理学専攻
数理科学分野
群論研究室
准教授
Group Theory Lab.
Associated Prof.
小田文仁
Fumihito Oda
ることを証明した。グリーン関手に対し、ドレス構
キーワード
成を施す先駆的な結果となった。
有限群、多元環、圏論、バーンサイド環、表現環、
・表現環グリーン関手 R に G モノイドによるドレ
マッキー関手、グリーン関手、丹原関手
ス構成を施して、Witherspoon により得られていた、
finite group, algebra, category theory, Burnside ring,
ドリンフェルトダブルの表現環のグリーン関手が
representation ring, Mackey functor, Green functor,
得られることを証明した。さらに、その R をコホモ
Tambara functor
ロジー関手にとりかえることによりホッホシルト
コホモロジー環のグリーン関手が得られることも
研究内容
示した。
[1]有限群のモジュラー表現論
・Ωをバーンサイド丹原関手としたとき、可換モノ
・有限群のモジュラー表現論におけるアルペリンの
イド S によるドレス構成を施すことにより斜バー
重み予想の同値問題に現れるバーンサイド環の
ンサイド環を与える丹原関手が構成できることを
直和分解の定理の別証明を、一般バーンサイド環
証明した。
の理論を応用することで与えた。
・Bouc と Thevenaz により与えられた p 群に制限さ
・マッキー代数から得られる新たなマッキー関手を
れたデイド群のマッキー関手、バーンサイド関手、
構成した。また、このマッキー関手を応用して、 そして表現環関手の間の短完全列に、有限 G モノ
モジュラー表現論におけるブロック理論の基本
イドによるドレス構成を施すことにより、ドリンフ
的な道具である「不足群」をマッキー代数の言葉
ェルトダブルの表現環と斜バーンサイド環の間の
を用いて定義し、それらの間の包含関係に関する
準同型写像が与えられることを証明した。
結果を得た。
[2]マッキー代数の表現論
最近の業績
・マッキー関手の環のべき等元公式を与えた。
[1]F.Oda : The generalized Burnside ring with respect to
[3]一般バーンサイド環の構造論
・n 次対称群 Sn とそのヤング部分群の族から得ら
れる一般バーンサイド環の係数環を標数 p>0 の体 k
にした場合のブロックの個数が、群環 k[Sn]の p-ブ
ロックの個数に等しいことを証明した。
・有 限 群 G の 部 分 群 で 、正 規 化 群 が 自 分 自 身
になるものから得られる一般バーンサイド環
の性質を研究した。マシュー群、コンウエイ
群、モンスター単純群の場合にその階数を計
算 し た 。 ま た 、 あ る 性 質 を 満 た す p-部 分 群 の
正規化群の族が与える一般バーンサイド環の
研究を応用して、ある部分群束のオイラー標
数を、マシュー群、コンウエイ群、モンスタ
ー単純群の場合に計算した。
[4]斜バーンサイド環の研究
・有限群 G と G 作用をもつ有限モノイド S に対し、
S 上の斜 G 集合は、S への重み写像をもつ G 集合で
ある。斜 G 集合と斜 G 写像の圏の直和とテンソル
積に関するグロタンディーク環は斜バーンサイド
環と呼ばれる。S 上の斜 G 集合の圏の同値類で添字
付けされた S における中心可群の群環の直積はゴ
ースト環と呼ばれる。斜バーンサイド環からゴース
ト環への単射環準同型を構成し、標数 0 の体上の斜
バーンサイド環のべき等元公式を証明した。
・有限群 G と G 作用をもつ有限モノイド S と G の
部分群 H に対し、S 上の斜 H 集合の直和とテンソ
ル積に関するグロタンディーク環がつくる G 関手
を導入した。対応するマッキー関手をバーンサイド
関手Ωの S に関するドレス構成法を応用して構成
した。さらにそのマッキー関手がグリーン関手にな
p-centric subgroups, Journal of Algebra 320 (2008),
3726-3732.
[2]F.Oda, M.Sawabe : A collection of subgroups for the
generalized Burnside ring, Advances in Mathematics 222 (2009),
307-317.
[3]F.Oda : The crossed Burnside ring, the Drinfel'd double, and
the Dade group of a p-group, Algebras and Representation
Theory 13 (2010), 231-242.
[4]F.Oda, T.Yoshida : The crossed Burnside rings III:The Dress
construction for a Tambara functor, Journal of Algebra 327
(2011), 31-49.
[5]F.Oda, : The generalized Burnside rings with respect to a
collection of self-normalizing subgroups, Journal of Algebra
334 (2011), 219-231.
■科学研究費 基盤研究 (C) 代表(平成21-24 年度 429 万)
■科学研究費 基盤研究 (C) 代表(平成25-27 年度 494 万)
■京都大学数理解析研究所「有限群とその表現,頂点作用素代数,
組合せ論の研究」研究代表者(2012.3.5-7)
■京都大学数理解析研究所「有限群とその表現,頂点作用素代数,
代数的組合せ論の研究」研究副代表者(2013.1.7-10)
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