ディジタル信号処理
Digital Signal Processing
第10講
continuous-time signal & system
連続時間信号とシステム
Fourier transform:フーリエ変換
Fourier series:フーリエ級数
Delta Function:デルタ(δ)関数
連続時間信号とシステム
• ディジタル信号処理システムを理解するため
の準備である。
• フーリエ変換とフーリエ級数について理解を
深める。
3.1 フーリエ変換
• フーリエ変換の定義
∞
F(ω)=∫ f(t) e-jωt dt
-∞
フーリエ変換対
象
フーリエ級数対
象
時間領域信号を周波数領域に直す
• 周波数成分の大きさF(ω)を知る
• | F(ω) |をスペクトラムという
• スペクトル(仏spectre)
• スペクトラム(英spectrum,複数はspectra)
フーリエ変換が存在する条件
∞
∫ | f(t) | dt < ∞
-∞
関数の絶対値の積分値が
有限であるとき,
フーリエ変換が存在する
フーリエ逆変換
f(t) =
1
2π
∞
∫ F(ω) ejωt dω
-∞
例題3.1 方形波のフーリエ変換を求める
連続スペクトラム
a
F(ω)=∫ e-jωtdt =
-a
ejωt-e-jωt
=
jω
2sinaω
ω
3.1.2 フーリエ変換の性質
•
•
•
•
•
•
•
偶奇性
線形性
対称性
時間シフト
周波数シフト
畳み込み積分
パーセバルの定理
例題3.2 方形波のフーリエ変換
a
F(ω)=∫ e-jωt dt =
-a
ejωt-e-jωt
=
jω
2sinaω
e-ωa
ω
3.1.3 スペクトルの打ち切り
例題3.3 方形波のスペクトラムを,ωをある有限値σで打ち切っ
たときの様子
3.2 フーリエ級数
• 周期信号 f(t) は,フーリエ級数に展開できる
∞
f(t)=ΣCnejω nt
周期信号は,フーリエ級数に
展開できる
0
n=-∞
2π
ω0=
Cn =
基本波周波数
T
1
T/2
∫ f(t) e-jω nt dt
0
T
-T/2
フーリエ級数の係数
例題3.4 方形波列のフーリエ級数
Cn=
1
a
∫ f(t) e-jω nt dt =
1
2sin naω0
0
T
-a
T
nω0
例題3.5 x(t)=1+sinω0t+cos2ω0t の係数Cnを求
める
Cn=0.5
Cn=0.5j
Cn=1
Cn=-0.5j
Cn=0
(n=-2,2)
(n=-1)
(n=0)
(n=1)
(その他)
関連記事
スペクトラム
連続スペクトルと離散スペクトル(光を例として)
• 線スペクトル=離散スペクトル
山の麓から頂上に至るまでの坂道では、高いところ
ほど、そこにある「物体」の位置エネルギーは高くな
る。
ここで「物体」を、原子の中にある電子だとすると,
坂道の、高い場所(原子核から遠い位置)にある電
子ほど、その電子のエネルギーは高くなる。
•電子1個が高いところから低いところへ転がり落ちる
とき、電子の位置エネルギーが小さくなることの代償と
して、その分だけのエネルギーの光を放出する。
このとき、光のエネルギーは、光の周波数をもちいて,
次のように表現される。
E=hν
E: 光1個のエネルギー
h: プランク定数と呼ばれる、この世に1つの定数
ν(にゅー): 光の周波数
ところが、原子の中においては、坂道は、なだらかな
形ではなく、「階段」になっている。
つまり、電子は、中途半端な場所に存在することがで
きず、「階段」の中の「どこかの段」にしか存在できな
い。
(この「段」のことを「エネルギー準位」と言う。)
よって、電子の位置エネルギーが下がるときも、無限
通りの下がり方があるのではなく、ある段からその下
のどこかの段に落ちる、ということしかできない。
したがって、放出される光も、いくつかの種類の周波
数(ν)だけということになる。
ν = 光の速さ/光の波長
光の波長 = 光の速さ/ν
という関係があるので、波長も、いくつかの波長に
限られるわけである。
よって、輝線の波長は跳び跳びの波長になる。
• 連続スペクトル
太陽光のスペクトルは、基本的に連続スペクトルで
ある。
線スペクトルになっていないのは、放出する光の源
が熱だからである。
熱放射は、一般に、連続スペクトルになる。
電球も似たようなことで、連続スペクトルの光を出す。
要するに,
• すべてのωに対してF(ω)の値があるのが,連
続スペクトル
• とびとびのωだけにF(ω)の値が存在するのが
離散スペクトル
• 周期信号のスペクトルはω=±ω0,±2 ω0,
±3 ω0,・・・にしか存在しない
スペクトラムの分類
• 周期のある連続信号の場合は,離散スペクト
ラム
• 周期がなく,積分値が有限な連続信号の場
合は連続スペクトラム
• 後で説明するが,離散信号については,スペ
クトラムに周期性がある。
(周期/非周期)と(連続/離散)の相互関係
• 信号には連続(アナログ)信号と離散(ディジタル)信
号がある。
• また、周期性がある信号と、周期性がない信号があ
る。
• スペクトルにも、連続スペクトルと離散スペクトル、
周期スペクトルと非周期スペクトルがある。
• これらは独立ではなく、相互関係が存在する。
連続信号
←→ 非周期スペクトル
離散信号
←→ 周期スペクトル
周期信号
←→ 離散スペクトル
非周期信号 ←→ 連続スペクトル
• 連続周期信号は離散非周期スペクトルをもち、
これらの関係を記述するのが「フーリエ級数
展開」である。
• 連続非周期信号は連続非周期スペクトルに
なり、これらの関係は一般の「フーリエ変換」
で記述される。
• 離散周期信号は離散周期スペクトルであり、
「離散フーリエ変換」に対応する。
(離散信号は有限であり,有限なものをある規則により変換した結果は
有限であり、それらが連続関数の形をとる場合は、何らかの形で繰り返
し(周期関数)の形をとる。 )
関連記事終わり
3.3 デルタ関数
∞
∫ F(ω) f(t) δ(t) dt =f(0)
-∞
∞
∫ δ(t) dt =1
-∞
• δ(t-nT) : t=nT のときだけ)1,それ以外の
時刻では 0 という関数
例題3.6 δ(t-t0)のフーリエ変換を求める
• δ(t)のフーリエ変換は δ(t)⇔e-jω0 =1 だから,
• t0だけ時間シフトすると δ(t)⇔e-jω0 ×ejωt0=ejωt0
例題3.7 cosω0tのフーリエ変換を求める
cosω0t=(ejω0t+e-jω0t)/2⇔π{δ(ωーω0)+δ(ω+ω0)}
・デルタ関数列(サンプラ関数)
∞
δT(t)=Σ δ(t-nT)
n=-∞
• すべての時刻で1
(単位ステップはある時刻以降1,
サンプラはー∞~+∞のすべての離散時刻で1)
質問はありませんか
• 今日はここまで
• ごきげんよう
ダウンロード

ディジタル信号処理 Digital Signal Processing