せん
けい
泉恵女学園物語・その1
おはなしDEA(包絡分析法)
- 個性的な教育にはどんな評価法がいいか -
泉恵女学園
1
泉恵女学園
あ、先生、おはよー。
校長先生が探してたわよ。
なんか相談があるんだって。
森井夏穂
?
2
校長室
どうぞ
入ります
3
あなたね。
校長室
「経営工学は素晴らしい」
が口癖のコンピュータ講師の先生って。
はい
校長先生
わたし
4
泉恵女学園は、
1.最新の教育技術と、 学則第1章第1条
2.泉恵(線形)精神によって、
3.生徒の個性を伸ばす
校長室
ことを目的として設立された、
名誉と伝統ある高校です。
はあ
校長先生
わたし
5
ところが最近、建学の精神が忘れられています。嘆かわしいことです。
建学の精神を取り戻すため、職員会議をしたところ、
1.最新の教育技術 は
ところが、
最新のパソコンを買う ことで合意しました。
2.泉恵(線形)精神
と
校長室
3.生徒の個性を伸ばす
に関しては、何をどうすればいいのか、よくわからないのです。
それで?
校長先生
わたし
6
そこでお仕事です。
1.パソコンを利用
した、
2.泉恵(線形)精神
3.生徒の個性を伸ばす
を重んじる、
方法を
校長室
1時間以内に提案してください。
コンピュータはあるんだし、あとは
ご自慢の経営工学で楽勝 でしょ?
校長先生
ええーっ!
わたし
7
校長室
まっずー
先生、何だったの?
森井夏穂
8
…というわけなんだ…。
たいへんね。
森井夏穂
9
ところで手に持ってるの、何?
中間テストの結果表。
真ん中くらいかな。
すこし国語が悪いけど…。
でも国語はみんな悪かったんだし。
それに私、理系だから。
森井夏穂
国語
45点
数学
68点
総合点
校内平均点
偏差値
順位
113点
森井夏穂
111.4点
50.7
夏穂、おはよう。
7位 / 12人
綾崎若菜
10
綾崎さんは、テストどうだった?
わたしも「真ん中」だったわ。
もちろん数学はダメだけど。
でも私、文系だから。
綾崎若菜
国語
87点
数学
31点
総合点
校内平均点
偏差値
順位
綾崎若菜
118点
111.4点
今回の国語、激ムズだったのに、
綾崎さんトップだったのよ。
うらやましー。
52.9
6位 / 12人
森井夏穂
11
でも 本当は、全科目100点が良かった わ。
あったりまえじゃん。
みんなそう思ってる よ。
綾崎若菜
森井夏穂
だから期末は、苦手な数学を 頑張るつもり。
!
12
綾崎さんは、素晴らしい国語の才能の持ち主だ。
なのに総合点を上げるため、数学に力を注ごうとしている。
綾崎さんは、おそらく数学に向いていないのに。
これでは彼女の個性はつぶれかねない。
森井さんの言う通り、「総合点」という評価法は、
みんなが「オール100点」を目指す、なんか奇妙な評価法だ。
これが生徒の画一化につながるのでは?
夏穂、先生どうしちゃったの?
なんか考えこんでるけど。
綾崎若菜
校長の宿題、
解いてるんだと思う…
森井夏穂
13
生徒の個性を伸ばすには、
今の評価方法を変える必要がある。
おっと…そういえば、DEAの本に、
「個性を生かす評価法」なんてこと、書いてあったな。
あれって線形計画法のテクニックだったっけ…。
…解けた!
ブツブツ言い出したけど…。
先生、電波系だから。
綾崎若菜
森井夏穂
14
見つかりました!
早いわね。
消えちゃった。
思いついたんだわ!
うまくいくといいけど…。
綾崎若菜
森井夏穂
15
経営工学の素晴らしさを、今こそお教えしましょう。
生徒の評価に
校長室
DEA を使えばいいのです!
「DEA」って何?
校長先生
16
ほう らく
DEAとは、包絡分析法のことです。
1978年、テキサス大学のチャーンズとクーパー教授が開発した、
事業体を評価する方法です。
D ata (データを)
E nvelopment (包む)
A nalysys (分析法)
1978年
カラオケ大ブームが始まって、
王選手が800号を打って、
1992年・没
「いい日旅立ち」が流行った年ね。
人民寺院事件で914人が
Measuring the
Efficiency of
Decision Making Units
(意思決定主体の
効率性の測定について)
旅立っちゃったのも、この年よ。
ヨーロッパORジャーナル
校長先生
Charnes.A
W.W.Cooper
17
3年B組
3年A組
綾崎
国語
87点
数学
31点
沢渡
国語
80点
数学
40点
永倉
国語
5点
数学
93点
七瀬
国語
52点
数学
70点
星野
国語
65点
数学
85点
山本
国語
61点
数学
72点
安達
国語
52点
数学
19点
遠藤
国語
37点
数学
95点
杉原
国語
31点
数学
55点
保坂
国語
72点
数学
30点
松岡
国語
56点
数学
36点
森井
国語
45点
数学
68点
3年生2クラス、
12人の成績です。
さて、誰がいちばん
「賢い」でしょうか?
18
数学
100点
遠藤
星野
永倉
森井
七瀬
山本
杉原
とりあえず、
グラフにしました
沢渡
松岡
保坂
綾崎
安達
国語
0点
100点
19
数学
100点
永倉
遠藤
星野
森井
杉原
七瀬
「国語だけ」に注目するなら、
x軸に垂線を下ろします。
山本
この場合、
「綾崎」「沢渡」「保坂」…
の順で賢いのです。
沢渡
松岡
保坂
綾崎
安達
0点
国語
100点
20
数学
100点
遠藤
永倉
星野
山本
杉原
「数学だけ」に注目するなら、
y軸に垂線を下ろします。
七瀬
森井
この場合、
「遠藤」「永倉」「星野」…
の順で賢いのです。
沢渡
松岡
綾崎
保坂
安達
0点
国語
100点
21
数学
100点
遠藤
永倉
星野
七瀬
ではもっとも普通に、
「国語」と「数学」を
50%ずつミックスしたら?
山本
y=x (45度の線)に
垂線を下ろします。
森井
この場合、
「星野」「山本」「遠藤」…
の順で賢いのです。
杉原
沢渡
綾崎
松岡
保坂
安達
0点
国語
100点
22
数学
100点
星野
遠藤
星野さんは、国語でも数学でも、
トップではありません。
ですが、どちらもそこそこできたので、
トップになってしまいました。
これこそ、「個性的な」生徒よりも
「まんべんなく優秀な」生徒を育てると、
さいきん問題になっている評価方法です。
うまい解決方法はないのでしょうか?
綾崎
国語
0点
100点
23
傾斜配点をしたらどうでしょう? 「国語」80%、「数学」20%とミックスしたら?
結論からいうと、この評価方法はよくありません。
数学
「なぜ国語80%、数学20%なのか根拠がない」ですし、
100点
「国語80%、数学20%の割合でできる生徒を優遇する」のは、
「国語50%、数学50%の割合でできる生徒を優遇する」のと
どう違うのでしょうか?
星野
遠藤
永倉
七瀬
森井
山本
生徒を平均化する方法が、
ちょっと変わっただけではありませんか。
杉原
沢渡
松岡
保坂
綾崎
安達
0点
100点
24
数学
100点
永倉
ところでこの配点では、
「永倉」がいちばん損で、
「安達」がいちばん得なことに、
気づきましたか?
垂線が長いほど、
配点で損をするわけです。
安達
0点
国語
100点
25
数学
100点
垂線が長いほど、
配点で損をするのは
永倉
なぜか、ですか?
遠藤
星野
森井
杉原
たとえばさっき、「国語だけ」に
注目したとき、x軸に垂線を
下ろしました。
七瀬
この場合、垂線の長さ=
数学の得点となりますが、
数学はまったく
評価されていません。
山本
沢渡
垂線分の努力は
評価されなかったんです。
松岡
保坂
綾崎
安達
0点
国語
100点
26
数学
100点
ですから、垂線の総和を
いちばん短くするためには、
直線の傾きをどうすればいいか…
永倉
と考えるのが
いままでの統計学でした。
ところが 包絡分析法 では、
まったく別の考えかたをします!
安達
0点
国語
100点
27
いま自分は 松岡さん と思ってください。
あなたは、自分を通る線で評価してくれればいちばんうれしいはずです。
なんと、DEAでは「それでかまわない」のです。
どの人も、自分にいちばん有利な評価ラインを選んでいいのです。
数学
100点
あなた
0点
100点
28
数学
100点
ただし、あなたが他人を評価するときは、
自分を評価する方法と同じ方法で評価してください。
たとえばあなたは、
「私は安達さんより賢い」
とは言えても、
森井
松岡
「私は森井さんより賢い」
とは言えないはずです。
いちばん自分に有利な評価法でさえ、
勝てなかったわけですから。
国語
安達
0点
100点
29
つぎに、いよいよもっとも気になること…
つまりあなたは結局のところ、100点満点で何点なのか?
について説明します。
数学
100点
あなた
0点
100点
100点
30
まず「評価法しだいでトップになれる」人を列挙します。
この場合、「遠藤」「星野」「綾崎」の3人です。
数学
100点
遠藤
星野
彼女たち3人は、それぞれ
「私こそ一番」と思っています。
綾崎
0点
国語
100点
31
数学
100点
国語
37点
数学
95点
国語
65点
100点
数学
85点
100点
この3人は、みんな「100点」とします。
だって、他に彼らを上回るものがいないのですから。
おなじ「100点」でも、
内容はまったく違う ことに注意!
国語
87点
数学
31点
100点
国語
0点
100点
32
次に、この3人を線で結びます。そして、この色をつけた領域だけが、
「実際に成績をとることが可能」と考えてください。
数学
100点
遠藤
たとえば国語は、
綾崎さんの87点より
高い点は取れないと考えます。
星野
国語80点、数学60点
また国語80点、数学60点を
取ることも「不可能」なのです。
綾崎
すべての点はこの領域に
「包まれて」います。
だから包絡分析法です。
0
点
国語
100点
33
数学
遠藤
100点
100点
100点
色をつけた領域だけが、
「実際に成績をとることが可能」なのですから、
星野
100点
境界線上は、どこでも100点です。
綾崎
100点
0
点
国語
100点
34
さて、ふたたび「自分は松岡」と思ってください。
あなたが100点になる方法は、いろいろあります。
国語だけを伸ばしても、数学だけを伸ばしてもいいでしょう。
数学
100点
遠藤
星野
数
学
だ
け
を
伸
ば
す
松岡
0点
あなたはどちらかといえば文系です。
ですから国語を伸ばすほうが
ラクですし、個性を伸ばせます。
国語だけを伸ばす
綾崎
国語
100点
35
いちばん「効率よく」100点になる方法は?
数学
100点
遠藤
効率の定義にもよりますが…
星野
自分と原点を結ぶ線に沿って…
つまり、
いままでどおりの自分を
そのまま伸ばす、
というのも1つの方法です。
松岡
綾崎
0点
100点
難しく言うと、
あなたの2個の出力を、
それぞれk倍すればいいのです。
36
ここで面白いのは、あなたの「尊敬する人」がわかることです。
たとえばあなたが目指すのは「星野」と「綾崎」です。
「私が星野、王子様よ」
数学
順調にいけば、あなたは
やや綾崎寄りの、
「星野と綾崎の中間タイプ」
になれるでしょう。
遠藤
100点
星野
永倉
「星野ぉ? 綾崎ぃ? 誰だよ!」
松岡
「言ってしまったわね」
永倉にとっては、
「遠藤」が目標です。
綾崎
37
あとは簡単。原点とあなたを結ぶ線をmとし、
線mと境界線の交点を点pとしたときに、
原点と点pを結ぶ線をlとします。
数学
遠藤
100点
星野
(線m/線l)×100点が、あなたの得点です。
100点
点p
70.9点
松岡
70.9点
綾崎
線m
38
3年B組
3年A組
国語
52点
数学
19点
60.0点
国語
37点
数学
95点
100点
国語
31点
数学
55点
61.1点
国語
72点
数学
30点
84.5点
松
岡
国語
56点
数学
36点
70.9点
森
井
国語
45点
数学
68点
77.7点
綾
崎
国語
87点
数学
31点
100点
安
達
沢
渡
国語
80点
数学
40点
96.7点
遠
藤
永
倉
国語
5点
数学
93点
97.9点
杉
原
七
瀬
国語
52点
数学
70点
81.8点
保
坂
星
野
国語
65点
数学
85点
100点
山
本
国語
61点
数学
72点
90.7点
みんなのDEA得点は、上になります。
39
数国合計点の順位
DEA得点の順位
1位は私一人で良かったのに!
やっと追いついた!
優
もうけもの、ですわ
ラッキー! DEA大好き!
落ち着いてるって言われます
良
パンかじってる場合じゃないって?
少し上がって、少し幸せ
私って馬鹿だったの?
順位の比較です。
劣等生になっちゃった…
可
へっ! ロックがあるさ…
いつもブービー
現状維持!
40
数学
得した人
100点
遠藤
星野
永倉
森井
杉原
七瀬
山本
DEAで得をした人と、
損をした人には、
どのような特徴が
あるでしょうか?
損した人
沢渡
松岡
保坂
綾崎
得した人
安達
国語
0点
100点
41
数学
得した人
100点
遠藤
星野
永倉
七瀬
森井
概して、「y=x」の線から離れている
「変わり者」が得をしています。
山本
損した人
優等生より個性派を!
保坂
これがDEAの精神です。
綾崎
得した人
国語
0点
100点
42
結論です。DEAこそ、
1.パソコンを利用 した、
2.泉恵(線形)精神
を重んじる、
校長室
3.生徒の個性を伸ばす 方法です。
満点はひととおりとは限らない。
それぞれの人の「目標」は、それぞれに異なる。
みんながそれぞれ、いままでの自分を伸ばせばよい。
これって、とても魅力的な評価方法だと思いませんか。
わたし
校長先生
43
校長室
なんて経営工学って素敵 なの!
さっそく泉恵女学園では、
DEAを取り入れることにしましょう。
校長先生
わたし
44
校長室
先生、どうだった?
森井夏穂
軽いもんさ♪
お調子もの!
綾崎若菜
45
これで「泉恵女学園物語・その1」は終わりです。
楽しんでいただけたかしら?
それでは、さよーなら。
参考文献:
刀根薫(とね・かおる)「経営効率性の測定と改善」、
日科技連、1993.9.16、ISBN4-8171-5022-X。
46
せん
けい
泉恵女学園物語・その2
おはなしDEA(包絡分析法)
- なぜか分散分析により道-
先公、どこだよ!
今日はまだ見てないな。
そろそろ来ると思うけど…。
47
3年B組前・廊下
あ、先生、
松岡さんが探してたわよ。
なんか すごく怒ってた みたい。
森井夏穂
あの不良ロッカーか…。
いたな先公!
松岡千恵
48
挨拶だな! 何の用だ。
アンタが導入したDEAって奴に、
納得いかねぇぇぇんだよ!
先生、率直に言うと、
松岡千恵
私も納得できないの。
森井夏穂
49
DEAの何が不満なんだ。
アンタ校長に、こう言ったらしいな。
数学
100点
遠藤
星野
松岡千恵
松岡さんの「目指す人」は
「星野」と「綾崎」です。
松岡
綾崎
国語
50
「目指す人」が「星野」と「綾崎」で、
どこがいけないんだ?
どっちもA組じゃねぇか!
オレはA組のヤツら、大嫌いなんだよ!
数学
遠藤
松岡千恵
私も同感!
遠藤さんはいいとして、
星野さんは、
星野
A組じゃない!
森井
3年A組
3年B組
綾崎
森井夏穂
松岡
国語
51
なんでA組を嫌うの?
B組をバカにするからだよ!
ことに 星野さん がね…。
そりゃたしかに
B組はA組より成績わるいけど…。
松岡千恵
森井夏穂
先生、B組の連中に、
DEAの良さなんてわかりっこないわ。
だってホントにバカなんだから!
星野明日香
52
B組は頭が悪いだって? なにを根拠に…。
だって平均点が、12.7点も違うもん!
ぶっ殺すぞ!
綾崎
沢渡
松岡千恵
永倉
平均点
59.0点
安達
先生、なにか
言ってやって!
遠藤
66.0点
平均点
杉原
平均点
49.0点
61.0点
保坂
75.0点
66.5点
43.0点
平均点
51.0点
平均点
松岡
平均点
山本
35.5点
64.0点
平均点
星野
平均点
平均点
平均点
平均点
七瀬
星野明日香
3年B組
3年A組
46.0点
平均点
森井
56.5点
森井夏穂
A組平均
62.4点
B組平均
49.7点
53
よし、星野くん。
君の言うことが正しいかどうか、
分散分析で検証してやろう。
頼むぜ先公!
綾崎
沢渡
松岡千恵
永倉
経営工学の
お出ましね!
3年B組
3年A組
平均点
59.0点
安達
64.0点
遠藤
66.0点
平均点
杉原
平均点
49.0点
61.0点
75.0点
保坂
66.5点
平均点
51.0点
46.0点
平均点
森井
56.5点
森井夏穂
A組平均
62.4点
やばめ?
平均点
松岡
平均点
山本
43.0点
ちょっち、
平均点
星野
35.5点
平均点
平均点
平均点
七瀬
平均点
B組平均
49.7点
星野明日香
54
基本的な発想はこうだ…。
もし君が、「ある生徒に生まれかわれ」と言われたら、
「あっ、平均56点は取れるな」、と思うだろう。
3年B組
3年A組
綾崎
沢渡
永倉
平均点
59.0点
安達
64.0点
遠藤
66.0点
平均点
杉原
平均点
49.0点
61.0点
保坂
平均点
星野
75.0点
全平均
56.0点
A組平均
66.5点
62.4点
43.0点
平均点
51.0点
平均点
松岡
平均点
山本
35.5点
平均点
平均点
平均点
七瀬
平均点
46.0点
平均点
森井
B組平均
56.5点
49.7点
55
「君のクラスはA組だ」と言われたら、
「ラッキー、6.4点、得したぜ」と思うだろう。
3年A組
綾崎
沢渡
平均点
59.0点
平均点
64.0点
3年B組
3年B組
平均点
安達
35.5点
遠藤
66.0点
平均点
平均点
杉原
平均点
永倉
平均点
保坂
51.0点
松岡
46.0点
森井
56.5点
49.0点
平均点
七瀬
43.0点
平均点
平均点
61.0点
B組平均
49.7点
平均点
星野
75.0点
平均点
山本
A組平均
66.5点
62.4点
全平均
56.0点
6.4点
56
「君は星野さんに生まれ変わった」と言われたら、
「やった、さらに12.6点、得したぜ」と思うだろう。
3年A組
綾崎
沢渡
平均点
59.0点
その結果、75点に
なったわけだね。
平均点
64.0点
平均点
永倉
49.0点
平均点
七瀬
61.0点
平均点
星野
星野明日香
75.0点
平均点
山本
66.5点
平均点
75.0点
A組平均
62.4点
12.6点
57
つまりある人の成績は、
「3つの『有利さ』に分割できる」
星野の「有利」さ
12.6点
A組の「有利」さ 6.4点
A組
星野の得点
75.0点
人間である「有利」さ
56.0点
58
星野の「有利」さ
12.6点
A組の「有利」さ 6.4点
A組
さて、 「君のクラスはA組だ」 、と知ると
「ラッキー」と思うのは、なぜだろう?
星野の得点
75.0点
人間である「有利」さ
56.0点
もちろん、「平均よりさらに 6.4点 アップする」と思うからだ。
この「ラッキー感」は、6.4という値が大きくなれば、さらに増すだろう。
しかし「個人の有利さ」がけっこうバラついたら?
たとえば
「ガッテム、○○に生まれて
「イェーイ、 ××に生まれて
48
67
点、損したぜ」、とか、
点、得したぜ」、とか、
「個人の有利さ」が、「クラスの有利さ」にくらべて非常に大きかったら?
たまたま「いいクラスに当たった」うれしさは、かなり薄らぐのではないだろうか?
「いいクラス」に当たったって、「わるいクラス」に当たったって、
そんな差より「クラスの誰に当たるか」の差のほうがはるかに大きいなら、
「どんなクラスでも大差ない」と思うだろうから。
59
星野の「有利」さ
12.6点
A組の「有利」さ 6.4点
D
C
つまりD(個人)のバラつきが、
C(クラス)のバラつきよりはるかに大きければ、
A組にあたったときの「ラッキー感」は薄らぐ。
逆にクラスのバラつきが、
個人のバラつきよりはるかに大きければ、
「クラスの当たりはずれ」に
一喜一憂するだろう。
人間である「有利」さ
56.0点
「クラスによる当たりはずれ」に
一喜一憂する、ということは、
「クラスによって、成績は非常に異なる」と
認めたことになる。
つまり「クラスの間には成績差がある」と
認めたことになるんだ。
60
Cのバラツキの大きさと、
Dのバラつきの大きさを比較するには、
Cのバラツキを、
Dのバラツキで割ればいい。
星野の「有利」さ
12.6点
A組の「有利」さ 6.4点
F
Vc
Vd
D
C
これは難しい言葉で、
「Cの不偏分散 Vcを、
Dの不偏分散 Vdで割る」という。
そして割ったものを F値 という。
その F値 がすごく大きければ、
「クラスの有利さに
一喜一憂したほうがいい」
という結論になるんだ。
Cの不偏分散
Dの不偏分散
61
星野の「有利」さ
12.6点
A組の「有利」さ 6.4点
A
D
C
星野の得点
75.0点
人間である「有利」さ
56.0点
B
不偏分散の説明は後にしよう。
ところで…なぜ記号CとDを使ったのかって?
実はA,Bは次だったのだよ。
62
つまり実験の元データ、行列Aを、
全平均の行列Bと、
クラスのバラツキ行列Cと、
個人のバラツキ行列Dに
分割するんだ。
表B
表A
平均点
No.1
No.2
No.3
No.4
No.5
No.6
A組
59
64
49
61
75
66.5
全平均
B組
35.5
66
43
51
46
56.5
A
56.0
56.0
56.0
56.0
56.0
56.0
1
2
3
4
5
6
B
56.0
56.0
56.0
56.0
56.0
56.0
人間であることの有利さ
+
星野の「有利」さ
12.6点
A組の「有利」さ 6.4点
D
C
表C
クラスの差
1
2
3
4
5
6
A
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
B
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
クラスの有利さ
A
+
星野の得点
75.0点
人間である「有利」さ
56.0点
B
表D
平均
1
2
3
4
5
6
A
-3.4
1.6
-13.4
-1.4
12.6
4.1
B
-14.2
16.3
-6.7
1.3
-3.7
6.8
個人の有利さ
63
表D
表C
クラスの差
1
2
3
4
5
6
A
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
B
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
平均
1
2
3
4
5
6
A
-3.4
1.6
-13.4
-1.4
12.6
4.1
B
-14.2
16.3
-6.7
1.3
-3.7
6.8
さて、表Cと表D から、F値というものを求める。
F値とは、Vc / Vdのことだ。
Vcとは、表Cの不偏分散のことだ。Vdとは、表Dの不偏分散のことだ。
不偏分散は、データの値をxi,その平均をh、
そのデータの自由度をφとしたとき、
Σ(xi-h)2
φ
で計算する。
なんのことかわからなければ次ページへ…。
64
表C
クラスの差
1
2
3
4
5
6
A
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
B
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
いま表Cの平均 h は 0 だ。
(そうなるように計算して表Cにしたのだから)
表Cの2乗
2乗
1
2
3
4
5
6
まずVcから求めよう。
A
40.6
40.6
40.6
40.6
40.6
40.6
B
40.6
40.6
40.6
40.6
40.6
40.6
ゆえに Σ(xi-h)2 は、Σxi2 を計算すればいい。
計算すると Σxi2= 487.7 となる。
総和は
487.7
65
表C
クラスの差
1
2
3
4
5
6
A
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
この総和を表Cの自由度φdで割る。
ところで表Cの自由度とは何だろうか?
B
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
表Cには、クラスの数をk個 (=2) とすると、
k個の異なる数値がある。
しかし自由に変えられる値は k-1 個だけだ。
(合計が0になる必要があるから)
ゆえに自由度は k-1 = 2-1 = 1。
よって Vc= 487.7 / 1 = 487.7 となる。
Vd
487.7
φdc
487.7
1
487.7
66
表D
個人の差
1
2
3
4
5
6
A
-3.4
1.6
-13.4
-1.4
12.6
4.1
B
-14.2
16.3
-6.7
1.3
-3.7
6.8
次にVdを求めよう。
いま表Dの平均hも0だ。
(そうなるように計算して表Dにしたのだから)
表Dの2乗
平均
1
2
3
4
5
6
A
11.7
2.5
180.0
2.0
158.3
16.7
B
200.7
266.8
44.4
1.8
13.4
46.7
ゆえにΣ(xi-h)2は、Σxi2 を計算すれば良い。
計算すると Σxi2=945.0 となる。
総和は
945.0
67
表D
個人の差
1
2
3
4
5
6
A
-3.4
1.6
-13.4
-1.4
12.6
4.1
B
-14.2
16.3
-6.7
1.3
-3.7
6.8
これを表Dの自由度φeで割る。
ところで表Dの自由度とは何だろう?
表Dには、n×k個の異なる数値がある。
しかし自由に変えられる値は10個だけだ。
(列ごとに、合計=0になる必要があるから)
ゆえに自由度は k(n-1) = 2×(6-1)=10となる。
よって Ve= 945.0 / 10 = 94.5 となる。
Ve
945.0
φe
945.0
10
94.5
68
いよいよF値。これはVd / Veのことだったね。
計算すると 5.16 となる。
F
Vd
Ve
487.7
94.5
5.16
69
さてこのF値=Vdc/ Vdは、
Vcの自由度が1、
Vdの自由度が10だった。
F
Vc
Vd
F
φd
1
φe
10
1
10
ゆえに左のように表記される。
70
F
1
の5%上側確率を調べるために、F分布表をゲットしよう。
10
(たいていの統計の本なら、付録についているはずだ)。
分子Vcの自由度が1、分母Vdの自由度が10なので…。
答えは4.96となる。
F分布表 (上側確率0.05)
φ1
1
2
3
・・・
・・・
・・・
・・・
9
5.12
4.26
3.86
10
4.96
4.10
3.71
11
4.84
3.98
3.59
・・・
・・・
・・・
・・・
φ2
71
上側確率というのは、分子Vdの分散が、分母Veの分散より
p倍以上、大きくなる確率のことだ。
たとえば F110 (0.05) = 4.96、 F110 (0.01) = 10.04。
ゆえに、F値が偶然に 4.96倍 以上になる確率は5%以下。
また、F値が偶然に 10.04倍 以上になる確率は1%以下なんだ。
自由度(1,10)のF分布
上側累積確率のグラフ
ここより先
5%以下!
4.94
上側確率0.05
ここより先
1%以下!
10.04
上側確率0.01
72
さて、F値と F110 の大小を比較する。
もしF値のほうが大きかったら…
偶然にVcの分散がVdの分散の
4.94倍以上になる確率は5%以下だった。
5.16
F
F
1
10
だから偶然に5.16倍になる確率は5%より小さい。
そんな偶然がたまたま起こったと考えるより、
もともとVcの分散は、Vdの分散にくらべて大きかったと
考える方が自然だろう。
4.94
自由度(1,10)のF分布
ここより先
5%以下!
5.16 F値
4.94
上側確率0.05
上側確率0.01
73
結論!
表A(元データ)
平均点
No.1
No.2
No.3
No.4
No.5
No.6
A組
59
64
49
61
75
66.5
B組
35.5
66
43
51
46
56.5
仮に表Aの12個の値が、
正規確率分布に従ってランダムに
作成されたと仮定するならば、
表Cの不偏分散Vcは、
表D の不偏分散Vdにくらべ、不自然に大きい!
表C (クラスの有利さ)
クラスの差
1
2
3
4
5
6
A
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
6.4
B
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
-6.4
表D (個人の有利さ)
個人の差
1
2
3
4
5
6
A
-3.4
1.6
-13.4
-1.4
12.6
4.1
B
-14.2
16.3
-6.7
1.3
-3.7
6.8
ゆえに表Aはランダムに作成されたのではない。
言いかえれば、表Aを12行×1列ではなく、
クラスA,Bと分け、6行×2列にしたことには
ちゃんとした意味があった。
つまりクラスA,B間に差はある。
74
だから「B組は成績が悪い」という
星野君の意見は、統計的には正しい。
ね? 言ったとおりでしょ?
先公、これが
経営工学かよ!
松岡千恵
見損なったわ!
平均点
綾崎
59.0点
沢渡
永倉
49.0点
七瀬
61.0点
星野
75.0点
山本
66.5点
35.5点
64.0点
遠藤
66.0点
平均点
杉原
平均点
平均点
平均点
62.4点
平均点
43.0点
平均点
保坂
51.0点
松岡
46.0点
森井
56.5点
平均点
A組平均
平均点
安達
平均点
森井夏穂
星野明日香
3年B組
3年B組
3年A組
3年A組
平均点
平均点
B組平均
49.7点
75
なんか騒がしいわね。どうかしたの?
オレ達B組は、頭が悪いんだってよ!
松岡千恵
杉原真奈美
私が言ったんじゃない!
ただ分散分析の結果が、だね…。
最低!
森井夏穂
さよならー。
星野明日香
76
あ、先生、課外だし…。
新任だから知らないんだ。あのこと。
そりゃオレ達はバカだけどよ、
一所懸命やってんだよ!
松岡千恵
何にもしてない
A組の味方をするなんて!
みんな、
ちょっと待って。
杉原真奈美
森井夏穂
先生、こっちこっち。
すまん…
77
松岡千恵
森井夏穂
ひとまずここで
「泉恵女学園物語・その2」は終わりです。
みんな、落ち着いて、落ち着いて。
先生、すぐに説明してあげるから!
杉原真奈美
しょんぼり
参考文献:
大村 平「実験計画と分散分析のはなし」、
日科技連、1984.3.6、ISBN4-8171-2210-2。
78
せん
けい
泉恵女学園物語・その3
おはなしDEA(包絡分析法)
- ハンデ付きDEA-
まあ、まあ…
しょんぼり…
79
大変だったでしょ。
先生、新任だから
知らないのも無理はないわ。
あとでみんなには、うまく言っておくから…。
杉原真奈美
なんだかすごく、
くやしい…。
80
たしかにB組はA組より成績が悪い んです。
ついでに言えば出席率も低いんです。
でもそれには理由があるんです。
B組は、いわば「特殊クラス」なんです。
杉原真奈美
病弱
家業大変
保坂
杉原
胃潰瘍
喘息
スポーツ
芸術活動
安達
酒屋・弟の面倒
森井
遠藤
陸上選手
バイオリン
松岡
ロックシンガー
そうだったのか…
81
だからB組のみんなは、A組の人を
目指せっていわれても、ピンと来ないんです。
杉原真奈美
数学
遠藤
おっ、
星野
いいこというねぇ。
森井
3年A組
松岡千恵
3年B組
綾崎
そのとーり!
松岡
国語
森井夏穂
そうか…
82
たしかにDEAは面白い評価法だと思います。
でも、いま言った事情も考えていただけますか?
杉原真奈美
どうだ、グゥの音も出ねぇだろ。
松岡千恵
さ、先生、
ご自慢の経営工学は?
森井夏穂
…
83
なんか先生、変よ…。
杉原真奈美
元からだろ。
松岡千恵
あっ、しまった、
「経営工学」は
禁句だったのに。
森井夏穂
ふふふ…
84
よぉーし、わかった。
まかせておけぃ!
あちゃー。私、
またドジっちゃった。
気をつけてたのに。
森井夏穂
よけーなこと
言いやがって!
夏穂、みんなに
アイスおごってね!
松岡千恵
杉原真奈美
85
クラス間にハンデがあるときのDEAを説明しよう。
まず、B組だけのグラフを描こう。
数学
100点
遠藤
3年B組
3年B組
安達
国語
52点
数学
19点
遠藤
国語
37点
数学
95点
杉原
国語
31点
数学
55点
保坂
国語
72点
数学
30点
松岡
国語
56点
数学
36点
森井
国語
45点
数学
68点
杉原
森井
松岡
保坂
0点
国語
安達
100点
86
100点
数学
遠藤
100点
そしてB組だけで
DEAを行うんだ。
92.6点
68.8点
すると点数は
次のようになる。
森井
杉原
100点
85.5点
保坂
松岡
72.2点
0点
安達
国語
100点
87
こんどは「目指す人」は、
B組だけになる。
数学
遠藤
100点
松岡さんも森井さんも、
これで文句ないだろ?
2人とも、同じB組の
遠藤さんと保坂さんを
目標にすればいい!
森井
保坂
松岡
国語
0点
100点
88
「目指す人」のことを、DEAでは「優位集合」という。
たとえば「杉原」「森井」「松岡」にとって優位集合は「遠藤・保坂」だ。
数学
遠藤
100点
「安達」には、
「保坂」が優位集合になる。
杉原
松岡
0点
ちなみに「遠藤」と「保坂」の
優位集合は、自分自身だ。
自分自身がライバルってやつだね。
森井
安達
保坂
国語
100点
89
もう後はわかったぜ。
A組はA組だけでDEAをやればいーんだろ?
そこが畜生のあさましさ…。
畜生はてめーだろうが!
ボケたつもりか? それとも真性のボケか?
ボケの松岡に突っ込まれるようじゃ、
私はさしづめ「大ボケ」かな…。
松岡千恵
なにおぅ!
なんだかんだいって
仲いいじゃん。
森井夏穂
ハイレベルな技術を使った、
低レベルの争いね。
杉原真奈美
90
A組のDEAには、
A組、B組のデータを どちらも 使う。
数学
100点
永倉
遠藤
B組はハンデ付きなんだろ?
それなのにA組と互角なら、
星野
A組のDEAにも入れるべきだ。
七瀬
山本
杉原
森井
この場合、「遠藤」がそのケースだ。
沢渡
松岡
綾崎
保坂
0点
国語
安達
100点
91
100点
A組のDEA得点を計算しよう。
100点
A組に関しては、DEA得点は、
さっきとまったく同じになる。
数学
遠藤
100点
星野
永倉
97.9点
七瀬
81.8点
山本
90.7点
100点
沢渡
96.7点
綾崎
国語
0点
100点
92
たとえば永倉の
優位集合は「遠藤」。
数学
遠藤
七瀬の優位集合は
100点
「遠藤 & 星野」。
星野
どっちにもB組の
「遠藤」が入っている。
永倉
これがハンデ付きDEAだ。
七瀬
綾崎
国語
0点
100点
93
2年B組
2年A組
綾
崎
100点
100点
安
達
60点
72.2点
沢
渡
96.7点
96.7点
遠
藤
100点
100点
永
倉
97.9点
97.9点
杉
原
61.1点
68.8点
七
瀬
81.8点
81.8点
保
坂
84.5点
100点
星
野
100点
100点
松
岡
70.9点
85.5点
山
本
90.7点
90.7点
森
井
77.7点
92.6点
「ハンデ付きDEA」で、
みんなのDEA得点はこう変わる。
94
「ハンデ付きDEA」で得した5人には、
どんな共通点があるだろうか?
数学
100点
杉原
森井
松岡
0点
安達
保坂
国語
100点
95
ハンデDEAの
優位集合
DEAの
優位集合
星野
遠藤
森井
ハンデ付きDEAで
得した5人は、
杉原
遠藤
星野
綾崎
保坂
松岡
優位集合が
変化した んだ。
保坂
保坂
綾崎
安達
得した5人
96
ハンデDEAの
優位集合
DEAの
優位集合
遠藤
星野
森井
杉原
数学
遠藤
遠藤
綾崎
星野
保坂
松岡
100点
保坂
星野
保坂
綾崎
安達
得した5人
杉原
こちらの図のほうが、
わかりやすいかな?
森井
松岡
保坂
綾崎
国語
安達
0点
100点
97
DEA
ハンデDEA
順位の変動だ。
だんだん100点が増えるわね。
ハンデなんて、私には不要よ!
優
保坂さん、100点クラブにようこそ!
努力してて良かった…。
あれれ…
保坂さんのせいで落ちちゃった
良
やった、普通クラスに復活!
総合で2位の私がなぜ?
七瀬、勉強教えてやろうか?
結構よ!
可
ビリから脱出!
やぶへび…
98
クラス間にレベルがあるときは、
あるクラスのDEAは、
よりレベルの低いクラスを含んで
DEAをすること。これがポイントだ。
それでは最後に一言。
まーた?
耳タコだぜ。
森井夏穂
松岡千恵
さあ、みなさん
ごいっしょに!
杉原真奈美
99
経営工学は素晴らしい!
かえろーぜ。
松岡千恵
あ、アイス
食べにいきましょ。
杉原真奈美
駅前の
サーティワンでいい?
森井夏穂
100
これで
「泉恵女学園物語・その3」は終わりです。
DEAって、いろんな使い方があるんですね。
もっといろんなテクニックがあるのかな…。
杉原真奈美
そういや、
理系文系の進路変更届、
そろそろ提出だよ。
森井夏穂
どっちにしよーかなー。
ま、どっちでもいーや。
参考文献:
刀根薫(とね・かおる)「経営効率性の測定と改善」、
日科技連、1993.9.16、ISBN4-8171-5022-X。
松岡千恵
101
せん
けい
泉恵女学園物語・その4
おはなしDEA(包絡分析法)
- 文系・理系はどう分ける-
あ、先公、おせーぞ!
理系って大変かな?
相談しようかしら…。
102
よお先公、DEAのことで
話があんだけどよ。
なんだ。
この前の数学のテスト、
松岡 千恵
問5 は文系が習ってねえ
範囲からの出題だったんだよ。
配点が30点もあったんだぜ!
そりゃ災難だったね。
103
だからよ、その分、文系には甘くしてくんねぇかな。
そんなテストを元にしたDEAなんて、
やっぱ信用できねぇだろ。
松岡 千恵
うーん…
先生、A組の七瀬です。
いま、よろしいですか?
次は私…。
七瀬 優
保坂 美由紀
104
オレのほうはもう終わったぜ。
言いたいこと言ったから。
松岡 千恵
松岡さんありがとう。
あの先生、私、理転しても大丈夫でしょうか?
数学でわたし、70点をとったんです。
今回のテストって、問5は文系には無理ですよね。
だから私のテスト、事実上、満点と同じじゃないですか。
国語は決してよくないし…。
私も「文転したほうがいいかも」って、
悩んでるんですが…。
国語
52点
数学
70点
七瀬 優
進路変更届け、明日までなんです。
保坂 美由紀
国語
72点
数学
30点
105
よしわかった。
君たち3人の相談を、
DEAの1つのテクニックで
ぜんぶ解決してやろう!
本当ですか…。
保坂 美由紀
お手並み
拝見します。
七瀬 優
このDEAオタクが!
松岡 千恵
106
数学
遠藤
100点
星野
まず全員を
理系・文系に分けて
グラフにしよう。
永倉
森井
山本
が文系、
が理系だよ。
七瀬
杉原
沢渡
松岡
綾崎
保坂
安達
0
点
国語
100点
107
数学
100点
七瀬
次に文系だけで
DEAの領域を描こう。
沢渡
綾崎
0
点
国語
100点
108
数学
100点
遠藤
星野
同様に、理系だけで
DEAの領域を描く。
保坂
0
点
国語
100点
109
2つの領域を総合し、
DEAを行えばいい。
数学
100点
遠藤
これだけ。
びっくりしたかい?
星野
沢渡
まだよく
わかんねえよ!
?
?
綾崎
保坂
0
点
松岡
七瀬
国語
100点
110
数学
100点
まず松岡さんの要望に答えよう。
70.9点
この領域でDEAをすると…。
すこしDEA得点が上がったろ?
「点をとることができる」領域が
減ったからなんだ。
松岡
国語
0
点
100点
やったぜ! もうけた!
数学
100点
先公は絞れば絞るほど
油が出るな!
76.4点
松岡
0
点
松岡 千恵
国語
100点
111
つまり2つの異なるシステムがあり、その中間がない場合、
いいかえれば、システムXから一気に、
システムYにジャンプするしか選択肢がない場合、
そしてジャンプすると、成績が大きく変わってしまう場合は、…
ふたつのグループに分けてDEAをすべきだ。
企業で言えば、ある大きな機械を
導入するかどうか、ってとこかな
この調子で先公を
締め上げ続ければ、
そのうちトップだぜ!
あのー、わたしたちの件
は?
松岡
保坂
七瀬
112
数学
100点
理系の領域
次に七瀬さんと、
保坂さんの質問に答える。
原点から、
2つの領域の交点に直線を引く。
七瀬
文系・理系の
共通領域
保坂
0
点
文
系
の
領
域
国語
100点
113
数学
100点
そして、その線を境にして
文系と理系に分ける。
理系の領域
たとえばこの場合、
七瀬
七瀬さんは理転したほうがいいし、
保坂さんは文転したほうがいい。
保坂
文系の領域
0
点
国語
100点
114
全員を見ると…。
DEAによれば、
数学
100点
理転したほうがいいのは
「七瀬さん」と「杉原さん」。
文転したほうがいいのは
「保坂さん」だ。
理系の領域
七瀬
杉原
保坂
文系の領域
0
点
国語
100点
115
理系
なぜこの3人は
理転・文転したほうがいいかって?
数学
遠藤
100点
星野
たとえば 杉原さん の
「目指すべき100点ライン」は、
理系の2人(遠藤・星野)が
描いたラインだからさ!
理系の領域
杉原
七瀬
これは、杉原さん の能力を
素直に伸ばせば、
理系になるってことだろ?
保坂
文系の領域
0
点
国語
100点
116
理系
同じことが
七瀬さん、保坂さん
数学
にも言える。
遠藤
100点
星野
理系の領域
だからこの3人は、
進路を変更したほうが
いいかも、と
アドバイスできるわけだ。
文系
杉原
七瀬
沢渡
綾崎
文系の領域
0
点
保坂
国語
100点
117
国語が良い
国語が悪い
綾崎
綾崎
沢渡
沢渡
保坂
保坂
星野
星野
山本
山本
松岡
松岡
七瀬
七瀬
安達
安達
森井
森井
遠藤
遠藤
杉原
杉原
永倉
永倉
国語のベスト3を
理系のトップから
文系の3位へ。
文系が独占!
仮にこの3人がアドバイスどおり、
進路を変更したとしよう。
そのとき「国語」を見れば、
順位は次のように変わる。
文系の4位から
理系の3位へ。
文系の6位から
理系の6位へ。
国語のワースト4を
理系が独占!
118
数学が良い
遠藤
遠藤
永倉
永倉
数学のベスト7を
星野
星野
山本
山本
七瀬
七瀬
理系が独占!
文系のトップから
理系の5位へ。
同じく「数学」を見れば、
順位は次になる。
数学が悪い
森井
森井
杉原
杉原
沢渡
沢渡
松岡
松岡
綾崎
綾崎
保坂
保坂
安達
安達
文系の2位から
理系の7位へ。
数学のワースト5を
理系の6位から
文系の4位へ。
文系が独占!
119
つまりこのラインで再び振り分けると、
今まで以上に
文系・理系の間がはっきりする。
理系にとっては理系が目標、
文系にとっては文系が目標になり、
それ以外になることは決してない。
理系の領域
七瀬
良くも悪くもDEAは、差を拡大する。
そんな気がしてならないんだ…。
杉原
保坂
文系の領域
120
最後に一言…はやめておこう。
シャウトとともにチェーンが飛んできたら、
かなわないからね。
それでは、さようなら。
やっと理解しやがったな。
しつけるまで大変だったぜ。
先生、どうもありがとう
ございました。
松岡 千恵
DEAって楽しいですね!
七瀬 優
保坂 美由紀
121
これで「泉恵女学園物語・その4」は終わりです。
ありがとうございました。
ええと、その後のことを言っておきますね…。
私は理転、保坂さんは文転することになりました。
杉原さんにもDEAの結果を伝えたのですが、
彼女は「私は文系がいい」ってことでした。
杉原
理系は大変だけど、数学はとっても面白いし、
そんなこんなで、けっこう楽しくやってます。
七瀬 優
「経営工学は素晴らしい!」は、クラスの間で
はやりのギャグになってるんですよ。(松岡さんがいちばん言ってます)
私ももしかしたら、経営工学科に進むかもしれません。
それでは、またいつか会いましょう。
私、文転するわ。
よろしくね!
こんどのテスト、
カンニングさせてくれよな。
参考文献:
刀根薫(とね・かおる)「経営効率性の測定と改善」、
日科技連、1993.9.16、ISBN4-8171-5022-X。
保坂 美由紀
松岡 千恵
122
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100点