの
要素から見ても同じ値になればよい。
Up to this point, only elements for uˆ, vˆ were considered. However, when
considering the entire space 0, L , it is desired to continue/extend uˆ, vˆ . For
this purpose, the neighboring element that has common nodes should have the
same value. For example, elements[i  1] and [i ] should have the same value
of ui (at their common node).
(9)、(10)を(5)に代入して積分を実行する。このとき要素ごとに積分してから和をとっ
てもよいことに注意すると、まず代表要素 [i ] からの寄与分を求めればよいことがわか
る。[i] から(5)の左辺への寄与分は、マトリックスを使って書くと、
Eqns 9 and 10 are substituted into eqn 5 and the integration is carried out. Here,
elements are integrated one by one. First, the contribution of a representative [i ]
element is required. To see the contribution of [i ] to the left hand side of eqn 5, a
matrix is drawn.
 1 

vi vi 1 
 xi 1  xi 
2x
i 1

xi
  12 1  1  ui 

dx 
2
1  ui 1 
 1 1
(11)
すなわち、
k11i  k12i    ui 
 1  1  1  ui 

vi vi1 
   vi vi 1  i 


i   
u
u

1
1
x

x
k
k
  i 1 
 i 1 i 
22   i 1 
 21
(12)
また右辺から寄与分は、
x
 f1i  
 1  i1 xi 1  x  f 
  
vi vi 1 
dx  vi vi 1  i  
 xi 1  xi  xi   x  xi  f 
 f2 
(13) [Kikuchi 4.24]
(12)、(13)を各[i ] について求め、和をとると、次式が成立するべきである。
Eqns 12 and 13 come together to form the following matrix:
n
 v ...v v
i 1
1
i i 1
...vn1 
i













i     k11i 
i 
i  1     k 21


n
i 1





k12i 
k 22i 












 u1 
  


  


 ui 


u
 i 1 
  





u 
 n 1 
  v1...vi vi 1...vn1 
i 1
 0 
  
 
i   f1i  
 i  
i 1   f2 
  
 
 0 
(14)
(14)中で v0  0 に対応する v1  0 以外の vi は任意であるから、
vi  1 2  i  n 1 , v j  0  j  i なるすべての j  と置いた式が成立するべきで
ある。これを具体的に実行すると、(14)で vi のなすベクトルをはずし、さらに(n +1)次正
i 
方マトリックスの第1行と f1 のなすベクトルの第1成分をはずした方程式が成立しなけれ
ばならない。また u0  0 に対応して、 u1  0 とすべきである。以上により次のような方
程式を得る。


2
i
3
2 



3
n




i 1



i     k11i 
i 
i  1     k 21
n 1 


n n
i 1 n 1











k12i 

k 22i 




 u2 
 0 2
  
  
 
 
  
  
  n  i  
 ui 
 f1  i
     i  
 ui 1  i 1  f 2  i  1
  
  
 
 

 
  
u 
 0  n 1
 
 n 1 
(15)
以上から分かるように、各要素ごとに(12)、(13)中のマトリックス、ベクトルを
積分計算し、そのうえで(14)のように拡大した上でマトリックス、ベクトルをたし
あわせ、さらに境界条件も考慮してやると(15)のような最終的な近似方程式が
得られる。要素ごとにバラシで計算し、和をとって組立てるという考え方を直接
剛性法と呼んでいる。また(5)の弱形式に基づく近似法をGalerkin法と呼ぶ。
As can be understood from the above, individual element informations (12
and 13) are created.
Furthermore, after also taking into account the boundary condition, eqn 15,
the final approximate equation is obtained. This method, where individual
element are computed independently and later combined directly is called
the direct stiffness method. The approximation of equation 5 based on the
weak form is known as the Galerkin method.
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The idea behind the Finite Element Method