平成25年度後期中間試験問題E5信号処理No.1(2013.12.09 Mon. 1・2) No. Name
問1 図に示す .RLC.直列回
路を連続時間系とみなし、
u(t)
以下の設問に答えよ。
H(s).の極が( )数となることである。例え
R
L
C
y (t)
(1).入 力 を .u(t)、 出 力 を
y.(t).とするとき、伝達関数.H(s).を導出せよ。分母、分子と
もに.s.の次数順で多項式の形に整理すること。
ば、そのひとつが.a.+.jb.であったとき、.H(s).を部分分数に
展開した項を逆ラプラス変換すると、
1
<=> exp.( )
s−(a+jb)
= exp.( ).①・exp.( ).②
となり、②項に.sin,.cos.関数が含まれることに由来する。
(6)..h(t).が振動的である場合、減衰係数.ζ.はある範囲の値を
とる。その範囲を(3)の.G(s).と(5)の条件から導出せよ。
(2).R.=.1Ω.,.L.=.1H.,.C.=.1F.とするとき、すべての極と零点の
値を答えよ。(存在しない場合は「なし」)
(7).システムが安定であるためには、入力にたたみ込まれ
る.h(t).の面積が有界でなければならない。そのための条
件(極の.a.の範囲)を(5)より導出せよ。
(8).(7)より考えて、システムが安定となるためには、s.平
面において極がどこに位置すればよいか答えよ。
(3).このシステムは2次遅れ系である。ゲイン.K、固有角周
波数.ωn、減衰係数.ζ.として、その標準形を記せ。
G(s) =
問2 離散時間フーリエ変換.DTFT.について以下の設問に答
えよ。
(1).DTFT.はどのような性質(形式)の時間信号に適用される
変換か、2つの観点を答えよ。
① ②
(4).(2)の条件のとき、H(s).と.G(s).を比較して、各パラメー
タの値を答えよ。
(2).DTFT.のもとになるフーリエ変換.FT.の定義式を記せ。
K = ωn = ζ =
F.(ω) =
(5).以下の文章は2次遅れ系のインパルス応答.h(t).が振動的
になる条件について説明したものである。( )内に最適
な語句や記号を記入せよ。
(3).(2)の式を離散化したDTFT.の定義式を記せ。
2次遅れ系のインパルス応答が振動的になる条件は、
F.(Ω) =
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(4)..図に示す信号..f.(n).のDTFT.を求めよ。解答は三角関数
の形に変形・整理せよ。
(3).(2)の定義式において、一部分を位相回転因子.WN.とよ
ぶ。その式を記せ。
.
1
f (n)
n
−3 −2 −1
0
1
2
f (n) =
3
= −1, 0 , +1
{ 10 :: notherwise
WN =
(4).次に示す離散化余弦波信号 .(N .=.8.).の .DFT .を算出した
い。時間信号の値を表に記入せよ。
+1
0
f (n) 6
2
0
1
3
4
5
n
7
−1
n
(5).(4)の.F.(Ω).の振幅スペクトル.|F.(Ω)|.について、Ω.=.−2π
~.+2πの範囲における概形を描け。※縦軸の目盛りを記入
|F(Ω)|
Ω
−2π
−π
0
+π
(4) (5) Wのべき数番号
f (n)
F(1)
F(2)
0
W8(
) W(
8
)
1
W8(
) W(
8
)
2
W8(
) W(
8
)
3
W8(
) W(
8
)
4
W8(
) W(
8
)
5
W8(
) W(
8
)
6
W8(
) W(
8
)
7
W8(
) W(
8
)
(6) Wの具体値
F(1)
F(2)
+2π
(6).(4)の結果より、一般に.F.(Ω).にはどのような特徴(性質)
があるか、2つの観点を答えよ。
① ②
問3 離散フーリエ変換.DFT、および高速フーリエ変換.FFT.
に関する以下の設問に答えよ。
(1).DFT.と.DTFT.の違いは何か。変換前後の信号領域の観点
から説明せよ。
[時間領域]
(7) F(Ω)の具体値
(5).スペクトル.F(1).,.F(2)..の算出に際し、時間信号に乗じら
れる位相回転因子のべき数番号.(0,.1,.2,....).を表中の( )内
に記入せよ。
(6).(5)の位相回転因子の具体的な値を表中に記入せよ。
(7).F(1).,.F(2).の値を算出し、表中に記入せよ。
(8).DFT.を高速に行う .FFT.のしくみを130字以上で概説せ
よ。※適切なキーワードを用いて具体的に
22
[周波数領域(スペクトル)]
44
66
88
110
(2).(1)の内容を考慮して、時間信号..f.(n).に対するDFT.の定
義式を記せ。ただし、データ総数は.N.とする。
132
154
F.(k) =
176
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(2).簡単のため .R,.C.の値を全て .1とし(以下同)、(1)の微分
方程式を差分方程式に直せ。※データ間隔は.Δ.t..=.1.と考えよ
問4 z.変換に関する以下の設問に答えよ。
(1).DTFT.と.z.変換の関連を説明せよ。
(2).離散時間信号..f.(n).に対する.z.変換の定義式を記せ。
(3).このシステムの離散時間伝達関数.H(z).を求めよ。
F.(z) =
(3).初期値.1、公比.r.(|r|<1).の等比数列の和の公式を記せ。
1.+.r.+.r2.+.r3.+.r4.+.... =
.
(4).因果性離散単位ステップ関数..u.(n).=.1..(n.=.0,1,2,...).の.z.変
換.U.(z).を定義式に従って求めよ。※導出過程の説明を要す
(4).べき展開法により、このシステムの離散インパルス応
答.h(n)..(n.=.0,1,2,3).を求めよ。
(5).(3)の公式の要件を考えると、.U.(z).には.z.平面上に収束
範囲が存在する。理由を付して、その範囲を説明せよ。
h(0)
問5 図に示す .RC.-.1.次 .LPF.を離散時
i(t)
間システムとして解析する。以下の設
問に答えよ。
u(t)
h(1)
h(2)
h(3)
R
C
y(t)
(5).h(n).の一般式を導出せよ。※方法は何でもよい
(1).入力.u(t).と出力.y.(t).の関係を微分
方程式で示せ。ただし、C.の初期電荷はないとする。
(6).このシステムが安定であることを、理由を説明して示
せ。
配点 問1:(1)5,(2)(5)(6)4,(3)(7)(8)2,(4)3,計26点
問2:(1)~(3)(6)2,(4)(5)4,計16点 問3:(1)(6)(7)(8)4,
(2)~(4)(5)2,計24点 問4:(1)~(3)(5)2,(4)4,計12点
問5:(1)(3)4,(2)2,(4)6,(5)(6)3,計22点 総計100点
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問1 図に示す.RLC.直列回 路を連続時間系とみなし、 以下の設問に