数学 2D
宮下精二教員
2003/07/18
1. 次の積分を実行せよ
.
I
1
(a)
dz
(2z − 1)(z + 2)
I|z|=1
e−2x
(b)
dz
(z + 1)2
Z|z|=2
∞
x sin ax
(c)
dx (a > 0)
2
I0 xp+ 1
(d)
z 2 − 4dz (切断線は z = 2 と z = 3 を結ぶ線分)
|z|=3
Z ∞
dx
(e)
2 + 1)(x − 3)
(x
−∞
2. 次のべき級数の収束半径を求めよ.
1 + z + 2 2 z 2 + · · · + n2 z n + . . .
3. 次の値を求めよ.
1
(−2) 3
4.(a)下図で与えられる関数 f (x) の Fourier 級数展開を求めよ.
(b)
1
を Fourier 変換せよ.
x2 + a2
5.(a)4. (a) の f (x) を Laplace 変換せよ.
(b)cos ax を Laplace 変換せよ.
6. エネルギーが
E = −J1
L−1
X
cos(θi − θi+1 ) + J2
i=0
L−1
X
cos(θi − θi+2 )
i=0
で与えられる系を考えよう. J1 (> 0), J2 (> 0) の関数としての最低エネルギーを求め, そこでの {θi } の
配位を説明せよ. ただし, 周期的境界条件 θL = θ0 とする. また, L は十分大きいとしてよい.
1
7. 微分方程式
dx
= −γx(t) + f (t)
dt
の解を,
(
1(0 < t ≤ 1)
f (t) =
0(1 < t)
x(0) = 0
の場合に求めよ.
2
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