ブラックホール摂動論と
重力波解析
大阪大学 宇宙進化研究室
佐合 紀親
重力波物理冬の学校
/第4回TAMAシンポジウム
2005.2.16-19 大阪市立大学
目次
1.
2.
3.
4.
5.
導入
Regge-Wheeler-Zerilli formalism
Teukolsky formalism
ブラックホール準固有振動
まとめ
1. 導入
重力波源の候補
周期的、準周期的な重力波源
•コンパクト天体の連星系 (WD,NS,BH)
•星の大質量ブラックホールへの落下
•回転中性子星
バースト的重力波源
•コンパクト天体連星の合体
•星の重力崩壊 (超新星、ガンマ線バースト)
その他の重力波源
•インフレーション、相転移起源の背景重力波
•裸の特異点
理論波形の必要性
観測データ
x(t )  s(t )  n(t )
重力波信号
ノイズ
重力波信号はノイズに埋もれている!!
Matched filtering
観測データと理論波形の相関を取る。
~
~

x ( f )h * ( f )
  2 df

S n (| f |)
~
x( f ):
~
h( f ):
データのフーリエ成分
予測した理論波形
S n ( f ) : ノイズスペクトル
* は複素共役の意
s (t ) と h(t ) が一致している
s (t ) と h(t ) にずれがある
 は重力波の振幅
 は小さくなる
観測データから効率良く、高精度で情報を引き出す
ためには理論波形を正確に求めておく必要がある。
重力波波形の解析法
同質量程度の連星系の場合
Inspiral phase :
ポストニュートン法
(v/c) で展開
merging phase :
数値相対論
Einstein eq.を数値的に解く。
非線形の効果が重要な場合
ringdown phase :
ブラックホール摂動法
中心BHの重力場が支配的
(背景時空) + (摂動)
重力場の方程式
•時空の計量 (時空を記述する)


ds  g dx dx
2
 ,  0,1,2,3
•Einstein方程式 (計量を決める方程式)
G
1
 R  g  R  8T
2
 2 g , (g )(g ) で構成される
•10本の連立偏微分方程式
•計量テンソルの10成分がカップル
•計量について非線形
0 : 時間成分
(1,2,3) : 空間成分
厳密解
•Minkowski解 (平坦な時空)
ds2  dt2  dx2  dt2  dr2  r 2 (d 2  sin 2 d 2 )
•Schwarzschild解 (球対称、真空解)
2M
ds2  1 
r

1
dt 2  1  2M  dr2  r 2 (d 2  sin 2  d 2 )



r 


•Kerr解 (軸対称、真空解)
2 Mr  2
4 Mar sin 2 


ds  1 
dtd 
dr 2
 dt 

 


2
 2

2 Ma 2 r
2
2
2
 d   r  a 
sin 2  
sin

d





2
  r 2  a 2 cos2  ,   r 2  2Mr  a 2
Einstein方程式の線形化
•計量の摂動
(b)
g   g 
 h
背景時空
Schwarzschild, Kerr(真空解)
摂動
(b)
(1)
G [ g ]  G [ g
]  G
[h ]  O(h 2 )
•エネルギー運動量テンソル
(b)
(1)
T  T
 T
(b)
は背景時空を作る
T
•線形化されたEinstein方程式
(1)
(1)
G
[h ]  8T

(b)
h  h  12 g 
h

1
|


 |
(b)
(b)
 h |  h |  h |  g 
h |  2 R
h   8T(1)
2
ゲージ自由度
x


perturbed spacetime
x 
(b)
g   g 
 h
(b)
g 
background
摂動入り時空上の各点を背景時空へ写像。
(各点の座標値 x が与えられる)
摂動は背景時空上のテンソル場と捉える。
この写像には自由度がある。 (ゲージ自由度)
写像の取替え
ゲージ変換
x   x  x    
ゲージ変換は無限小座標変換で表現される。
Einstein方程式の線形化 (flat case)


1
,


 ,
 h ,  h ,  h ,    h ,   8T(1)
2
ゲージ変換 (無限小座標変換)
x   x  x    
  h   ,   ,    ,
h  h
調和ゲージ条件 (Lorentzゲージ条件)
ゲージ方程式
  , ,  h  ,
h  ,  0
(但し、  , ,  0 の自由度残る)
調和ゲージ上での線形化Einstein方程式
 2 2
2
2 
  2  2  2  2 h  16T(1)
x y z 
 t
Transverse-traceless(TT)ゲージ
平面波解
h ( x)  A exp[ik x ];
ゲージ変換
場の方程式
調和ゲージ条件
k k   0
A k   0
(残った   , ,  0 の自由度を決める)
   B  exp[ik x ]
この変換により、

  i B k  B k  B k
A  A

B の自由度を用いて以下のようなゲージを取ることができる。

A0  0, A    A  0;
3
j

A
k
0
ij

j 1
波数 k について重ね合わせを考えると、
TT
h0TT
 0;
  0, h
3
TT , j
h
0
ij

j 1
(TT gauge)
重力波の偏極
TTゲージはゲージ自由度が固定されている。
重力波の真の物理的自由度を表す。
Cartesian座標、z-軸正方向に進む平面波を考える。
TT
ij
h
h
TT
ij
 A exp[ik (t  z )];
TT
ij
k  (k ,0,0, k ),
3
TT j
A
ij
 k 0
j 1
3
A
TT
ij
j 1
k j  0, ATT  0
AijTT
 Axx

  Ayx
 0

Axy
Ayy
0
0

0 ;
0 
Axy  Ayx , Axx   Ayy
独立成分は Axx,Axy の2つ
重力波の物理的自由度は 2
重力波の偏極 II
重ね合わせ後、計量は以下の様に書ける。
ds2  dt2  (1  h )dx2  (1  h )dy2  2hdxdy dz2
h  h (t  z), h  h (t  z)
y
y
x
x
z
×-mode
+-mode
極座標、動径方向に進む重力波の場合、

ds2  dt2  dr2  r 2 (1  h )d 2  (1  h ) sin 2 d 2  2h sin dd

曲がった時空の場合



1
|


 |
(b)
(b)
h |  h |  h |  g 
h |  2 R
h   8T(1)
2
調和ゲージ条件 h  |  0
h
|
|
(b)
(1)
 2R
h   16T
偏微分→共変微分
リーマンテンソル項
h  h 
1 (b)
g  h
2
各成分は独立ではない。
変数分離も非自明。
平坦の場合と違い、調和ゲージでは簡単に解けない。
単純に平面波解を用いることができない。
うまいゲージを選ぶ、方程式の変形等工夫が必要。
Regge-Wheeler-Zerilli formalism for Schwarzschild case
Teukolsky formalism for Kerr case
2. Regge-Wheeler-Zerilli
formalism
Regge and Wheeler, Phys. Rev. 108, 1063 (1957)
Zerilli, Phys.Rev. D 2, 2141 (1970)
曲がった時空における摂動方程式
•Schwarzschild解 (静的、球対称、真空解)
2M
ds2  1 
r

1
dt 2  1  2M  dr2  r 2 (d 2  sin 2  d 2 )



r



背景時空が曲がっている場合、線形化Einstein方程式は、
h
|
|
(b)
(1)
 2R
h   16T
(調和ゲージ)
調和ゲージのゲージ不定性。
平面波解を用いることができない。
Strategy
1. 球面調和関数展開による変数分離。
2. 自由度を固定できるゲージ条件を課す。
3. ゲージ不変量に対する方程式の導出。
テンソル球面調和関数展開
•球対称時空中のスカラー場
 ( x  )  m (t , r )Ym ( ,  )
m
角度依存性を球面調和関数で分離できる
テンソル場の場合も、角度依存性をうまく分離できる。
10
(i )
(i )
h ( x  )   hlm
(t , r )(Ylm ) 
i 1
lm
(i )
Ylm
() : テンソル球面調和関数
(球面調和関数から作られる対称テンソル)
odd parity (1)1
even parity (1)
X m  2
 2
  

1 2 


Y

cot

Y
,
W


cot



 m m  2
2
2  m
  




sin






摂動、エネルギー運動量テンソルのテンソル球面調和関数展開
摂動方程式に代入
(,) 依存性を分離、(t,r) の偏微分方程式にできる。
さらに、時間についてもFourier展開できる。

hm (r )   dthm (t , r )eit ,

ゲージ変換
•ゲージ変換
x   x  x    
 Ym


, sin  Ym 
sin 


m

(even)
  M 0m (t , r )Ym , M1m (t , r )Ym , M 2m (t , r ) Ym , M 2m (t , r ) Ym 

(odd)
   m (t , r )0,0,
m
•ゲージ変換による摂動の変化
  h  2(  )
h  h
ゲージ変換 (odd part)
任意のゲージにおける摂動
ゲージ変換による摂動の変化
i
 m (t , r )   h2m (t , r ) と選ぶことで dm-termを消去可能。
2
ゲージ変換 (even part)
r2
M 2m (t , r )   Gm (t , r )
2
M 0m (t , r )  h0(e)m (t , r )   t M 2m (t , r )
 M 2m (t , r ) 
2
M 1m (t , r )  h1(e)

m (t , r )  r  r 
r2


b(0)
m , bm , f m -termを消去できる。
Regge-Wheelerゲージ
4つのゲージ自由度を用いて以下のようなゲージを選ぶ。
RW
RW
RW
h0(e)
 h1(e)
 GRW
m
m
m  h2m  0
(Regge-Wheeler gauge)
テンソル球面調和関数の最も複雑な項を消去
ゲージが完全に固定される。
•場の方程式
odd part : h0m , h1m に対する方程式 (Fourier変換後)
(bianchi恒等式により、実質2本の方程式)
ここで、
とすると以下の方程式に帰結される。
d 2 R(odd)
2
(RW)
(odd)
(odd)
m

[


V
(
r
)
]
R

S

m
m
dr*2
(Regge-Wheeler方程式)
 2M  (  1) 6M 
V( RW ) (r )  1 
 3 

2
r  r
r 

S(odd)
m : エネルギー運動量テンソルから求められるsource term
R(odd)
m はゲージ不変量
重力の物理的自由度に対応
even part : H 0m , H1m , H 2m , Km に対する方程式
odd partより複雑だがやはり一本の方程式に帰結できる。
d 2 R(even)
2
(Z)
(even)
(even)
m

[


V
(
r
)
]
R

S


m


m
2
dr*
(Zerilli方程式)
  (  1)(  2) / 2
H 0m , H1m , H 2m , Km は適切な微分演算を行うことで得られる。
…
R(even)
m もゲージ不変量
R(odd/even)
m
重力の物理的自由度2
遠方での重力波の評価
RWゲージでの摂動をそのまま用いることはできない!
例えば、 h0  O(r ), h1  O(r ) から、
h
(odd)
h0c (0)
h1c m
m


 O(r )
r
r
Cartesianに直すとh~O(1)
摂動が~O(1/r)となるようなゲージへ変換。
(Zerilli ’70)
•無限遠方での摂動

ds2  dt2  dr2  r 2 (1  h )d 2  (1  h ) sin 2 d 2  2h sin dd
 (even) 2 A(odd)
1 
m  i ( r * t )
e
h  ih 
d  (  1)  Am 
 2Ym



2r
 
m

*
R(odd/even)
r
 A(odd/even)
eir* , 2Ym 
m
m
1
i


X m 
Wm 
sin 
2 (  1) 


RWZ formalismのまとめ
フーリエ、球面調和関数展開
適切なゲージの選択
場の方程式を動径方向に関する一次元問題に帰結。
d 2 R(odd/even)
2
(RW/Z)
(odd/even)
(odd/even)
m

[


V
(
r
)
]
R

S

m
m
dr*2
適切な微分演算により展開係数を得る。
ゲージ変換により、重力波を評価できるゲージへ移す。
3.Teukolsky formalism
S.A.Teukolsky, Astrophys. J. 185, 635 (1973)
T.Nakamura, K.Oohara, and Y.Kojima, PTP Suppl. 90, 110 (1987)
S.Chandrasekhar, Mathematical Theory of Black Holes
Kerr時空における摂動方程式
•Kerr解 (定常、軸対称、真空解)
2 Mr

ds  1 


2
2

 2 4 Mar sin 
dtd 
dr 2
 dt 



 2

2 Ma 2 r
2
2
2
2

 d  
r

a

sin

sin

d






   r 2  a 2 cos 2  


   r 2  2 Mr  a 2 


2
Kerr caseにおいて摂動方程式はさらに複雑になる。
球面調和関数
spheroidal harmonics
(テンソル球面調和関数に対応する
spheroidal tensor harmonicsは知られていない)
RWゲージのような便利なゲージがない。
Newman-Penroseにより導入されたゲージ不変量  4 に注目。
重力の物理的自由度
•リーマンテンソル : 代数的独立成分 20個
時空の曲率を表すテンソル
2
2
計量の2階微分で表現される。 R  O g , (g ) 
R  g [ R ]  g [  R ]  13 g [ g  ] R  C
リッチテンソル : 代数的独立成分 10個


R  g R , R  g R
アインシュタイン方程式により
物質項と直接結びついている。
R 
ワイルテンソル C
1
g  R  8T
2
: 代数的独立成分 10個
リーマンテンソルの残りの成分
真空の場合でもゼロではない
重力の物理的自由度を表す。
テトラッド
•テトラッド : 時空を張る4つの規格直交ベクトル
(b)
e(a)e(b)  (a) , e(a)e(a)  
•光的テトラッド : 光的なベクトルで構成されるテトラッド
l l   n n   m m   m m   0
(m は複素ベクトル)
 l n   m m   1,
l  m   l  m   n  m   n m   0
例えば、Kerr時空の場合、以下のように選ぶことができる。
l

 r 2  a2
 r 2  a2
a

a 



 
, 1, 0, 
,
n

,

,
0
,

 2

2

2







m 
i 

 ia sin  , 0, 1,

sin  
2 r  ia cos  
1
(Kinnersley’s null tetrad)
  r 2  a 2 cos2 
  r 2  2Mr  a 2
光的テトラッド
t
n

l


r
 
l n
b
a

m 

1
2
(a   ib  )
Newman-Penrose quantities
•Newman-Penrose形式 Newman and Penrose, J. Math. Phys. 3, 566 (1962)
光的テトラッドを基底として用いる解析手法
輻射の問題を扱うのに便利
•ワイルスカラー
 4  C n  m n m 
(ゲージ変換に対して不変な量)
•ワイルスカラーと重力波の関係
無限遠方において、

ds2  dt 2  dr2  r 2 (1  h )d 2  (1  h ) sin 2 d 2  2h sin dd
l   (1,1,0,0), n   ( 12 , 12 ,0,0), m  
1
2r

(0,0,1, sini  )
h , h は (t-r) (outgoing) の関数
この時、
4 
1
2
  ih
 )
(h
 r h  t h ,  r h  t h を用いた。
Teukolsky方程式
Newmann-Penrose形式を用いて 4 に対する方程式を導出。
(Teuk)
L
s  4Ts
 2   4 (r  ia cos ) 4
  r 2  a 2 cos2 
T : T から決まる物質項
変数分離可能な方程式!!

s   d  s Rm (r ) s S m ( )e it im

m
背景時空の定常、軸対称性によりフーリエ展開可能
Teukolsky方程式 II
•分離後の各成分に対する方程式
動径方向 (radial Teukolsky eq.)
  r 2  a 2 cos2  ,   r 2  2Mr  a 2 , K  (r 2  a 2 )  am
角度方向 (spheroidal eq.)
s
Sm ( ) : spheroidal harmonics


0
d sin  s Sm ( )  1
2
 : 変数分離定数
(規格化条件)
   / 2 で正則 (境界条件)
Teukolsky方程式の漸近解
•Teukolsky方程式の動径方向


 d2
 s/2 2
2

V
(
r
)

r

a
s Rm ( r )  0
 2

 dr

dr
r 2  a2

dr r 2  2Mr  a 2
無限遠方 r   (r  )
2is
V (r )   
r
2
s
Rm (r )  A
in
m
ir *
e ir*
out e
 Am 2 s 1
r
r
地平線 r  r  M  M 2  a 2 (r  )
 is(r  M ) 
V ( r )  k 
2Mr 

k 
ma
2Mr
2
s
Rm (r )  B
in
m
e ikr*
out ikr*

B

m e
s

遠方での重力波の評価
無限遠方において、動径方向の同次解は、
2
r exp(ir )

3
m
Rm (r )  A
dr
r 2  a2
 2
dr r  2Mr  a 2
一方、
(r  a cos  )
h  ih  

2
r
4
2



r
 2   4
d 


4
m
Rm (r )

m
d 

2
Am

2
2 2
1 
 )

 (h  ih
2
r 
2
Sm ( ) exp[it  im ]
Sm ( ) exp[i (r  t )  im ]
Teukolsky formalismのまとめ
Newman-Penroseにより導入されたワイルスカラーに注目。
r 
  ih
 ) / 2
(h
ゲージ不変量、  4 
ワイルスカラーに対する変数分離可能な方程式を導出。
L(Teuk)s  4Ts
変数分離により、動径方向、角度方向の方程式を得る。
ワイルスカラーの無限遠方での表式から重力波を評価。
h  ih  
2
r
4


d 

m
2
Rm (r )

2
2
Sm ( ) exp[it  im ]
4.ブラックホール準固有振動
Quasi-Normal Mode とは
S.Chandrasekhar and S.Detweiler, Proc. r. Soc. Lond. A. 344, 441 (1975)
•複素振動数を持つ
Im( )t
h(t )  A exp(it )  Ae
exp[i Re()t ]
実部が共鳴振動数を、虚部が減衰率を表す。
•無限遠方で外向き、地平線では内向きの波
BH
無限遠方では外向きの重力波のみ
(系外からの入射波は考えない)
GW
horizonでは内向きの重力波のみ
(BHからの放出はない)
無限遠方
QNM振動数の求め方
E.Leaver, Proc. r. Soc. Lond. A. 402, 285 (1985)
•動径方向の方程式
2
d  1 dRm 

  V (r ) Rm  0
dr   dr 
QNMの条件を満たす解を求める。
•地平線近傍での級数展開
 r  r 
ir
1 2i  2i
2 2i
Rm (r )  e (r  r )
(r  r )
an 


 r  r 
n 0

k  
ma
M 
ma 
,
 r 

2Mr
r  r 
2M 
漸近形は、
Rm
 r 3 2i eir  r 3eir (r  )

2  2i
 2e ikr (r  r )
(r  r )
無限遠方で外向き、地平線で内向きになっている。
n
QNM振動数の求め方 II
•展開係数についての漸化式
 0 a1   0 a0  0,
 n an1   n an   n an1  0, (n  1,2,)
 n , n ,  n は a,m,, の含む関数
連分数方程式
0  0 
 0 1
 0 1 1 2
 0 

1 2
1   2 
1 
 2 3
2 
3  
この方程式を満たす  に対して、級数は収束。
QNM振動数
Leaverの方法の利点
, m, a を固定して、 の解を探す。
0  0 
 0 1 1 2  2 3

1   2   3 
•連分数は収束性良い。
有限回の計算で十分な精度が得られる。
•数値積分が不要。
計算時間が短い。
高精度の計算が可能。
QNM (Schwarzschild case)
:  2
:  3
least damped mode
1  0.747343  0.177925 i
(  2)
1  1.198887  0.185406 i
(  3)
Fig.1 in Leaver Proc. R. Sco. Lond. A402, 285 (1985)
QNM (Kerr case)
QNMの a 依存性
  m  2 の場合の
n  1,2,3,4,5 mode
m= モードは、
a→0.5の極限で
実振動数  へ縮退
(Leaverの論文ではaを
2Mで規格化しているの
で a  0.5 )
Fig.3 in Leaver Proc. R. Sco. Lond. A402, 285 (1985)
=2, least damped modeのKerr parameter依存性
Schwarzschild case (a=0) では縮退
Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)
ringdown重力波波形
QNM振動数は離散的なので、
2
Am
h  ih    2 2 Sm ( ) exp[in (r  t )  im ]
r m n
n
n
n
=m=2, least damped modeに注目すると、
~
h  ih  A(r, , )eIm(1 )t exp[i Re(1 )t ]
fc 
Re(1 )
Re(1 )
, Q
2
2 | Im(1 ) |
とおくと、
h(t )  efc (t t0 ) / Q cos[2f c (t  t0 )  0 ]
Leaverの結果をフィッティングすることで、
1
0.3  M 
0.45
f c  32kHz[1  0.63(1  a) ]
 , Q  2.0(1  a)
 M sun 
F.Echeverria, PRD 40, 3194 (1989)
(ここでの a は M で規格化しているので a  1 )
5.まとめ
まとめ : RWZ formalism
•摂動のテンソル球面調和関数展開、フーリエ展開
時間、角度依存性を分離
•Regge-Wheelerゲージの導入
ゲージ自由度を完全固定
摂動方程式をゲージ不変量に対する一次元問題に帰結。
d 2 R(odd/even)
2
(RW/Z)
(odd/even)
(odd/even)
m

[


V
(
r
)
]
R

S

m
m
dr*2
•ゲージ不変量と遠方での重力波の関係
 (even) 2 R(odd)
1 
m  it
e 2Ym
h  ih 
d  (  1)  Rm 



2r
 
m

まとめ : Teukolsky formalism
•ワイルスカラーを導入
ゲージ不変量、遠方での重力波と関連

  ih
 ) / 2
 4 r
(h
•ワイルスカラーに対する変数分離可能な方程式を導出。
L(Teuk)s  4Ts
•変数分離により動径方向、角度方向の方程式を導出。
•遠方での重力波
h  ih  
2
r
4


d 

m
2
Rm (r )

2
2
Sm ( ) exp[it  im ]
まとめ : ブラックホール準固有振動
•ブラックホール固有の振動モード
境界条件
無限遠方で外向きの波
地平線で内向きの波
Rm
 r 3 2i eir  r 3eir (r  )

2  2i
 2e ikr (r  r )
(r  r )
(系外からのエネルギー注入なし)
複素数振動数を持つ。
実部 : 固有振動数 虚部 : 減衰率
•Leaverの方法
連分数の収束性を利用した計算手法
高い精度でQNM振動数を求められる。
補足
平坦な時空の場合
背景時空が平坦(Minkowski)の場合、
h
|
|
(b)
(1)
 2R
h   16T
 2 2
2
2 
  2  2  2  2 h  16T(1)
x y
z 
 t
遅延解 (retarded solution)
h
(1)
T
(t  | x  x |, x)

3
 4 d x
| x  x |
変数分離定数の求め方
E.D.Fackerell and R.G.Crossman, J. Math. Phys. 9, 1849 (1977)
角度方向の方程式 x  cos ,   a, E    s(s  1)   2  2m
2

 
d
m 2  s 2  2m sx
2 d
2 2
(
1

x
)

2
x


x


2
s

x

E

 s Sm ( x)  0
2
2
dx
dx
1 x


境界条件 : x  1で正則
変数分離定数 E に対する固有値問題
Jacobi多項式で展開
 /2

x  1  x 
s Sm ( x)  e 

 2 
1 x 


 2 
 /2 

s
A(mn) ( ) Pn( , ) ( x)
n 0
ここで、   m  s ,   m  s
P

(1) n
d 
( x)  n (1  x)  (1  x)     (1  x)  n (1  x)   n
2 n!
 dx 
n
( ,  )
n

変数分離定数の求め方 II
•展開係数についての漸化式
 0 s A(m1)   0 s A(m0)  0,
 n s A(mn1)   n s A(mn )   n s A(mn1)  0, (n  1,2,)
 
 
 





3
0
1
1
2
2

0  0  



1   2  3 
固定した , m, a に対して固有値 E を決める方程式
QNM (Kerr case)
Im( )
QNMの a 依存性
  m  2 の場合の
n  1,2,3,4,5 mode
m= モードは、
a→0.5の極限で
実振動数  へ縮退
Re( )
Fig.4 in Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)
QNM (Kerr case)
Im( )
QNMの a 依存性
  m  1 の場合の
n  1,2,3,4,5 mode
Re( )
Fig.3 in Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)
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ブラックホール摂動論のレビュー - 神田研究室