陽 的 差 分 法 を 用 い た RBSM に よ る RC は り の 応 答 解 析
指導教官
荒木
紘子
冨田
充宏
竹本
邦夫
1.はじめに
本研究は,コンクリート構造物の動的破壊現象のような連続体から不連続体までの一連
の現象をシュミレーションすることが可能な非線形動的解析法の開発が最終的な目的であ
る。その解析法には,コンクリートのひび割れ,せん断すべりや鉄筋の付着破壊というよ
う な 不 連 続 現 象 を ば ね の 非 線 形 特 性 で 簡 単 に 表 現 で き る 静 的 極 限 解 析 法 で あ る RBSM( 剛
体 ― ば ね モ デ ル )1 ) に ,時 間 積 分 法 と し て 陽 的 差 分 法 を 適 用 し た 動 的 解 法 を 使 用 し て い る 。
本解析法は要素分割や時間増分等により解析結果に影響を受けるが,過去の研究において
要素分割を四角形にした場合のはりの応答解析を試み,その解析精度について検討した。
今 回 の 研 究 で は ,三 角 形 要 素 を 使 用 し た 場 合 の 弾 性 範 囲 の 応 答 に 対 し て 理 論 解( 級 数 解 )
との比較を行い,解析精度について検討したものである。
2.陽的差分法の定式化
平 面 問 題 に お け る RBSM の 陽 的 差 分
法の定式化
2)に つ い て 説 明 す る 。 図 ― 1
lij
に示すような隣り合う2つの三角形要素
i,j を 考 え る 。 二 要 素 は 要 素 境 界 辺 上 の
任 意 点 P に お い て 垂 直 方 向 ば ね Kn と せ
ん 断 ば ね K s で 連 結 さ れ て お り ,平 面 応 力
問 題 に 対 す る K n,K s は 次 式 で 示 さ れ る 。
Gj
P
Kn
P'
i
Gi
Ks
Gi
lij
ij
E
hij (1 − v 2 )
(1)
Ks =
P"
h
Kn =
Gj
j
図―1
RBSMの平面要素
lij
E
hij (1 + v)
y
s
δn
n
こ こ に , lij は 要 素 境 界 辺 の 長 さ , hij は 各
P"
要 素 の 重 心 点 Gi,G j か ら 要 素 境 界 辺 上
o
P'
に下ろした垂線の長さの和, E は弾性係
数および v はポアソン比である。
図―2に示す要素間の相対変位
δn お
α
P
vi
Gi
Gi
よ び δ s を 用 い ,要 素 に 作 用 す る 力 N ij,Sij
еi
x
s
hi
θi
n
ui
δs
は次式となる。
N ij = K nδ n
Gj
図―2
Sij = K sδ s
要素間の相対変位
(2)
任 意 点 P ( x p , y p )の 局 所 座 標 系 n − s の 変 位 δ ni , δ si は ,要 素 重 心 Gi ( xGi , yGi ) の 変 位 ui,vi
1
お よ び 回 転 角 θi を 用 い て , 次 式 に よ り 示 さ れ る 。
δ ni = ui cos α + vi sin α − θ i ei δ si = −ui sin α + vi cos α + θ i hi
(3)
こ こ に , α は 隣 接 辺 外 法 線 と x 軸 と の な す 角 で あ り , ei,hi は 重 心 Gi か ら 任 意 点 P ま で の
n,s 方 向 の 距 離 で あ り , 次 式 で 示 す こ と が で き る 。
ei = ( yP − yGi ) cos α − ( xP − xGi ) sin α
hi = ( yP − yGi ) sin α + ( xP − xGi ) cos α
(4)
以 上 よ り 相 対 変 位 δ n お よ び δ s は , i,j 両 要 素 の 任 意 点 P の 変 位 を 用 い て ,
δ n = δ nj − δ ni
δ s = δ sj − δ si
(5)
として決められる。
次 に 任 意 時 刻 t に お け る x,y 方 向 と 回 転 の 加 速 度 は , 時 刻 t に お け る 要 素 i の 運 動 方 程 式
より,次式のように示される。
X
ui ,t = ∑ i
mi
Y
vi ,t = ∑ i
θi ,t = ∑ M i I
mi
(6)
i
こ こ に ΣX i,ΣYi,ΣM i は ,要 素 i に お け る 各 変 位 方 向 に 働 く 力 の 和 で あ り ,mi,I i は 要 素 i の
質量および慣性モーメントである。
時 刻 t に お け る 変 位 速 度 は , 式 ( 6) を 時 間 増 分 ∆t に 関 す る 積 分 を 行 い , 次 式 と な る 。
ui ,t = ui ,t −∆t + ui ,t × ∆t
vi ,t = vi ,t −∆t + vi ,t × ∆t
θi ,t = θi ,t −∆t + θi ,t × ∆t
(7)
式 ( 7) を さ ら に ∆t で 積 分 す れ ば , 時 間 増 分 ∆t 間 の 変 位 増 分 は , 次 式 と な る 。
∆ui ,t = ui ,t × ∆t
∆vi ,t = vi ,t × ∆t
∆θ i ,t = θi ,t × ∆t
(8)
こ の よ う に し て 求 め ら れ た 変 位 増 分 を 用 い ,次 の 時 間 増 分 の 計 算 を 繰 り 返 す こ と に よ り ,
応答解析を行うものである。
3.はり中央に集中荷重を受ける単純ばりの応答解析
3.1
解析例
その1
図 ― 3 に 示 す よ う な 単 純 ば り ( 長 さ 100cm, 断 面 2cm×1cm) に ス テ ッ プ 状 の 鉛 直 荷 重 を
受 け た 場 合 に つ い て , 本 解 析 結 果 と 理 論 解 ( 級 数 解 ) 3)を 比 較 し た 。 な お , は り 鉛 直 変 位
の理論解(級数解)は次式を用いた。
2 Pol 3 ∞ α n
nπ x
(1 − cos ω n t ) sin
∑
4
4
π EI n =1 n
l
n = 1,5,9 ⋅⋅⋅
1

α n = −1 n = 3, 7,11⋅⋅⋅
0
n = 2, 4, 6 ⋅⋅⋅

l /2 P l /2
(9)
図―3
解析対象と集中荷重
l
h
偏平率= l h
図―4
要素の偏平率
2
P( t)
P0
v ( x, t ) =
t
解析ケースは,四角形要素の1ケースと三角
鉛直変位(cm)
形要素の4ケースである。三角形要素分割は図
―4に示すような偏平率により分類することに
し た 。図 ― 5 に 示 す 解 析 結 果 と し て ,偏 平 率 5.0
の r4s21 は 解 析 精 度 が 極 め て 悪 く , 偏 平 率 2.0
-0.02
-0.03
-0.04
0
の r2c21 は よ り 級 数 解 に 近 づ い て い る 。 ま た ,
偏 平 率 1.5 の r2c51 で は 級 数 解 と ほ ぼ 一 致 し て
い る こ と が 分 か る 。し か し ,偏 平 率 1.0 の r2c68
THEORY
r4s21
r2c21----1:5
r2c51----1:2
r2c68----1:1.5
r2c102---1:1
-0.01
0.01
0.02
時間t(sec)
図―5
時間歴―はり中央の鉛直変位
は再び解析精度が悪くなっている。
このことより,三角形要素分割の場合,分割により応答が非常に異なることが分かる。
つまり,要素分割数を細かくすることだけでは,解析精度を向上できず,偏平率に大きく
影響を受けると考えられる。
3.2
解析例
その2
図 ― 6 に 示 す よ う な ス パ ン 長 200cm,断 面 25cm×15cm の 単 純 ば り に ス テ ッ プ 状 の 鉛 直 荷
重を受けた場合について解析を行った。解析では図―7に示すような,四角形要素を用い
た は り 方 向 32 分 割 , 高 さ 方 向 4 段 の No.1 (m4s32)お よ び は り 方 向 32 分 割 , 高 さ 方 向 10
段 の No.2(m10s32)と ,三 角 形 要 素 を 用 い た は り 方 向 32 分 割 ,高 さ 方 向 4 段 の No.3(m4c32)
お よ び は り 方 向 58 分 割 ,高 さ 方 向 8 段 の No.4(m8s58)の 4 ケ ー ス を 行 っ た 。三 角 形 要 素 を
200cm
図―6
解析対象
No. 1
No. 2
No. 3
No. 4
図―7
解析対象の要素分割図
3
25cm
25cm
用 い た No.3, No.4 の 偏 平 率 は , 1.23 と 1.28 で あ る 。
P
15cm
ま ず ,時 間 増 分 ∆t に 関 す る 解 析
形 要 素 を 用 い た 要 素 分 割 No.3 に
お い て 時 間 増 分 ∆t を 1 ×
10 - 6 msec
10 - 4 msec
,1×
10 - 5 msec
,1×
,2×
10 - 4 msec
,5×
鉛直変位(cm)
結果への影響を調べるため,三角
10 - 4 msec お よ び 1 ×10 - 3 msec の
THEORY
1×10-6
1×10-5
1×10-4
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
0
6ケースに解析を行った。その結
0.01
0.02
時間t(sec)
果 , 時 間 増 分 ∆t が 1 × 10 - 4 msec
図―8
より大きい 3 ケースについては,
時間歴―はり中央の鉛直変位
解が発散して解析ができなかった。
3ケースについては,同様の応答
を得ることができた。
次に要素分割の影響を調べるた
め , No.1∼ No.4 の 解 析 を 行 っ た 。
な お ,時 間 増 分 ∆t は 前 述 の 結 果 を
考 慮 し て 1 ×10 - 5 msec と し た 。図
―9に示す解析結果において,す
べての解析結果で最大変位や周期
鉛直変位(cm)
また,図―8に示すように残りの
THEORY
m4s32
m10s32
m4c32
m8c58
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
0
0.01
0.02
時間t(sec)
図―9
時間歴―はり中央の鉛直変
は,理論値とほぼ同じような値と
な っ て お り ,要 素 分 割 に よ る 影 響 は な い も の と 思 わ れ る 。三 角 形 要 素 を 用 い た No.3 お よ び
No.4 が 級 数 解 と ほ ぼ 一 致 し て い る こ と か ら ,本 解 析 法 で 三 角 形 要 素 を 使 用 す る こ と が で き
ると考えられる。
4.今後の課題
今回の研究では,三角形要素を使用した場合の弾性範囲の応答解析についてほぼ満足の
いく精度が得られた。RCはりの応答解析に発展していくためには,
(1)
ステップ状の荷重以外について解析精度を調べる。
(2)
弾性係数や質量の異なった材料特性を扱えるように解析プログラムを修正する。
(3)
コンクリートの材料非線形を取り入れて,解析を試みる。
などが、今後の課題である。
参考文献
1)Tadahiko Kawai: New Element Models in Discrete Structural Analysis, 日 本 造 船 学
会 論 文 集 , No.141, pp.174-180, 1977.
2)園 田 恵 一 郎 , 上 林 厚 志 : 衝 撃 荷 重 を 受 け る 弾 性 体 の 解 析 に 対 す る 剛 体 バ ネ モ デ ル の 適 用
性 , 土 木 学 会 論 文 集 , No.441, pp147-155, 1992.
3)大 崎
順 彦 : 構 造 物 の 動 的 解 析 , 科 学 技 術 出 版 社 , 1978.
4
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陽的差分法を用いた RBSM による RC はりの応答解析