格子QCDの理論的進展と
フレーバー物理への応用II
S.Hashimoto,T.O. hep-lat/0403024
大野木 哲也(京大基研)
東北大学集中講義 2月17日ー19日
1
内容
1.Overview
2.格子QCDの定式化: 連続極限、Reflection Positivity
3.ゲージ作用
4.格子フェルミオン:Wilson/Staggeredフェルミオン
5.数値計算の手法:相関関数、遷移行列、
演算子繰り込み、カイラル極限
6.フレーバー物理への応用:電弱遷移行列クォーク質量、
7.最近の進展
理論形式:Ginsparg-Wilson フェルミオン
理論的手法:非摂動繰り込み、ハドロン2体崩壊
アルゴリズム:奇数フレーバー、ドメイン分解法
新しい問題: 2体崩壊、 領域からの低エネルギー定数、
g-2、光円錐波動関数
2
軽いクォークについて

現実のモンテカルロ計算で軽いクォーク質量
は典型的には
程度である。
ここで
はストレンジクォーク質量。
実際のudクォーク質量
は
のため、すべての物理量において
カイラル極限付近への外挿が必要。
どのような関数形で外挿入すればよいか?
3


関数形の例: PCAC関係式
より系統的な方法:カイラル摂動論(ChPT)
カイラル対称性の自発的破れのNambuGoldstone粒子である 中間子のみを取り扱う
有効理論。カイラル対称性に基づいて分類された
系統的な作用(演算子)。繰り込み不可能である
ため、無限個の項からなるが、クォーク質量と
運動量の展開の有限次数までは有限個。
4
ChPTの作用
ここで
1.この作用は各項の前の係数は自由なパラメータなので、
ある固定されたクォーク質量での物理量の値は予言でき
ない。ひとたびインプットをいれてパラメータを決めると
クォーク質量依存性は予言できる。
2.運動量と質量の展開がきちんと収束する適用範囲がある
はずであるがそれがどこかはわかっていない。
5

カイラル摂動論の1-loop計算の例
擬スカラー質量のクォーク質量依存性
Non-analytic partは予言できる。軽い領域で重要な寄与で
あり、カイラル外挿の結果を10%程度は変えうる。
(Analytic partはカウンター項で変わりうるので
十分な数の独立なインプットが必要。)
6
カイラル外挿の関数形が決まっても格子計算で
カイラル対称性がなければ問題が生じる。
例
の計算
と振舞うべし。
ところがカイラル対称性がないと量子補正でV-A型の演算子
はスカラー型
と混合し大きな誤差を生じる。この誤差
は連続極限に向かってべき的には消えない。
これを避けるためには
1.非摂動的に混合を消すカウンター項の係数を調節する。
2.カイラル対称性のある作用を用いる。
(Staggerd,Ginsparg-Wilson)
7
教訓:
正しいカイラル外挿を行うには
(1)正しい有効作用を用いて物理量のクォーク質量依存性
の関数形を系統的に決定する。
(2)格子計算は対称性を保っていないと破れの効果が問題
となる。
(3)格子計算の質量パラメータ領域は対応する有効理論の
適用範囲内でなければならない。
8
重いクォークについて
現実的な格子のカットオフは以下の範囲。
クェンチ近似
なら
動的フェルミオンがある場合
これは以下の2つの要請を同時に満たすための条件
1.ハドロン質量の有限体積誤差を3%以下に抑えるためには2
-2.5fmのサイズが必要。
2.数値計算が現在の計算機でできるためには以下が必要
クェンチ近似なら
サイズ<
動的フェルミオンがある場合 サイズ<
4GeV以上の重いクォークは
誤差が100%
ボトムクォークの直接格子計算は現実的でない。
外挿?
9
前の教訓より:
正しい重いクォークへの外挿を行うには
(1)正しい有効作用(heavy meson effective theory)
を用いて物理量のクォーク質量依存性
の関数形を系統的に決定する。
(2)格子計算は対称性を保っていないと破れの効果が問題
となる。
(3)格子計算の質量パラメータ領域は対応する有効理論の
適用範囲内でなければならない。
通常のアプローチでこれを満たすのは難しい。
10

Heavy Quark Effective Theory(HQET)
B中間子のようなHeavy-light系はbクォークはほとんど静止
していて、軽い自由度のみが光速で運動。静止質量を除くと
典型的な運動量は
程度。
重いクォークの静止系の周りの運動量についての
展開をもちいた有効理論が構成できる。
マッチング係数は摂動論で求めている。
11

Nonrelativistic QCD(NRQCD)
中間子のようなHeavy-heavy系はbクォークは非相対論
的に運動。典型的な運動量は
程度。非相対論的
速度についての展開を用いた有効理論が構成できる。
マッチング係数は摂動論で求めている。
12
いくつかのアプローチ

通常のフェルミオンをcharm領域に適用しbottomに外挿す
る。

格子上の有効理論を使う。
1.Static極限
2.格子NRQCD
3.Wilson フェルミオンの非相対論的再解釈
13
計算の手順のまとめ
ゲージ配位を生成
 クォーク伝播関数を解いて、相関関数を求める。
 長時間でexponential fit し遷移行列を求める。
 軽いクォークについてカイラル外挿を行う。
(重いクォークについては有効理論をもちいる方がよい)
 格子間隔を決める。
 演算子の繰り込みを行う。
 連続極限をとる。

14
ゲージ配位の生成法について
クェンチ近似
と近似する。
通常のスピン系のモンテカルロと同様(省略)
 動的フェルミオン計算
よく用いられる方法:Hybrid Monte Carlo法

15

全ページの系は
からなるカノニカル分布
1. についてのカノニカル分布はガウス分布型に
帰着できる。各点独立にガウス乱数
を作って
とすればよい。
2.
に関する部分はミクロカノニカル(等エネル
ギー面を一様分布)を行いつつ異なるエネルギー間をカノ
ニカル分布にしたがって分布させる。すなわち
をハミルトニアンとする正準運動方程式を解いてしばらく
系を発展させつつときどき運動量
をガウス乱数でリ
セットする。
正準運動方程式を解くところで各仮想時刻ごとに逆行列の
計算が入る。ここがもっとも時間がかかる。
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5.フレーバー物理への応用
17
Bの物理の結果

混合
クェンチ近似の崩壊定数
さまざまなアプローチの
結果がconsistent
18

クェンチ近似のバク定数
NRQCDとstaticは一致
外挿法と比較すると
重いクォークの質量依存性が
異なるように見える。
19

2フレーバー崩壊定数
heavy meson 有効理論+カイラル摂動論によると
軽いクォークの質量依存性のnon-analytic部は
と予言
カイラル外挿の不定性が大きい。
20

2フレーバーバグ定数
heavy meson 有効理論+カイラル摂動論によると
軽いクォークの質量依存性のnon-analytic部は
と予言。
幸いなことに係数が小さい。
21

2フレーバーでのSU(3)breaking
22

Grinstein Ratio
23

形状因子(Ferimlab group)
Heavy quark 対称性から極限で1となるような
3点関数のdouble ratioをとってIsgur-Wise極限
からの1/m補正を計算する。
24
形状因子
さまざまなアプローチで
クェンチ近似計算が
なされている。
25
Chiral logのテストJLQCD
O(a)ーWilson 2フレーバー
今のように重い質量ではうまくフィットできない。
26
2+1の動的フェルミオンの計算


MILC Collaboration
Staggard fermion
JLQCD
O(a)-improved Wilson fermion
27
JLQCD strange quark mass
28
JLQCD ud quark mass
29
JLQCD K meson spectrum
30

Bottom mass
B and upsilon
31

Charm
1.26(12)
32
クォーク質量
33

クォーコ二ウム
34
6.最近の進展
Ginsparg-Wilsonフェルミオン
連続理論からBlock-spin変換により有限格子間隔の作用を導く。
ここで格子場にNaïveカイラル変換
をおこなうと
35
より
とくに
Ginsparg-Wilson 関係式
にとると通常の形になる。
36

Neubergerによる解(Overlap Dirac Operator)
ここで
自由場の時、フーリエ変換を用いて簡単に以下の形となる。
これはsmall momentum極限で連続のdirac演算子になり、
かつ分母の中身がゼロになる、すなわち
運動量表示での解析性(=座標非表示での局所性)
がやぶれることはない。
37

局所性
もし、
が成り立つとすると
ここで、
距離
離れた場所とつながるには必ず
を最低
n回は作用させなければならないので上の式から
だけ抑制される。
Ultra localではないが広い意味で局所的
38

のときAdmissibility条件がなりたてば
上記の局所性は保証される。ゲージ場が
スムーズであるとして
その度合いが
であれば十分条件
(必ずしも必要ではない)
証明のステップは
の固有値が1よりどれだけ小さくなりうるかを
不等式で押さえ込むときにfield strengthの上限が必要
39

カイラルアノーマリが正しく再現される。
経路積分においてカイラル変換をおこなうと
measureから以下のアノマリーが生じ
連続極限では以下のようになる。
しかも有限格子間隔でこのアノマリーは
Dirac演算子のindexになることが
GW関係式から導ける。
40
理論的手法

非摂動繰り込み Luscher NPB384(1992)168
有限体積Lで境界をもつ空間における
振幅を繰り込み条件として
新しいスキーム(SFスキーム)を提案
摂動、非摂動ともに計算できる。
繰り込み因子とそのrunningともに計算可能
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SFスキームによるStrong Coupling Constantの
Step scaling function

42
SFスキームによるStrong Coupling Constantのrunning
点線、破線、実線は2,3,4-ループの結果

43

SFスキームによるquark massのStep scaling function
44
SFスキームによるクォーク質量のrunning
点線、破線、実線は2,3,4-ループの結果
45
ダウンロード

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