土木計画学
第7回(11月16日)
計画における予測1
担当:榊原 弘之
次回,パソコン持参のこと
本日の内容
計画における予測
1
・変動の予測方法について説明する.
・二項分布,ポアソン分布,
指数分布による不確定事象のモデル化について
説明する
Key Words: ベルヌーイ試行,二項分布,
ポアソン分布,指数分布
ベルヌーイ試行(Bernoulli Trial )
一定の確率 p で事象が発生する確率を多数回独立に実施
n 回試行したとき,x回事象が発生,(n - x)回非発生となる
確率
p (1  p)
x
n x
n 回中,x回事象が発生するパターンの数
n!
n Cx 
x!( n  x )!
p( x) n Cx p x (1  p) n  x
二項分布
(binomial distribution)
または
 n x
p( x)    p (1  p) n  x
 x
例
ある河川において,年最大洪水流量が設計上の最大流量
を超過する確率を0.1とする.この現象をベルヌーイ試行
としてみた場合,今後5年間に年最大流量が
設計上の最大流量を1回だけ超過する確率はいくらか.
またたかだか1回超過する確率はいくらか.
暗に仮定していること
・1年間を1回の試行とみなす.
・最大流量を越えるような降
雨が年に2回以上は発生し
ないものとする.
今後5年間に年最大流量が
設計上の最大流量を1回だけ超過する確率
p (1) 5 C1 0.11 (1  0.1) 51
 5(0.1)1 (0.9) 4
 0.328
今後5年間に年最大流量が
設計上の最大流量をたかだか1回超過する確率
p(0)  p(1) 5 C0 0.10 (1  0.1) 50  5 C1 0.11 (1  0.1) 51
 5(0.1) 0 (0.9) 5  5(0.1)1 (0.9) 4
 0.590  0.328
 0.918
1回1回の試行はそれぞれ独立
次のような発想は無効
「もうずっと地震が起きていないから,
そろそろ起きるだろう」
「去年地震が起きたから,今年は起きないだろう」
ベルヌーイ試行は時間だけでなく,空間に対しても適用
可能
例
道路を車で走っていて,ガソリンスタンドに出会う確率は
p.x軒目までにガソリンスタンドに出会う確率は?
幾何分布(geometric distribution)
ベルヌーイ試行において,ある事象が最初に生起する
までの試行回数の分布
t 回目に初めて生起する確率
(t-1)回生起せず, t 回目に生起する確率
p(t )  p(1  p)t 1
幾何分布の期待値:平均再帰時間
E (t ) 

 t p(1  p)
t 1
t 1
 p{1  2(1  p)  3(1  p)  ...}
2

 1
1

 p

2 
 {1  (1  p)}  p
先ほどの洪水の問題で
5年目に初めて超過洪水が生起する確率
(0.1)1 (0.9) 4  0.06561
平均再帰期間
1
 10
0.1
ポアソン過程
ベルヌーイ試行を連続な時間・空間上に拡張
1.事象は時間軸,空間軸上の任意の点で発生
2.事象の生起は他の区間に対して独立
3.微小区間Δtにおける生起確率はΔtに比例する.
時間tにおける事象の生起回数の分布
(t ) x  t
p ( X t  x) 
e
x!

t
平均発生率
時間tにおける平均的な発生数
指数分布
事象が初めて発生するまでの時間の分布
確率密度関数
分布関数
fT (t )  et
FT (t ) 1  et
ベルヌーイ試行とポアソン過程の関係
・ベルヌーイ試行では一定の長さを持った区間における
発生数は1回限り
・区間が無限小になると,ベルヌーイ試行はポアソン
過程と一致
モデル
生起回数の
分布
初めて生起
するまでの
回数・時間
ベルヌーイ
試行
ポアソン過程
二項分布
ポアソン分布
幾何分布
(回数)
指数分布
(時間)
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