物理 B1 演習第8回
2014.07.24
1. 振動
ポテンシャルが極小(下に凸)の点では力が0となるので安定である(安定平衡)。一方、極大(上に凸)の
点でも力は0となるが、わずかな擾乱で平衡点から遠ざかり始めるので、不安定(不安定平衡)である。安
定平衡点の付近では擾乱が加わっても振動するだけである。安定平衡点付近の振動では、安定点でポテンシ
ャルをテイラー展開し、3次以上の高位項を無視すると、2次の項のみが残る。この様な振動が単振動であ
る。
2. 単振動
̈ + 2  = 0 を満たす解が単振動。一般解は () = 1 e + 2 e−
3. 減衰振動
摩擦や抵抗など振動に速度に比例する粘性項が存在するとき、減衰振動となる。特に減衰項が復元力より大
きいときには過減衰(Over Damping)となり、等しいときには臨界減衰(Critical Damping)となる。
̈ + 2̇ + 2  = 0 を満たす解が減衰振動。一般解は () = 1 e+  + 2 e−  但し、± = −β ± √ 2 −  2
4. 強制振動
運動方程式が、斉次式(同次式)ではなく、時間依存の外力() が加わると強制振動となる。
̈ + 2̇ + 2  = () を満たす解が単振動。場合によっては共鳴するなど複雑である。
問題
1. 自然長が1 、2、バネ定数が1 、2 の 2 本のバネ1,2が有る。質量  の質点 P の両端にこれらのバネを一
直線状に取り付け、自然長のバネの他端を固定した。時刻  = 0 点で、質点 P を静止していた原点から見て
バネ1の方向を正とし A1 だけずらして静かに離したところ、質点は単振動を始めた。時刻  での質点 P の
位置  を  の関数として示せ。また、その周期  を求めよ。
2. 長さ  、錘の質量  の単振り子の支点がバネ定数  の軽いばねによって、水平に動けるようになっている。
この時の単振り子の周期  を求めよ。但し、重力定数を  とする。
3. 質量  の質点 P に働く力が、() = − +  2 但し > 0 で与えられ、時刻  = 0 のとき質点を位置  = 
で静かに離した場合に  ≡


≪ 1 ならば運動は周期的となる。̇ の満たすべき方程式を求めよ。 2 以上の
項を無視して、振動の周期  と位置の時間平均 ̅ を求めよ。
4. 速度に比例する空気抵抗を受けて振動する錘 P の位置  が次のような微分方程式を満たすとき、錘の位置 
を時刻  の関数として求めよ。また、その概形を描け。
̈ + 2̇ + 2  = 0
但し、 は正の定数、 = 0 のとき、  = 0、̇ = 2 とする。
5.  軸上にある静止していた固有振動数 0 /2 の振動系(質点の質量  )に時刻  = 0 から =  = 2π/ω まで
の間次のような外力が働いた時の質点の位置を時間の関数で表せ。
 = 0 sin  但し ∙  ≠ 0
問題
1. 自然長が1 、2、バネ定数が1 、2 の 2 本のバネ1,2が有る。質量  の質点 P の両端にこれらのバネを一
直線状に取り付け、自然長のバネの他端を固定した。時刻  = 0 点で、質点 P を静止していた原点からと見
てバネ1の方向を正し A1 だけずらして静かに離したところ、質点は単振動を始めた。時刻  での質点 P の
位置  を  の関数として示せ。また、その周期  を求めよ。
1 +2
 = 1 cos  但し、ω = √
解)

周期  = 2π√

1 +2
2. 長さ  、錘の質量  の単振り子の支点がバネ定数  の軽いばねによって、水平に動けるようになっている。
この時の単振り子の周期  を求めよ。但し、重力定数を  とする。

解) = 2√ (1 +



)
3. 質量  の質点 P に働く力が、() = − +  2 但し > 0 で与えられ、時刻  = 0 のとき質点を位置  = 
で静かに離した場合に  ≡


≪ 1 ならば運動は周期的となる。̇ の満たすべき方程式を求めよ。 2 以上の
項を無視して、振動の周期  と位置の時間平均 ̅ を求めよ。
解)̇ 2 =




5 2 2
2

2 (1 − ) {(1 + ) −  (1 + + 2 )}





周期  = 2√  (1 +
12 2
) 、̅ =
 2
2
4. 速度に比例する空気抵抗を受けて振動する錘 P の位置  が次のような微分方程式を満たすとき、錘の位置 
を時刻  の関数として求めよ。また、その概形を描け。
̈ + 2̇ + 2  = 0
解) () = 2e
t
x
但し、 は正の定数、 = 0 のとき、  = 0、̇ = 2 とする。
−
1⁄

0
̈
+
̇
+
0
0
2⁄

∞
+
0
-
-
-
-
極大
変曲点
0
5. 軸上にある静止していた固有振動数 0 /2 の振動系(質点の質量  )に時刻  = 0 から =  = 2π/ω まで
の間次のような外力が働いた時の質点の位置を時間の関数で表せ。
 = 0 sin  但し ∙  ≠ 0
解)() = (
0
0
2 −2 )

(sin  −  sin 0 ) 但し 0 ≤  ≤ 
0
0
(− cos 0 
2
2
(
0
0 − )
() = 
+ (cos 0  − 1) sin 0 ) 但し  ≤ 
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