問1 球対称ポテンシャル中で、主量子数n=4、方位量子数l=2、磁気量子数ml=-1の量子状態に
いる電子を考える。この電子の θ,φ に関する確率密度を式で示し、その分布を下図に示せ。
問3 Pauliの原理に従う粒子が満たす分布関数の名前と式を示せ。
表1:球面調和関数の例
l=0:
Y0,0 =
l=1:
Y1,0 =
Y1, ±1 = m
l=2:
l=2
:
Y2, 0 =
Y2, ±1
1
4π
3
cos θ
4π
3
sin θ ⋅ e ±iφ
8π
z
5
(3 cos 2 θ − 1)
16π
問4 一辺の長さがLの立方体(体積V)に閉じこめられた自由電子について考える。以下の問
に答えよ。
4-1) 時間を含まないシュレディンガー方程式を示し、波動関数を導け。
15
=m
sin θ cos θ ⋅ e ±iφ
8π
Y2, ±2 =
短大 量子力学 20080112実施 **電卓使用可**
15
sin 2 θ ⋅ e ± 2iφ
8π
xy
4-2) 自由電子のエネルギーが E =
h 2k 2
であることを確かめよ。
2m
問2 球対称ポテンシャル中の電子を考える。角運動量演算子lz、及び、l 2の固有値がそれぞれ、
mlħ、ħ2l(l+1)であることを確かめよ。ただし、
l z = −ih
⎛ 1 ∂
∂
∂
1 ∂2 ⎞
1
⎟ = −h 2 Λ, ΛY = −l (l + 1)
, l 2 = −h 2 ⎜⎜
(sin θ
)+ 2
Y
∂φ
∂θ
sin θ ∂φ 2 ⎟⎠
⎝ sin θ ∂θ
である。
4-3) 単位体積あたりのエネルギー密度g(E)を導け。
短 期 大 学 部
科
コース
年
番
氏名
採点
4-4) フェルミエネルギーについて説明せよ。
5-3) 移動度μについて説明せよ。
4-5) 立方体内の自由電子の総数をNとすると、フェルミ波数kF、フェルミ速度vFを導け。
5-4) オームの法則J=σEを導き、導電率σを電子密度nを用いて示せ。
4-6) Naの電子密度n=2.65×1022(1/cm3)の時、フェルミ波数kF(cm-1)、フェルミ速度vF(m/s)、フェ
ルミエネルギーEF0(eV)、フェルミ温度TF(K)を求めよ。ただし、
⎧m = 9.110 ×10 −31 (kg )
⎪
− 34
⎪h = 1.055 ×10 ( Js)
⎨
−19
⎪1(eV ) = 1.602 ×10 ( J )
⎪k = 1.381×10 − 23 ( J / K )
⎩ B
5-5) Cuに関して、電子密度n=8.45×1028[1/m3]、σ=5.88×107[1/Ωm]である。この銅線に1[V/cm]
の直流電界を印加したときのドリフト速度vdはフェルミ速度vFより非常に遅い事を示せ。
ただし、
である。
⎧m = 9.110 ×10 −31 (kg )
⎪
−34
⎨h = 1.055 ×10 ( Js )
⎪
−19
⎩1e = 1.602 × 10 (C )
問5 金属に電界Eを印加した。電子は自由電子として振る舞うこととする。以下の問に答えよ。
5-1) 電子が満たす運動方程式を、衝突時間τ、ドリフト速度vdを用いて示せ。
5-2) 定常状態(dvd/dt=0)では、 vd
=−
τ
m
eE
となることを示せ。
である。
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z xy xy