光学トラップ中の
スピン自由度のあるボース凝縮系
―ボース凝縮体の2粒子的な取り扱い―
1. Introduction
2. Polar state と spin-singlet state
3. Singlet pair 演算子の性質
4. 経路積分と音波モード
栗原研究室
5. まとめ
G99m0267 段下 一平
1.Introduction
―光学トラップにおけるBECの実現―
1997年、MITのグループが
光学トラップを用いてBECを実現
(23Na、 87Rb total spin=1、)
Magnetic Trap
Optical Trap
―この研究の目的―
・ 基底状態の決定
・ 系のエネルギー分散関係の追求
2. Polar state と Singlet pair
一様系のHamiltonian
T.L.Ho PRL(1998)
H   dr ( 2 M  †  
2
        † † S   S  )
†
c0
2
c0 
d0  2 d 2
3
, c2 
†
d 2  d0
3
c2
2
 0 (反強磁性的), d F 
4
2
M
スピン基底の変換
Ohmi & Machida JPSJ(1998)
H   dr ( 2 M  †  
2
            )
g1
2
†
†
g2
2
g1  c0  c2  0, g 2  c2  0
†
†
aF
凝縮の単位
エネルギー平均
 H0 
SO(3) 対称性
approach
励起スペクトル
Polar state
Spin-singlet state
z方向スピンが0
1粒子状態
全スピンが0のペア
(Singlet pair)
2粒子状態
g1  g2
2V
N ( N 1)
g1  g2
2V
N ( N 1) 
g2
2V
N
broken
unbroken
GP 近似
Hubbard-Storatonovich
変換
 k ( k  2 | g1 | n)
 k ( k  2 | g 2 | n)
<H0> 熱力学的極限で一致だが…
??
本研究では、
Spin‐singlet state を仮定
3. Singlet pair のコヒーレント状態
Motivation
スピン自由度のないBECでは、コヒーレント状態が実現
→ Singlet pair の凝縮体でこれに対応する状態が欲しい!!
擬スピン表示:
  L(  ) , †  L(  ) , 2 N 3  Lz
4
2
2
[ Lz , L(  ) ]   L(  ) ,[ L(  ) , L(  ) ]  2 Lz
この性質を利用して、
|   |  
Θ の固有状態を求めた。
要請
となるような、
|  |  († )k
|  
| vac 

sinh |  | k 0 ( 2k+1) !
 | N |   N
| |  N ,    Nei
Θ、N の平均を
秩序パラメータとして
取り扱える。
4. 経路積分と音波モード
Motivation
・測定できる量でPolar State とSpin-singlet state を比較したい
Spin-singlet state の
エネルギー励起スペクトルを求める
Start line

大分配関数: Z   * exp(
S[ * ,  ]
経路積分
), S  S0  Sint
2 2


*
S0   dxd ( x , )(

  ) ( x , )
 2m
Sint   dxd{ 12 g1 * ( x , )* ( x , ) ( x , ) ( x , )
 12 g 2 * ( x , )* ( x , ) ( x , ) ( x, )}
Hubbard-Stratonobich 変換
補助場:
g2   , g2   , g1 i
*
*
*
*
( x)  0  ( x), * ( x)  *0  * ( x), ( x)   0   ( x)
ゆらぎの1次の係数が0
補助場の古典解
(鞍点法)
擬スピンの平均場近似
i 0  g1n
|  0 |   g2 n
  ( g1  g2 )n
Bogolonの
励起スペクトル
粒子数平均 = 系に与えられた粒子数
&
Heisenberg.equation
   k ( k  2 | g2 | n)
Polar state との比較
Polar state の分散関係
   k ( k  2 | g1 | n)
(density wave mode)
   k ( k  2 | g 2 | n)
(spin wave mode)
それぞれ自発的対称性の破れに対するGoldstone mode
考察
・Polar state のスピン波モードと一致
∵ Singlet pair が壊れることでスピンが励起される
・Gaplessである。
∵ Spin-singlet state は束縛状態ではない。
・U(1)対称性の破れに対するGoldestone mode?
→ 集団励起モードが対応
補助場のゆらぎの2次形式
集団励起モード (計算中)
5. まとめと今後の課題
まとめ
・Singlet pair 演算子の固有状態を求めた。
・Spin-singlet state の個別励起は
Polar state のスピン波モードに対応。
・今回の励起モードからはPolar state と
Spin-singlet state を区別できない。
今後の課題
・|Λ> の数学的検証
・集団励起モードの計算 (RPA Bubble )
・Josephson効果
終
遊
Appendix
1. スピン空間における基底
  1 (r ) 


 (r )    mF (r ) | f  1, mF     0 (r ) 
mF 1
 1 (r ) 
1 
0
0






| mF  1  0  , | mF  0  1  , | mF  1  0 
0
0 
1 
・|1>、|0>、|-1>、という基底
1

S


0

1
1
2 0

1 0
0

i
1
1 ,


0 2  0
1
0
1
0
1
 1
1,  0
 
0  0
0
0
0
0

0 

1 

0
・ 新しい基底の導入
def .
basis set | x , | y , | z 
Si | i  0 , (i  x, y , z )
 1
1  
| x 
0  , | y 

2
 1 
 (r ) 


 x, y, z





1 
0 
i  
1 
0
,
|
z

 
2  
1 
 0 
  (r ) | f  1, mF 
( x (r )  i y (r ))    1 (r ) 
 

 z (r )
    0 (r ) 
1
  (r ) 
(

(
r
)

i

(
r
))
x
y
2
  1 
1
2
凝縮体のHamiltonian
H0 
g1
2V
a a a a 

g1
2V
N ( N  1) 
†
†
g2
2V
g2
2V
a† a† a a
† 
Polar state: z方向スピンが0であるような1粒子状態に凝縮
|  p 
1
N!
(a ) | vac 
† N
0
a   a  a  a ,
†
0
†
x x
†
y y
†
z z
  (cos  sin  sin  sin 
cos  )
Spin-singlet state: 全スピンが0になるようなペアを作って凝縮
|  s 
1
C
( ) | vac 
†
N
2
 a a a a a a
†
† †
x x
† †
y y
† †
z z
Hubbard-Stratonobich 変換
補助場:
g2   , g2**  * , g1* i
Z   *  *  exp(
S [ * ,  , * , ,  ]
S  S0 [ * ,  ]  Sint [ * ,  , * , ,  ]
|  ( x ,  ) |2  ( x ,  ) 2
Sint   dxd{

2 g2
2 g1
 12 (2i ( x , )* ( x , ) ( x , )
  ( x , )  ( x , )  ( x , )
*
*
 * ( x , ) ( x , ) ( x , ))}
),
Green’s function を用いた二次形式
2
2
|

|

*
Z   
 exp(  dx (

))
2g2 2g1
  ( x ) 
    exp(   dxdx [ ( x )  ( x )]( G ( x , x ))  *
)

 ( x ) 
*
1
*
  22
 
   i

1
2m
 G 1 
 
2 
*




 ( x  x )
2 2
 
 
   i 


2m
ここで、φ*、φ に関する積分を実行
2
2
|

(
x
)|

(
x
)
S[ * , , ]   dx {

}   Tr[ln( G 1 )]
2 g2
2 g1
i



i





|
g
|
n

g
n
e
1
1
m
k
2
2
 G ( k ,m ) 


i
2 
 g2 n e
i m   k | g2 | n
det[G 1 ]  0  energy dispersion relation :    k ( k  2| g2 | n)
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