Kerr時空上の波動光学とブラックホールシャドウ
名古屋大学
野田 宗佑
共同研究者
南部保貞
2015/3/3
[email protected]
Motivation ブラックホールを波で 見る
光線を用いた場合 (massless粒子の運動方程式)
ブラックホールシャドウ
BH
観測者
光源
不安定円軌道
不安定円軌道
E
© M. Moscibrodzka & H. Falcke,
シャドウの輪郭
Radboud-Universität Nimwegen
波を用いた場合 (電波や重力波)
波源
BH
不安定円軌道
観測者
E
?
干渉パターンなどの波動効果
Kerrの場合の計算を行う
シャドウよりも豊富な情報
目次
1. ブラックホールシャドウ (review)
null線の方程式と保存量
光線の話
レンズ方程式
(幾何光学)
天球面の座標とブラックホールシャドウ
2. 波動光学で描くブラックホールシャドウ
Kerr時空上の波の散乱問題
…Green関数
波の話
レンズ方程式再導出
…Eikonal極限
散乱波の干渉パターンとブラックホールシャドウ
(波動光学)
1.ブラックホールシャドウ
ブラックホールシャドウの形
a=0.5
a=0.99
a=0.9
h
h
b
6
-6
-4
4
4
2
2
-2
6
6
2
4
6 -6
-x
-4
-2
4
2
2
4
6 -6
a
-4
-2
2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-6
-6
4
-6
シャドウの形(輪郭)はどうやって決まるのか?
Kerrの場合で見てみる
6
-x
Kerr時空
○ Boyer Lindquist座標
○ 定常かつ軸対称
保存量
Killingベクトル
…エネルギー
…角運動量
○ 隠れた対称性
Killingテンソル
…Carter定数
:粒子の4元運動量
Kerr時空上の粒子 massless粒子
○ Hamilton Jacobi方程式
g
µ⌫
@µ S @⌫ S = 0
変数分離できる
S=
Et + Lz +
R = [E(r2 + a2 )
⇥ = Q + (aE
Lz a]2
[Q + (aE
✓
◆2
Lz
2
Lz )
aE
sin ✓
Z
r
dr
Lz ) 2 ]
p
R
+
Z
✓
p
d✓ ⇥
保存量を再定義
Q⌘K
(aE
Lz ) 2
○ 各成分の式
dr
=
⌃
d
p
R
d
⌃
=
d
p
d✓
= ⇥
⌃
d
dt
⌃
=
d
✓
aE
Lz
sin2 ✓
a(aE sin2 ✓
◆
+
Lz ) +
a
[E(r2 + a2 )
(r2 + a2 )
これらを解けば粒子の運動はわかる!
Lz a]
[E(r2 + a2 )
Lz a]
赤道面上の運動
○
⇡
✓=
2
の式
⇥=Q
p
d✓
= ⇥
⌃
d
R = [E(r2 + a2 )
Q=0
⇥ = Q + (aE
Lz a]2
Lz )
2
Lz ) 2 ]
[Q + (aE
✓
aE
Lz
sin ✓
◆2
=0
の場合のポテンシャル
6
○
の式
順方向
p
dr
= R
⌃
d
Veff
4
2
0
-2
○ 有効ポテンシャル
Horizon
2
4
6
8
10
r
6
逆方向
Veff
4
ポテンシャルの山の位置は進入の仕方で異なる!
2
0
-2
2
4
6
r
8
10
光線が巻き付く様子(赤道面)
p
dr
= R
⌃
d
d
=
⌃
d
dr
d
(aE
Lz ) +
a
[E(r2 + a2 )
Lz a]
aLz > 0
2
ブラックホールには光線が巻き付く
1
-2
-1
1
-1
2
3
レンズ方程式
運動方程式
積分形
・
・
・
の場合
を含む定数
Kerrの場合には
この平面自体が動いていく
平面の方程式
(時空の引きずり効果)
レンズ方程式 光線の端点が遠方にあるとする r, rs
1
turning point
r0
r
rs
E
レンズ方程式
2
Z
1
r0
s
Z
dr
p
R
=2
Z
1
r0
✓
✓s
|d✓|
1
p =
E
⇥
2
2
✓
1
1
+
r rs
E(r + a ) Lz a
p
dr
R
◆
Z
✓
✓s
0
|d✓ |
✓
aE
p
⇥
Lz
p
2 0
sin ✓ ⇥
◆
turning pointが不安定円軌道上にあると光線は巻き付く
a
✓
1
1
+
r rs
◆
光線の保存量と不安定円軌道半径
turning pointが不安定円軌道のところ、という条件を考える。
r方向の運動方程式
p
dr
= R
⌃
d
r = 一定の軌道
有効ポテンシャルの山
R=0
dR
=0
dr
2つの保存量と不安定円軌道半径の関係
Lz
rc2 (rc
⇠⌘
=
E
3M ) + a2 (rc + M )
a(M rc )
Q
rc3 (4M a2 rc (rc 3M )2 )
⌘⌘ 2 =
E
a2 (M rc )2
Light region
光線は2つの保存量 (⇠ , ⌘) で決まる。
⇠ と ⌘ の関係をプロットする。
どの光線がブラックホールに飲み込まれるかが分かる。
a = 0.1
⌘
a = 0.99
⌘
h
h
25
25
20
20
15
15
BHに飲み込まれる軌道
10
BHに飲み込まれる軌道
10
5
-4
-2
5
2
4
x
⇠
-6
-4
-2
2
⇠
x
天球面の座標と光線の保存量
β
z
image
(↵i ,
観測者
(r0 , ✓0 , 0)
天球面 (空)
i)
✓0
α
y
BH
Source
(rs , ✓s ,
x
s)
天球面の座標と光線の保存量の関係
↵=
⇠
sin ✓0
=
q
⌘ + a2 cos2 ✓0
⇠ 2 cot2 ✓0
不安定円軌道半径と関係ついている
↵
平面にプロットするとシャドウの輪郭が描ける
ブラックホールシャドウの輪郭
✓0 =
⇡
2
-4
6
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
2
4
6
↵
-x
-6
-4
-2
2
-4
-2
2
4
-x
6
↵
-6
-4
-2
-2
-4
-4
-4
-4
-6
-6
-6
-6
-2
b
b
2
2
4
6
a
-6
-4
6
6
6
4
4
4
2
2
2
-2
2
4
6
a
-6
-4
-2
2
4
6
a
-6
-4
-2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-4
-6
-6
-6
b
b
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
4
6
a
-6
-4
-2
2
4
6
a
-6
-4
-2
6
2
4
6
2
4
6
↵
-x
a
b
b
6
2
4
-6
6
-2
2
b
-2
✓0 = 0
-4
-6
-2
4
-6
↵
-x
6
-2
6
-4
4
-2
b
-6
h
6
-2
⇡
✓0 =
4
a=0.99999
h
h
h
-6
a=0.99
a=0.5
a=0.001
2
4
6
a
-6
-4
-2
-2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-4
-6
-6
-6
-6
a
ここまでのまとめ
⚪️ 光線は2つの保存量で指定される
Q
⌘= 2
E
Lz
⇠=
E
⚪️ 保存量と不安定円軌道半径の関係
⇠=
rc2 (rc
rc3 (4M a2 rc (rc 3M )2 )
⌘=
a2 (M rc )2
2
3M ) + a (rc + M )
a(M rc )
turning pointかつ不安定円軌道半径
⚪️ どの光線がブラックホールに落ち込むか
⌘
⌘h
25
20
15
10
BHに飲み込まれる軌道
5
-6
-4
-2
⚪️ 観測者の天球面の座標へマップする。
↵=
⇠
sin ✓0
=
2
q
⇠
⇠
x
⌘ + a2 cos2 ✓0
⇠ 2 cot2 ✓0
2.波動光学で描くシャドウ
Motivation ブラックホールを波で 見る
光線を用いた場合 (massless粒子の運動方程式)
ブラックホールシャドウ
BH
光源
観測者
不安定円軌道
不安定円軌道
E
© M. Moscibrodzka & H. Falcke,
シャドウの輪郭
Radboud-Universität Nimwegen
波を用いた場合 (電波や重力波)
波源
BH
不安定円軌道
観測者
?
E
干渉パターンなどの波動効果
シャドウよりも豊富な情報
なぜ波でやりたいのか?
1. 純粋な興味
どんな像が得られるのか?
2.干渉
ブラックホール準固有振動
(不安定円軌道に関係)
3.その他の波動効果
不安定円軌道の中も見える
(tunneling)
不安定円軌道を持つ星とブラックホールの判別に使える
不安定円軌道
Schwarzschild半径
波動光学における干渉と像
imaging system
光源
Fourier変換器
開口
矩形開口(正方形)
干渉パターン
スクリーン
像面
(x, y)
(xI , yI )
像
imaging system
波源
Fourier変換器
BH
スクリーン
①
ブラックホール時空上での波の散乱問題
Green関数を用いた計算
②
(散乱体はブラックホール)
レンズ方程式の再導出
波動光学
③
像面
Eikonal極限
幾何光学
干渉パターンと像
ブラックホールシャドウの輪郭の再現
imaging system
波源
Fourier変換器
BH
スクリーン
①
ブラックホール時空上での波の散乱問題
Green関数を用いた計算
②
(散乱体はブラックホール)
レンズ方程式の再導出
波動光学
③
像面
Eikonal極限
幾何光学
干渉パターンと像
ブラックホールシャドウの輪郭の再現
散乱問題
ブラックホールを散乱体とする波の散乱問題を考える。
波源
波源
BH
観測者
不安定円軌道
Ea
偏光は考えない (scalar wave) 、単色点源
Klein Gordon方程式
S⇠e
i!t 3
Green関数
2
r G(~x, x~s ) =
(3)
(~x
x~s )
(~x
~xs )
Green関数と斉次解
Green関数が満たす式
r2 G(~x, x~s ) =
G は 斉次方程式
(3)
(~x
x~s )
の独立解を用いて構成できる
(1)
G⇠
(~x) (2) (~xs )
W
斉次方程式の解を求める
変数分離できる
WKB近似で計算
W : Wronskian
r成分
短波長
d2 Rlm
2
+
!
F Rlm = 0
2
dr
微小量
!M
1
✏=
⌧1
!M
1
WKB近似 (next to leading まで)
Rlm
Rr p
1
i
dr ! 2 F
⇠ 2 1/4 e
(! F )
Hamilton Jacobi
S=
Et + Lz +
のSと対応
=
Z
=
Z
dr
p
dr
p
r
r
(!(r2 + a2 )
ma)2
(Alm + a2 ! 2
(E(r2 + a2 )
Lz a)2
(Q + L2z + a2 E 2
保存量の対応
E
Lz
Q
!
m
Alm
m2
Z
r
dr
p
R
2am!)
2aLz E)
+
Z
✓
p
d✓ ⇥
波の計算
粒子の計算
遠方での表式と独立解
短波長
d2 Rlm
2
+
!
F Rlm = 0
2
dr
!M
微小量
1
1
✏=
⌧1
!M
観測者と波源はBHから遠方にあるとする。 r , rs
WKB解
Rlm
1
⇠ 2 1/4 ei
(! F )
Rr
p
dr ! 2 F
O
✓
1
!r
◆
Rlm
 ⇢
1
=
exp i !r⇤
!r
1
⇡l
+
2
Alm + a2 ! 2
lm +
2!r
phase shift
独立解
(2)
Rlm
 ✓
i
=
exp i !r⇤
!r
⇡l
+
2
2
lm +
Alm + a !
2!r
2
◆
θ成分
Spheroidal harmonics
d2 Slm
2
+
⇥
sin
✓ Slm
2
dx
̈
Schrodinger型の方程式
WKB解
Slm
1
⇠ 1/4 [eiS✓ + ( )l+m e
⇥
iS✓
]
S✓ ⌘
Z
✓
⇡
2
p
d✓ ⇥
Green関数
KG方程式のWKB解を用いて構成する
G(x, xs ) = i!
1 m=l
X
X
(1)
(2)
⇤
Rlm (rs )Rlm (r)Slm (✓)Slm
(✓s )eim(
s)
l=0 m= l
2つの独立なmodeで組む
透過
反射
Horizon
t
無限遠
r
入射
無限遠
r
(2)
Rlm
 ✓
i
=
exp i !r⇤
!r
⇡l
+
2
2
Alm + a !
lm +
2!r
2
◆
反射
透過
Horizon
入射
Green関数
散乱体の情報
imaging system
波源
Fourier変換器
BH
スクリーン
①
ブラックホール時空上での波の散乱問題
Green関数を用いた計算
②
(散乱体はブラックホール)
レンズ方程式の再導出
波動光学
③
像面
Eikonal極限
幾何光学
干渉パターンと像
ブラックホールシャドウの輪郭の再現
停留条件と光線の方程式
Green関数(WKB form)
位相部分の停留条件を求める
(最小作用の原理、フェルマーの原理)
に関する停留条件
2
Z
1
r0
Z
dr
p
R
✓
✓s
|d✓|
1
p =
!
⇥
✓
1
1
+
r rs
◆
レンズ方程式
に関する停留条件
s
=2
Z
1
r0
2
2
!(r + a ) ma
p
dr
R
Z
✓
✓s
0
|d✓ |
✓
a!
p
⇥
m
p
2 0
sin ✓ ⇥
◆
a
✓
1
1
+
r rs
◆
レンズ方程式と光線の巻きつき Schwarzschild
mの和は加法定理を使う
Poissonの和公式
r, rs
停留条件
1
:衝突径数
W
b
rs
b
r
:整数
E
: 巻きつき数
BH
imaging system
波源
Fourier変換器
BH
スクリーン
①
ブラックホール時空上での波の散乱問題
Green関数を用いた計算
②
(散乱体はブラックホール)
レンズ方程式の再導出
波動光学
③
像面
Eikonal極限
幾何光学
干渉パターンと像
ブラックホールシャドウの輪郭の再現
Green関数の和 Schwarzschildの場合
Slm (✓)eim
加法定理
lの和
・Poissonの和公式
1
X
l=0
・不安定円軌道に巻き付いたもののみ取る。
Ylm (✓, )
S行列
Z
1
X
dL ei2⇡W (L
W= 1
1/2)
W : 巻きつき数(整数)
W = 1 のみ取る
✓
p
1
Ln = 3 3M ! + i n +
2
・S行列のpoleを拾う(留数定理)
◆
WKB近似で計算した BH準固有振動
T (L)
S (L)
1
|S (L) |2 + |T (L) |2 = 1
不安定円軌道
Schwarzschildの場合
波源
α
観測者
W = 1 のみ
φ
E
干渉パターン
image
不安定円軌道に巻き
付いたもののみ見る
Green関数 Kerrの場合
Kerr s axes
Obs
↵
source
sourceの位置
⇡
✓s =
2
観測者の位置
⇡
✓⇠
2
⇠0
↵=
⇡
=
2
スクリーン上の座標
φ
s
=⇡
✓⌧1
Green関数
Q
⇤
Slm (✓)Slm
1 m=l
i!(r+rs ) X
X
e
G=
2⇡i!rrs
l=0 m= l
e
im(↵
h p
2
⇡)
p
ei Q + e
Q
⇣⇡⌘
2
p
i Q
2 h ipQ
+e
e
= p
Q
i
e
i
2
lm
e
+a
i Q+m2!
p
i Q
2 !2
i
( r1 + r1s )
和の処理(シャドウの計算をヒントに)
m, l について和を取る
1 m=l
ei!(r+rs ) X X im(↵
G=
e
2⇡i!rrs
l=0 m= l
いろいろな光線について足す
h p
2
⇡)
p
ei Q + e
Q
rc3 (4M a2 rc (rc 3M )2 ) 2
Q=
!
2
2
a (M rc )
m=
p
i Q
rc2 (rc
i
e
i
2
lm
e
+a
i Q+m2!
2 !2
( r1 + r1s )
3M ) + a2 (rc + M )
!
a(M rc )
mについての和は積分にしてしまう。
i!(r+rs )
e
G=
2⇡i!rrs
1
X
W= 1
Z
m2
dm
m1
Z
1
dLe
2⇡iW (
1
2
) eim(↵
0
h p
2
⇡)
p
ei Q + e
Q
p
i Q
i
e
i
2
lm
e
+a
i Q+m2!
2 !2
( r1 + r1s )
l積分は留数定理
i!(r+rs )
e
G=
2⇡i!rrs
Z
m2
m1
dm 2⇡i (↵, , m, Q) =
干渉パターン
e
i!(r+rs )
!rrs
Z
r2
drc
r1
dm
drc
(↵, , m(rc ), Q(rc ))
rc のみの関数
干渉パターンと像
G(x, xs ) =
a
= 0.99
M
e
i!(r+rs )
!rrs
Z
r2
r1
dm
drc
drc
(↵, , m(rc ), Q(rc ))
!M = 50 の場合
干渉パターン
像
輪郭がでそうだけど、めちゃくちゃ、、、、、
簡易計算
1 m=l
ei!(r+rs ) X X im(↵
G=
e
2⇡i!rrs
l=0 m= l
i
h p
p
2
⇡)
p
ei Q + ei Q ei
Q
2
lm
e
+a
i Q+m2!
2 !2
( r1 + r1s )
ブラックホールを波源とした場合の計算
p
X 1
p eim↵ [ei Q + e
(✓, ) =
Q
m
rc3 (4M a2 rc (rc 3M )2 ) 2
Q=
!
2
2
a (M rc )
(✓, ) =
=
Z
m2
m1
Z
r2
r1
m=
rc2 (rc
p
i Q
]
3M ) + a2 (rc + M )
!
a(M rc )
1 im↵ ipQ
[e
+e
dm p e
Q
p
i Q
dm 1 im↵ ipQ
p e
[e
+e
drc
drc Q
]
p
i Q
]
シャドウの輪郭
幾何光学
a=0.5
-4
波動光学
h
b
h
-6
a=0.99
a=0.9
6
6
6
4
4
4
2
2
2
-2
2
4
6
-x
-6
-4
-2
2
4
6
a
-6
-4
-2
2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-6
-6
-6
4
6
-x
干渉パターン
a = 0.5
Re
a = 0.9
Re
(✓, ) =
Z
m2
p
dm ei
Q(m)
m1
eim↵
Im
| |
Im
| |
まとめ 波を用いてブラックホールシャドウを描いた。
①
ブラックホール時空上での波の散乱問題 (WKB法)
Green関数
②
レンズ方程式の再導出
Green関数の位相部分の停留条件
③
干渉パターンと像
Green関数の和の処理
レンズ方程式
Schwarzschild … うまくいってる
Kerr … なんかうまくいかない(対称性?)
簡易計算による像(Kerr周りの場の配位、BHを波源)
(✓, ) =
シャドウの輪郭を再現
X
e
p
i Q
eim↵
不安定円軌道という条件は使う
m
a=0.5
a=0.9
a=0.99
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Kerr時空上の波動光学とブラックホールシャドウ