Super radiance
in
external magnetic fields
野田 宗佑(名古屋大)
2014 3/5
『第7回ブラックホール磁気圏勉強会』研究会@熊本大学
Super radiance
in
an external magnetic field
野田 宗佑(名古屋大)
2014 3/5
『第7回ブラックホール磁気圏勉強会』研究会@熊本大学
Motivation1
Super radiance
(エネルギー引き抜き機構の一つ)
回転しているブラックホール
エルゴ領域
super radinant condition
ブラックホールのまわりには降着円盤が作る磁場がある
磁場中でSuper radianceを考えたい
テスト場
Magnetic Super radiance (複素scalar場で)
B
Motivation2
Super radiant instability (波がどんどん増幅)
massless scalar
super radinant condition
この Mirror でscalar場が反射
Mirror
Massive scalar
有効的に Mirror になる
磁場は?
磁場B
Motivation3
ペンローズ過程
エルゴ領域
?
====== Super radiance
エルゴ領域
エネルギー保存
Klein-Gordon eq.
super radinant condition
粒子
Hamilton-Jacobi eq.
波
短波長極限
Klein-Gordon eq.
知りたいこと
1.テスト磁場(metric固定)中でのSuper radiance
Super radiant conditionを調べる。
(磁場が無い場合)
2.磁場の効果が Mirror の役割を果たすか?
有効ポテンシャルを描いて谷ができるのかを調べる。
目次
1.Super radiance
2.磁場中でのSuper radiance
3.まとめと今後の課題
1.Super radiance
Kerr時空上のスカラー場と短波長極限
Kerr metric
✓
ds2 =
1
Boyer Lindquist座標
◆
✓
2
2 ◆
2
2M r
2M rasin ✓
⌃
2M ra sin ✓
dt2
2dtd + dr2 + ⌃d✓2 + r2 + a2 +
sin2 ✓d
⌃
⌃
⌃
: Horizon
Klein Gordon方程式
Ansatz
= R(r)S(✓)e
rの式
@r ( @r R) +

が赤道面
i!t+im
! 2 (r2 + a2 )2
: 整数
4M ram! + a2 m2
(a2 ! 2 + ⇤lm ) R = 0
2
rの式
@r ( @r R) +
短波長極限

! 2 (r2 + a2 )2
R(r) = e
4M ram! + a2 m2
iS(r)
(a2 ! 2 + ⇤lm ) R = 0
波
l=m
1
Hamilton-Jacobi方程式
粒子
正
粒子に対する禁止領域
@S(r)
= pr = grr
@r
✓
dr
d
:affine parameter
◆
有効ポテンシャルと粒子に対する禁止領域
粒子に対する禁止領域
4
3
2
1
粒子に対する禁止領域
2
outer horizon
3
4
5
6
7
-1
このグラフとSuper radiance
とはどう関係しているか?
Super radiant condition
波
短波長極限とる前の式
@r ( @r R) +

! 2 (r2 + a2 )2
4M ram! + a2 m2
(a2 ! 2 + ⇤lm ) R = 0
2
2
1
2
R(r)(r + a ) = R̃(r⇤ )
dr⇤ =
漸近解
R̃ ⇠ Cin e
R̃ ⇠ e
i!r⇤
+ Cout e+i!r⇤
r ! r+
i(! m⌦)r⇤
Horizonではingoingのみ
Wronskianの保存
0
R̃ · R̃
⇤
R̃ · R̃
r ! +1
0
⇤
r 2 + a2
dr
(r⇤ ! +1)
(r⇤ !
1)
= const
が満たされていると反射率>1
反射率
透過率
Super radiant condition
エネルギー引き抜き
有効ポテンシャルとSuper radiance
4
波が増幅する!
3
2
1
outer horizon
2
re
粒子に対する禁止領域
3
4
5
6
7
re = 2M
-1
(massless scalar)
rergo = M +
有効Ergo領域
2
re
1
粒子に対する禁止領域
4
5
3
-1
-2
6
p
M2
a2 cos2 ✓
はmassless scalarの場合、
Ergo領域の大きさと同じ
7
Schwarzschildには
有効Ergo領域は無い
2.磁場中でのSuper radiance
Wald解
定常、軸対称な時空上のMaxwell方程式の解
無限遠で一様磁場
2.5
2.0
4元ベクトルポテンシャル
B
A = (
2
1.5
µ
1.0
µ
µ
+ 2a⌘ )
定常に関系するKilling vector
0.5
軸対称に関系するKilling vector
0.0
0.0
0.5
1.0
gauge変換
1.5
2.0
2.5
rµ Aµ = 0
Lorentz gauge
テスト磁場中の複素スカラー場
: スカラー場の電荷
: スカラー場の質量
変数分離できない
2
0
µ
まずはHorizonの近くで考える
0
⌃( e gµ⌫ A A ⌫ )
ここだけ残す
で0
変数分離できる!!
d
dr
✓
◆
d
R(r) + [W 2
dr
(µ2ef f r2 + )]R(r) = 0
この場合にSuper radiant condition とポテンシャルをしらべてみる
W ⌘ !(r2 + a2 )
⌘ l(l + 1)
am + 2aM eBr
2am! + (a!)2 + O a2 µ2ef f (1
2
!
)
µ2ef f
!
Wald解の場合のSuper radiant condition
Cout
Cin
0
2
@!
=1
反射率
1
2
m⌦H + eBa A 1
q
Cin
! 2 µ2ef f
透過率
! < m⌦H
eBa
R̃(r⇤ ) = e
Super radiant condition
だと条件を満たす
振動数領域は大きくなる
3
2
1
2
-1
i(! m⌦H +eBa)r⇤
4
6
8
10
12
14
全領域でポテンシャル描けないか?
Horizonの近傍だけの様子ではなく、全領域で
を描きたい
変数分離はできない
短波長極限
l=m
1
正
禁止領域
全領域での
4
3
2
Kerrの赤道面
Mirror
?
1
5
10
15
20
25
30
-1
4
3
磁場+massive scalar
2
massive scalarのみ
1
5
-1
10
15
20
25
30
の等高線
5
20
4
15
3
10
Kerrの回転軸
2
5
1
0
0
20
0
1
2
3
4
15.2
5
15.4
15
10
5
赤道面
0
5
10
15
20
25
15.6
15.8
16.0
16.2
16.4
あとやらなければいけない事
波の増幅率を計算したい!
4
3
2
1
5
-1
変数分離はしない
10
15
20
25
30
3.まとめと今後の課題
まとめ
Super radiant conditionの変化
Wald解の場合
! < m⌦H
eBa
Mirror になり得るかどうか
Kerrの回転軸
20
4
3
20
15
Kerrの赤道面
15
2
10
1
10
5
10
15
20
25
30
5
-1
5
0
15.2
0
5
10
15
20
25
15.4
15.6
赤道面
15.8
16.0
16.2
16.4
今後の課題
4
1.波の増幅率の見積もり
3
2
1
増幅のtime scale
5
10
15
20
25
30
-1
2.偏微分方程式から、数値的に波の増幅率を求める。
2
3.他の磁場でやってみる。
1
Dipole磁場
Split monopole
0
など
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
Back up
有効ポテンシャルとSuper radiance
4
波が増幅する!
3
2
1
outer horizon
2
re
粒子に対する禁止領域
3
4
5
6
7
re = 2M
-1
(massless scalar)
rergo = M +
有効Ergo領域
2
re
1
粒子に対する禁止領域
4
5
3
-1
-2
6
p
M2
a2 cos2 ✓
はmassless scalarの場合、
Ergo領域の大きさと同じ
7
Schwarzschildには
有効Ergo領域は無い
4
3
2
1
2
3
4
5
6
7
-1
をひっくり返して描いてみる
4
3
2
1
1
-1
2
3
4
5
6
負エネルギーの粒子が生成?
7
8
KIlling vector lemma
We try to derive a configuration of magnetic field
Actually, this is done by using Killing vectors !
Wald solution
R.Wald(1974)
Using Killing vector lemma,
we obtain
=0
lemma
(for vacuum space time)
Einstein eq.
Maxwell s eq. in vacuum space time
⇤A = 0
µ
µ
A :
4 potential (Lorentz gauge)
We can use Killing vectors as a basis of Aµ
µ
µ
A = ↵⌘ +
µ
⌘
µ
µ
and take them as
⌘ µ ⌘ (1, 0, 0, 0)
µ
⌘ (0, 0, 0, 1)
time like Killing
space like Killing
We use Komar integrals
1
M=
8⇡
1
J=
16⇡
Z
Z
⌘
µ
µ;⌫ 2
1
Q=
4⇡
µ
A = ↵⌘ +
d ⌃µ⌫
S
µ;⌫ 2
d ⌃µ⌫
↵M
S
2 J=
=0
and
Z
µ
1
Q
2
We ignore the source charge of
F
Fµ⌫
µ⌫ 2
d ⌃µ⌫
S
In the far region from the BH, this magnetic field must be uniform
Using the condition and
So we get
B
A = (
2
µ
, we obtain
µ
+ 2a⌘ µ )
Wald solution
磁場の効果
massive scalarのみ
massive scalar+磁場
0.055
0.050
0.045
0.040
Flux
R̃(r⇤ ) = e
i(! m⌦H +eBa)r⇤
w
5
4
3
2
?
1
2
4
6
(
?
8
10
r
r
-1
)
B
y
x
?
Dipole磁場の場合
2
10
1
5
0
-5
0
4
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
0
0
2
4
ダウンロード

野田 宗佑