物理情報数学 C 演習問題
2013/10/03
問題
問 1.つぎの関数の基本周期を求めよ.
(1) f (t) = (10 cos t)2
2π
(2) f (t) = sin
t (k は正の実数)
k
t
t
(3) f (t) = sin t + sin + sin
2
3
∞
∑
(4) f (t) =
bk sin kt (フーリエ正弦級数)
k=1
(5) f (t) = 2 sin t cos
(6) f (t) = |sin 3t|
t
2
(7) f (t) = cos ω0 t · sin 5ω0 t
(8) f (t) = sin2 t
(9) f (t) = sin3 t
(10) f (t) = tan 2t
問 2.つぎの関数 f (t) に対して,f (t) と f (−t) を図示せよ.その結果を用いて,
f (t) を偶関数成分 fe (t) と奇関数成分 fo (t) に分解し,それらのグラフを図示せよ.

t, t ≥ 0
(1) f (t) =
0, t < 0

e−t , t ≥ 0
(2) f (t) =
0,
t<0
(t = 0 の点は無視する)
問 3.つぎの関数を偶奇分解せよ.
(1) x(t) = 1 + t + t2 + t3
(2) x(t) = cos t + sin t + 2 sin t cos t
ただし,問 1(1),(4),(5),(9),問 2(1),問 3(1) は宿題とする.
解答
問 1.
1
(1 + cos 2t) より,f (t) = 50 + 50 cos 2t
2
第 1 項は直流成分ゆえ周波数 0 であり,周期には影響しない.第 2 項は基本周期 π .
(1) cos2 t =
したがって基本周期 T0 = π .
2π
T0 = 2π ∴ T0 = k .
k
T
T
(3) T = 2πl,
= 2πm,
= 2πm(l, m, n は整数)
2
3
したがって 2π, 4π, 6π の最小公倍数を考えて,T0 = 12π .
(2)
(4) T = 2πm1 , 2T = 2πm2 , . . . , kT = 2πmk , . . . (mk (k = 1, 2, . . . ) は整数)
2π
, . . . の最小公倍数を考えて,T0 = 2π .
したがって 2π, π, . . . ,
k
ただしここでは
( b1(̸= 0 とした.
)
(
))
1
t
t
3t
t
(5) f (t) = 2 ·
sin t +
+ sin t −
= sin + sin
2
2
2
2
2
2
したがって × 2π, 2 × 2π の最小公倍数を考えて,T0 = 4π .
3
(6) 正弦波の絶対値をとると負の部分が折り返されるため,周期は半分になる.
π
したがって 3T0 = π ∴ T0 = .
3
1
1
(7) f (t) = (sin (5ω0 t + ω0 t) + sin (5ω0 t − ω0 t)) = (sin 6ω0 + sin 4ω0 )
2
2
2π 2π
π
したがって
,
の最小公倍数を考えて,T0 =
.
6ω0 4ω0
ω0
1
(8) f (t) = (1 − cos 2t) したがって (1) 同様,T0 = π .
2
1
(9) f (t) = (3 sin t − sin 3t) (3 倍角の公式)
4
2π
したがって 2π,
の最小公倍数を考えて,T0 = 2π .
3
(10) tan t の基本周期は π である.したがって,f (t) = tan 2t の基本周期は T0 = π/2.
問 2.
(1) 下図.
1
0
1
1
t
-1
0
t
また,偶関数成分 fe (t) =
奇関数成分 fo (t) =

0.5t,
t≥0
1
(f (t) + f (−t)) =
−0.5t,
2
,
t<0
1
(f (t) − f (−t)) = 0.5t より下図.
2
0.5
0
-1
t
1
(2) 下図.
1
1
t
0
また,偶関数成分 fe (t) =
0

0.5e−t ,
t≥0
0.5et ,
t<0

0.5e−t ,
奇関数成分 fo (t) =
−0.5et ,
t>0
,
より下図.
t<0
0.5
0
t
-0.5
問 3.
(1) 偶関数成分 xe (t) = 1 + t2
奇関数成分 xo (t) = t + t3
(2) x(t) = cos t + sin t + sin 2t と変形できるので,
偶関数成分 xe (t) = cos t
奇関数成分 xo (t) = sin t + sin 2t
t
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