応用統計学の内容
推測統計学(inferential statistics)
標本分布
統計推定
統計的検定
連続型の確率変数
(Continuous random variables)
定義
分布関数
正規分布
1.定義
連続型の確率変数:
長さ、重さ、面積などのように、数直線上
の連続するいかなる値もとることが可能で、
とりうる値は数え切れないほど点の密度が
高い無限個あるというような変数を連続型
の確率変数。
P(X=x)=0
確率密度関数
確率密度関数は微分を求める考え方と同
様で、Xがxからx+△xの微小な区間に入る
確率P(x≦X≦x+△x)を考える。この値は
△xを小さくすると0へ収束してしまうので、
△xで割って△x→0とした極限をf(x) 、即ち
f ( x)  lim p( x  X  x  x) / x
x 0
確率密度
確率密度とは確率を求めるために
長さ△xに乗じるべき「密度」という意味で
f(x)が大きいところには確率が濃くあるとい
うことを示している 。
確率密度関数f(x)を使えば、xがaとbの間
に入る確率は
p(a  x  b) 

b
a
f ( x)dx
密度関数の図
f(X): 密度関数
f(x)
面積
F(x)
1-F(x)
μ
x
母平均 実現値
X: 確率変数
2.分布関数
連続型の確率変数Xがx以下の値をとる確
率をXの累積分布関数という。
F ( x )  P( X  x )
確率密度関数と分布関数
確率密度関数f(x)は分布関数F(x)の導関
数、F(x)は密度関数f(x)の区間(-∞,x)
での定積分
x
F ( x)   f (u)du

P(a  X  b)  F (b)  F (a)
連続型確率変数の期待値と分散





xf ( x)dx
   ( x   ) f ( x)dx
2

2
3.正規分布(Normal distribution)
正規分布の確率密度関数
f ( x) 
1
 (x  )
exp(
)
2
2
2 
eは自然対数の底,2.71828….;
 は円周率, 3.1416…;
2
 :期待値
 :標準偏差
正規分布の期待値と分散
E( X )  
V (X )  
2
正規分布の図
f(X): 密度関数
x: 確率変数の値
f(x): 密度関数の値
F(x): 分布関数の値
f(x)
面積
F(x)
1-F(x)
μ
x
母平均 実現値
X: 確率変
正規分布の特徴
密度関数f(x)は平均  を中心に左右対
称の吊り鐘の形をしている
密度関数がX=  の点で最大値をとる
正規分布グラフの形状が  と  で決まる
曲線とx軸に囲まれた面積は1であるので
F ( x )  P ( X  x )  1  P( X  x )
正規分布の性質
X ~ N (,  2 )のとき、歪度=0;
尖度=3
X ~ N (,  2 ) のとき、 aX  b ~ N (a  b, a2 2 )
が互いに独立で、X ~ N (, )のとき
となる。
X i の1次式は Y   a x ~ N ( a  ,  a  ) 2
X1, X 2 ,..., X n
i
n
i 1
n
i
i
メディアン=モード= 
i 1
n
i
i
i 1
2
i
2
i
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連続型の確率分布