Ptolemy’s Theorem
Coffee Break NO.1
F.P.C.
2014/09/19(FRI),International Talk Like a Pirate Day
心穏やかならぬ時, あるいは不快なる時は, 以下の呪文を唱えるべし.
「ツイテルツイテル」
この呪文を 10 度繰り返して発声すべし.
以上は心穏やかにする法の内の一つなり.
—— シショによる福音書
第 103 章
Ahoy, matey!
この Ca f f ee Break で何をどうしようと思った訳でもありませんが, 少し目線を上げて再確認して頂ければ
分かるように, この先に待つのは Chaotic な空間になると思いきや否や...
こんな日本語にもなってない文章を書いていますが, 何度も何度も言ってるように, 自己満足です. 『そしら
ば誹れ, わんざくれ』の精神でね.
では...
Looks like 本題の道草を食らいましょう. どうにも話題が見つからなかったので, トレミーの定理の特殊な場
合や拡張した定理について綴っていこうと思います.
え? Co f f ee Breake になってないって? そんなことはない!!
... 多分...
しかしですねぇ... しかし, しかしですよ...
この僕に数学以外のことを何かせよ, と仰るのは非情ですよ, 実際.
“為せば成る”とな?
んなばかな!!
1
Pythagorean theorem(三平方の定理)
言わずと知れた, ピタゴラスの定理.
この定理をここで詳細にグダグダと語るのはもはや愚の骨頂であると存ずる所存でございますので, 図だけ
載せておきます.
うむ. 推して知るべし. これでよかろう.
Euler’s theorem(オイラーの定理)
さて, リズムの良い文句が出来たところで,——まぁそんなことはまるで関係はありませんが(本当に?)——
オイラーの定理という得体の知れないものが出てきたわけですが, まずは図を.
つまりですね, なにが言いたいのかというと.
一直線上に四点 A, B, C, D がこの順に並んでいるならば,
AC × BD = AB × CD + BC × DA
が成り立ってしまう.
ということです.(うん, やっぱりな.)
【証明 of オイラーの定理】
図を見れば明らかなように, 数直線上に点 A, B, C, D をとり, それぞれ a, b, c, d とする.
もちろん, AB = b − a, BC = c − b, CD = d − c, DA = a − d, AC = c − a, BD = d − b である.
2
よって,
AC × BD = −bc − ad + cd + ab
= bd − bc − ad + ac + cd − ca − bd + ab
= (b − a)(d − c) + (c − b)(d − a)
= AB × CD + BC × DA
(1)
【Q.E.D. of オイラーの定理】
これは PROOF NO.5 で使ったんですが, 誰か気づいたかなぁ.
この関係は実は, 無限遠点を中心とする円周上に点 A, B, C, D があると考えれば, はっきり納得できるもの
です. そうでしょ?
【正弦の加法定理】
そして,BD は円の直径である. 便宜上円の直径を 1 とする. さすれば即座に導かれるこの関係.
AC × BD = sin(α + β)
= AB × CD + BC × DA
= cos α sin β + cos β sin α
(2)
うむ, こんな感じである.
3
何故に. 何故に何故に何故に何故に何故にっ!!
時間があぁ...
言い訳でも弁解でもない.
この事実に目を背けてはならない.
だがいささか見るに堪えない.
To be continued
4
ダウンロード

CB 1