質量を持ったばねの波動方程式
tomocci
平成 17 年 9 月 10 日
概要
弦の波動方程式で気を良くしたので, 今度は質量を持ったばねの波動方程式を求めてみ
ることにした.
1
導出
質量 m, 自然長 l のばねを天井に固定し, 下端に質量 M の錘を付ける. この系
の模型を立てよう. 質量のない, 自然長が li = l/N でばね定数が ki = N k の微小
なばねを, 質量 mi = m/(N − 1) ' m/N の微小な質点で繋いでいくことによっ
て, 質量のあるばねを記述する事にする. 微小質点と錘に対して運動方程式を立て,
N → ∞ の極限をとる.
変位を φi (t) = φ(x, t) とおけば, 微小質点の運動方程式は
mi φ̈i = −ki (φi − φi−1 ) − ki (φi − φi+1 ) − mi g
l2
l2
= ki {(li φ0i + i φ00i ) + (−li φ0i + i φ00i )} − mi g + O(li3 )
2
2
2 00
4
= ki li φi − mi g + O(li )
こうして
∂ 2 φ(x, t) kl2 ∂ 2 φ(x, t)
−
= −g
∂t2
m ∂x2
を得る. 一方, 錘についての運動方程式は
(1)
M φ̈N = −ki (φN − φN −1 ) − M g
= −ki li φ0N − M g + O(li2 )
となり, 下端における境界条件
∂ 2 φ(l, t)
kl ∂φ(l, t)
= −g
+
2
∂t
M ∂x
(2)
φ(0, t) = 0
(3)
を得る. 上端に関しては
である.
1
2
解
波動方程式 (1) は非斉次方程式なので, 簡単には解けない. そこでまず通常のば
ねの運動にならって, 平衡点 φr (x) を調べてみよう. 但し, 冗長を避けるために x
の代わりに
x
ξ=
l
を用いることにする. φr についての方程式はそれぞれ
k 00
φ (ξ) = g
m r
k 0
φ (1) = −g
M r
φr (0) = 0
である. これの解は直ちに求まり
φr (ξ) = −
mg 2
(M + m)g
ξ+
ξ
k
2k
この平衡点の周りでの振動を考えよう.
Φ(ξ, t) ≡ φ(ξ, t) − φr (ξ)
とおけば, 斉次方程式
k ∂ 2 Φ(ξ, t)
∂ 2 Φ(ξ, t)
−
= 0
∂t2
m ∂ξ 2
∂ 2 Φ(1, t)
k ∂Φ(1, t)
+
= 0
2
∂t
M ∂ξ
Φ(0, t) = 0
が得られる. 従って解は
à r
φθ (ξ, t) = φθ sin(θξ) sin θ
k
t + δθ
m
(M + m)g
mg 2
φr (ξ) = −
ξ+
ξ
k
2k
m
θ tan θ =
M
!
+ φr (ξ)
(4)
(5)
となる. θ は条件式 (5) によって離散化される. φθ sin(θξ) は振幅を表していて, θ
が大きいところ (励起モード) では振動に節が現れる.
2
3
3.1
解の極限
第ゼロ近似
さて, 解 (4) はばねの質量が小さいときを再現するであろうか. これは角振動数
p
p
が θ k/m → k/M になる必要があることを意味する. これは条件式 (5) から,
θ ¿ 1 において
r
m
θ'
M
が得られることから, 通常のばねの運動
!
Ã
Ãr
!
k
Mg
φ(ξ, t) = ξ φ sin
t+δ −
M
k
を再現する.
3.2
第 1 近似と励起モード
m = 0 近傍で θ が微小量をとることは角振動数からの要請であり, 条件式 (5) に
はそうでない場合も存在している. 実際 m = 0 近傍は θ = nπ (n = 0, 1, 2, · · · ) 近
傍が対応し,
θ tan θ = nπ(θ − nπ) + (θ − nπ)2
nπ
1
+ (θ − nπ)3 + (θ − nπ)4 + O(θ5 )
3
3
と展開して n = 0 に関しては 4 次まで, n ≥ 1 に関しては 2 次までとってこれを解
くと,
r ³
m
m ´
1 m
1 m2
θ0 =
1−
, θn≥1 = nπ +
−
M
3M
nπ M
(nπ)3 M 2
p
よって角振動数 ωn = θn k/m は
s
r
r r
k
k
1
m
k
ω0 =
, ωn≥1 = nπ
+
+ ···
1
m nπ M M
M + 3m
となる. 基底モードは錘の質量が 13 m だけ増えていることに対応し, これは波動が
φ(ξ, t) = ξφ(1, t) と近似できるとき, 運動エネルギーが
Z 1
1
1
1³
m´
2
dξ mφ̇(ξ, t)2 =
M φ̇(1, t) +
M+
φ̇(1, t)2
2
2
2
3
0
となることと対応している. 励起モードに関しては, 確かに m → 0 のときは存在
していない事が分かる. 基底モードとのエネルギー比は M/m のオーダーとなっ
ているので. 通常のばねでは励起モード, つまり節が現れるような振動は実現しに
くい.
3
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