剛体 rigid body
広がりを持つ世界へ ここまでは質量ははあっても形や大きさのない質点を中心にその運動を考えて来た。
しかし、現実にはそうしたものは存在しない。全て質量ある物質には大きさがある。
そこで 1 歩現実の世界に踏み込みここでは大きさや形のある物体を取り扱う。
ただし、簡単のために空気や水などの はのぞき、どんな力を加えても変形しな
流体
剛体
い理想的に硬い物体である を中心に取り扱う。
剛体
○剛体簡単チェック
○
ア ) 剛体とはどんな力を与えても変形することのない物体である。
剛体でも流体でもない
イ ) 剛体は実在する。
×
も の に 弾 性 体 が あ る。
ウ ) 剛体には必ず重心が存在する。
○
これは力を加えただけ
エ ) 剛体は質点に比べて運動の自由度が増える。
○ 回転の自由度が加わる
変形するが元に戻る性
オ)宇宙空間でもコマは歳差運動(首振り)をする。
○
質がある。力をエネル
ギーとして蓄えること
Q 1 1つの質点と剛体の運動の自由度はいくつあるか、図示して示せ。
ができる。
質点 剛体 平面剛体
個性を持つということは
x、y、z
x、y、zの3
x、 y の 2 つ
自由度が増える。
の3つ
つに回転が2つ
に回転が1つ
加わり計5つ
加わり計3
☆実際に体験し、観察し
よう!
図のようにコマは回転している限り歳差運動をしてい
コマはなぜ立つのか?
ても倒れない力の図示をして説明してみよ。
コマは軸の向きを保とうとするので回転が弱くなると歳差運動で半径を広げ、慣性モーメントを大きくする。
歳差運動
○ 回転の向き
内積
真上から見ると
意味
△フレミングの
b
左手の法則
θ
慣性モーメントは回転を続ける性
r3 = r1 ×r2
r2
a
質 だ け で は な い。 回 転 に は「 軸 」
が存在し、その軸の空間的な向き
(まさにベクトル)が保存されよう
*右ねじ 1 本!
とする。この軸の向きが外積で決
外積
r1
b
まるのである。これによって地磁
気やGPSのない所でも向きを決
θ
a
めることができる。
○内積は a・b=| a || b |× Cos θでスカラー 内積は a からb
○内積と外積
への射影を表す。成分では (ax × bx)+(ay×by)
○慣性モーメント
2
2
I [kgm /s ]
外積は a ×b=| a || b |× Sin θでベクトル向きは
半径 r の円板 Iz=Mr2/2
a → b の右ねじ紙面裏から表
Ix=Iy=Mr2/4
外積は平行四辺形の面積を表す。成分では (ax×by) - (ay×bx)
半径rの円輪 Iz=Mr²
剛体が回転するとその回転の向きとなる軸が保存されようとする
Ix=Iy=Mr²/2
慣性モーメント
性質を という。この性質は 質量
半径rの球 I= 2Mr²/5
距離(半径) が大きいほど大きくなる。半径rの球殻 I= 2Mr²/3
が大きいほど、中心からの 2 2
式: I [kgm /s ]
◇数学 外積と内積
a ×bは外積
a・bは内積
内積はスカラー
I=k・mr (kは定数) I =
2
0
R
半径r、高さhの円柱
r2 dm
Iz=Mr²/2
Q 同じ半径、質量、高さを持つ球と円柱と薄い円筒を斜面上に
Ix=Iy=M(r2/4+h²/12)
並べて放す。落ちる順番を記せ。
半径 r、高さhの薄い円筒
球、円柱、円筒 慣性モーメントの小さい順になる。
Iz=Mr²/2
コマにした時長く回るのは慣性モーメントの大きい順
Ix=Iy=M(r2/2+h²/12)
剛体 1
剛体 rigid body
○重心
G
重力の
作用点
を重心という。剛体を質点と見なしたときに質点の位置が剛
○モーメントの和
ア ) イ ) ウ )
1.力の図示
2.F ⊥に分ける
G●
G●
垂直2等分線の交点
2等分線の交点
まず F ⊥成分に分けること
3kgw
90°
4kgw M= 4× 0.5Cos30°ー3×0.6-4×1Cos60°
1m
3.モーメントの
60cm
和の式
50cm
=1.
7ー1.
8ー2=-2.1kgw・m
150°
向きは負なので右まわり
120°
外積では表から裏
4kgw
Q2 次のように 1 辺が 4cm の均一な板を貼り合わせてできた物体の重心を求めよ。
ア)
同じように
イ)
分 割 し て 重 心 を 出 し、
重心と重心を結ぶ線を
Q 4 次のように剛体のモーメントの和を求め、回転の向きを答えよ。 重心
体の重心になる。 もっとも効率よく回転するためには を回転軸に選ぶ。
Q1 次の平面図形の重心を図示せよ。
G●
○重心分割方
剛体 rigid body
ウ)
2つずつの
G●
長方形と3
G●
G●
2 本見つければよい。
同じように
◆重心回りのモーメ Q 5 下図のように重心の位置を回転の中心として重心回りのモーメントの和を求めよ。
2つずつの
ント
x1 m1 x2
長方形分割
つと1つに
し、 中 央 の
分割する。
線との交点
また、これから重心の公式を導け
m2 m3 重心までの距離を XG とすると、ここに全
ての質量が集中するから
M = (m1+m2+m3)XG
x3
横2つと1つの重心を結び、次に縦2つ
を求めると M=m1x1+m2x2+m3x3 両者が
と1つの重心を結び交点をだす。
△てこの原理
普通にモーメント
重心
Q 1 つりあうための質量mを求めなさい。 てこでは長さと重さをかけたものは左右で等しくなる。
よって3×2=2×mからm=
3m O 2m
3kg
◆ 重心の応用
等しいから
XG = (m1x1+m2x2+m3x3)/(m1+m2+m3)
XG = m1x1+m2x2+m3x3/m1+m2+m3
Q 6 次の重心の位置を求めよ。
(2次元の場合は(x、y)表示せよ)
ア ) 3m 2kg 3kg イ ) 一様な円盤から半径が半分の円を刳り抜く
2kg
中心から左にxの位置と
m kg
し、小円の重力をgとする
○モーメント
M[N・m ]
*表→裏
*裏→表
O
回転の中心 点から力の 点までの直線の長さ と、
作用
L
ΣM
▽物理数学「外積」
垂直
モーメント
ベクトル
その直線に な力 との積を という。
( 量)
F⊥
M(モーメント)
式: M=F ⊥・L
F
θ
L
F ⊥
単位:
向き:
F ⊥= FSin θ
N・m
反時計回りが正
M=L × F 外積
kgw・m
( 左まわり )
○2次元の重心
外積では
x、yに分ける
裏から表が正
複数剛体は重心に
N・m ≠ J 直交空間
F
0
モーメントの和が の時、その物体は回転しない。
x=r / 6
ウ)
1辺は10cm、色つきのところは重なっている。 エ)ウの2枚重ね
●
●
●
Xg = ( 5× 3g + 15 × 2g + 3 × 25g)/8g = 15cm
= 12.5cm
(明らかに中点である)
Yg=(5 × 3g+15g)/4g=7.5cm
Yg=(5 × 6g+30g)/8g=7.5cm
x
y
に関係した 方向と 方向の自由度である。従って平面剛体の釣り合いの方程式は
Q3 次のように力が働いている時のモーメントの向きと大きさを求め図示せよ。
の単位はエネルギーも
2kgw
M =ー2×3
同じ。しかし、エネル
30
M= ー6kgw・m
ギーとモーメントは異
10N
M=10Cos30°×4
平面剛体
・偶力
x方向 y方向 モーメント
1. の式、
2. の式、
3. の式の3つ必要になる。
偶力
物体の重心が動くことなくその場で回転のみ与える力のことを という。
F1
=3.5N・m
Q1 1 辺2mの正三角形 F1,F2 が共に 2kgw の時、F3 がいくつであれば偶力に 4m
3m
なるか。
が内積かである。
モーメント
●
Xg = ( 5× 2g + 15g + 25g)/4g
メ ン ト の 単 位 で あ る。
なる。その違いは外積
=2.
3 左から2.
3m
○ 剛体のつりあい 平面剛体には自由度は つあった。1つは回転の自由度とあとの
3
2 つは力のつりあい
れば動き出すことになる。
力×長さであればモー
らモーメントの式は
3gx=g・r / 2
る。
ただし、この時は回転はしないが力のつりあいが0でなけ
と三日月の重力は3gだか
Xg =(2×3+5×3)/ 9
質点で置き換え
Q2 左図のモーメントの和と回転しない条件を求めよ。
L1
F1
L3
まず、F ⊥の成分を出すモーメントの和を M とすると
L2
M= - F1 ⊥ L1 + F2 ⊥ L2+F3 ⊥ L3 =0
F3
F2
基 本 は N・ m。 た だ こ
r
左端を原点にすると
L
○モーメントの和
4kg 2m
●
M=F ⊥・L F ⊥= FSin θ
の和=
M=L × F 外積
剛体 2
の和なら回転しない
F2
F1+F2+F3 が0、閉じた図形にな
ればよいから 2kgw
F3
Q2 Q1 の場合、x、y方向の合力の和とモーメントの和を求めよ。
合力は明らかに0だからもモーメントは F1 のみに注目し中心との垂線の
長さをかけると M= 2/ √3よって全体ではΣ M=2 √3=3.4kgwm
剛体 3
剛体 rigid body
回転の中心は
Q3
O点
さらに質量を 2 ㎏として加速度を求めよ。(重力は無視できる)
○ 合力
次のように O 点が重心の剛体に力が働いているときの合力とモーメントの和を求めよ。
2kgw
ア)
イ)
60 20N
20Cos60
力は右、上を正
5kgw
2m
2kgw
20Sin60
モーメントは左周りを正
2m
O
2m
3m
O
3m
2m
7N
30
3m
2kgw
Fx= 2+2=4,Fy = 5-2=3
と一致するとは限
よって合力F=5、よって重心は
20N
Fx=20Sin60 ー 20Cos30°=0
らない。そこに置
tan θ= 4/3 の向きに加速する
Fy= 7 よって合力 F= -7 ma=F より
いている座標軸が
ma=F より 2a=5 × 9.8=49 異なることに注意
下向きに 3.5m/s で加速する。モーメントは
a=24.5[m/s²]
Σ M= 3×7- 3×20-2 × 20Sin60 = 73Nm
Σ M = 2 × 5-2 × 2+3 × 2+2 × 2 =
よって右回転する。
・抗力
剛体の作用線を延
長すると1点で交
わる
また、この穴に杭をつけL型の板をつるすと垂直からどれだけ傾くか。
O
作用線
一点
剛体がつりあっているならば剛体に働く力の は で交わる。
垂直抗力
摩擦力
ただし全て平行の場合は除く 抗力とは と の合力をいう。
は鉛直になる。1 辺を a、1 枚の質量をmとして左をx、下
平行である。
θ
xF
θ
O
剛体のつりあい
人の質量を 45kg として地上からはしごに沿ってxだけ上がったところではしごがすべり
○ずらし方法
落ちたとする。この時のxを求めよ。
x方向のつりあいから R=F F=μN、鉛直方向は
R
モーメントは外積で面積
を表す。平控訴変形を長
方形に変形してもよい。
○抗力
Q8 図のような質量mの直方体 ABCD を斜面に置いた。AB の長さを a、AD の長さを b とする。
・作用線一致法
斜面の角度がθの時、物体は滑ることなく、回転もしていない。はじめ外力 F は加えていない。
重力加速度はgとする。物体に働く力を抗力を R として図示し、次に答えよ。
ア)この時、抗力 R を図示して求めよ。
D
A
作用線は重なる
R
R =mg
C
次に O 点回りのモーメントが0になることから
θ
よって4x=5 x= 0.50 [m]
F
イ)次にθを変えず A 点に水平な力 F を加えた。この時、ちょうど
B mg
摩擦力がなくなった。抗力 R を図示して求めよ。
R
摩擦がなくなると抗力は垂直抗力に等しい
D
R =√{m ² g ² + F²}
A
次のような半径 30 cmのなめらかな半円に長さ 40 cmの棒を立てかける。
ウ)イよりさらに F を大きくすると物体は C 点ですべることなく
θ
R'
40cm R
30cm
N
θ
50cm F O
R'
θ’
Cos θ= 4/5、Sin θ= 3/5 ① 半球から棒が受ける力を R’
回転しなければ
物体に働く水平方向のつりあいから R'Sin θ= F R'3/5=F ②
正面積=負面積 aCos θ
○重心保存の条件
XG= Σ mixi/mi
○運動量保存
Fy=0
剛体 4
正面積=負面積 つ。
C 点で回転しないためには C 点回りのモーメントから
aCos θー bSin θ
F(aCos θー bSin θ)=mg(aSinθ+bCosθ)/2
C
bSinθ
条件はこの F が0より小さければよい aCos θ< bSinθ
(aSin θ +bCos θ )/2
外力=0
剛体のつりあい 並進しない: 回転しない:
Σ M=0 Σ F=0 つまり
つりあう
作用線一致
剛体は以上3つの式が成り立
Fx= 0
また、Fがどんなに大きくてもC点で回転しない条件を示せ。
θ
θ
①、③から R'=4g/5 ②に代入し、
F
閉じた図形
θ
O 点まわりのモーメントから 40 × R' =2gCosθ× 20③
抗力=摩擦力+垂直抗力なので図のようにななめになる。
F を m,g,a,b, θで表せ。
aSin θ +bCos θ
図のように3:4:5の直角三角形ができている。よって
抗力 R
N
つりあっていれば
閉じた図形
F=4g/5 × 3/5=12 × 9.8/25= 4.7N ④
回転する直前になった。物体に働く力を抗力 R を用いて図示し、
mg B
θ
棒が静止しているとき棒と床の摩擦力を求めよ。棒の質量は 2 kgとする。
また、棒が地面から受ける抗力 R を図示せよ。
はしごを上がって距離xのところに M g、はしごの中点に mg が
xCos60
C
Q5
次にはしごと地面の接点を O とし O 点周りのモーメントから
x4sin60働く。ここでずらし方は例えば力 R を平行に垂直になる図の位置
まで移動し、R に 4Sin60°をかけたのがこのモーメントと等しい。
N
Σ M= ー MgxCos60-mg2Cos60+R4Sin60°=0となる。R=20g と
60° O
なるから上式に代入しgを消すとー 45x/2 - 5 + 20× 2√3=0
F
45x= 80 √3ー10 x= 2.8 m
mg
tan θが 4/3 になることから図のように各力の作用線を延長すると1点で交わる
○抗力
N=mg + Mg=50ℊ、よって R=0.4 × 50 g= 20ℊ を得る。
R
2Cos60
M= 4- 6 +x Fsin θ=0 tan θが 4/3 なので Sinθ = 4/ 5
4kgw
同様にy座標は Gy = 3ma/4m=3a/4
Q7 図のように壁には摩擦はなく、床の静止摩擦係数は 0.4、はしごの質量が 5kg、長さ4m、
を満たす向きに三平方の式から F= √ (32+42)=5kgw
A
をyの正の向きにとる。重心のx座標は Gx = ma/4m=a/4
θ
よって tan θ= Gx/Gy=1/3 をみたすθだけ傾く
Fcos θ=3,Fsin θ=4 よってθは tanθ = 4/3
1m
を O 点でつるしてみればよい。この時重心と O 点を結ぶ線
るとこの線は重力に
Q4 次の剛体の回転も並進も止まるように点 A に働く力 F を求めよ。
A 点の長さ、F の向き、大きさを求めること。
3kgw
一般にはxの位置点 A に水平とθをなす角に F をおく。剛体が
θ
釣り合うには回転しないことと釣合の両方が成立している。
2m
そこでまずx方向、y方向の釣合から
これは一様な材質なので下図のように単純化できる。これ
O
結ぶ線を重心線とす
2
16kgwm よって左回転する。
○作用線一致方法
Q6 次ぎのように右上の板の中心に穴をあける。この穴回りのモーメントを求めよ。
回転の中心と重心を
30
* F ⊥は Fy や Fx
する。
剛体 rigid body
○ 重心線
F=mg(aSin θ +bCos θ )/{2(aCosθ ー bSinθ)}
tan θ> a/b であればよい。
Q9 図のように摩擦のない床に質量Mの台を置き質量mのA君がxだけ水平に移動した。
はじめの位置を原点とする。台は原点からどれだけ移動しているか。
摩擦などの外力が働かなければ重心は保存されるよって0=mx+ MX ①
だから X= ー mx/M つまり台は反対方向に mx/M だけ移動する。
①をtで微分するとxは速さvに変わるので
miVG= Σ mivi
0=mv+ MV を得る。これは質量×速度も保存されることを示す。
P=mv 運動量
これを運動量保存則という。
剛体 5
剛体 rigid body
○抗力 Q
あらい板の上に,質量 m〔kg〕,真横から見た高さと幅がそれぞれ a〔m〕,b〔m〕の一様な
・垂直抗力
直方体を静かに置いた後,板を少しずつ傾けていく。板と水平とのなす角度 θ がある値を
・摩擦力
越えると,直方体はすべりだすか,あるいは,点 P を支点として傾きだす。板と直方体の
傾きが大きくなると 間の静止摩擦係数を μ,重力加速度の大きさを g 〔m/s2〕として,次の問に答えよ。
・垂直抗力 N は
小さくなる
・摩擦力 F は
大きくなる
1) 直方体が傾きθの板の上で静止しているとき,板から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。
2) 直方体が傾きθの板の上で静止しているとき直方体にはたらく摩擦力の大きさを求めよ。
3) 直方体が傾きθの板の上で静止しているとき重力による点 P のまわりの力のモーメント
を求めよ。
4) 板の傾きを大きくしていった時,直方体がすべりだすよりも先に回転しだす条件を示せ。
5) 回転前、回転直前の力の図示、さらに抗力の変化を色分けし、図示せよ。
b
・抗力 N は
a
変わらない
◇すべらない状態
◇回転しない状態
F
mgCos θ
この問題では図のように重力を斜面成分と垂直成
N
分にわけたものが重要になる。
mgSin θ
mg
1) N= mg Cos θ
2) F =mg Sin θ
P
a/2
mgCos θ
b/2
θ
mgSin θ
P
3)物体が傾き出す直前なら垂直抗力は P 点から出るので摩擦力も P 点から出る。よって
◇すべる直前
この場合 P 点を回転の中心とすると重力のモーメントのみを考えればよい。
重力のモーメントは上図のように成分に分ける。さらに上図右のようにずらし法を使う。
μ= tan θ
各成分を P 点からの垂線上まで平行に移動する。
抗力
図より P 点周りのモーメント M は
b N
M=b/2・mgCos θー a/2・mgCosθ
a
= mg/2(bCos θー aSin θ)
P
◇回転直前
4)P 点周りでの回転直前では右図(中央)のように
mg
θ
抗力
さらに滑り出す直前であれば Fo= μ N だから摩擦角の
mg
公式からすべり出さないためには
θ
μ> tan θ ② ①、②からμ> b/a
抗力
5)
N
作用線一致
左図(上から順に回転前、回転直前)
傾きが大きくなると垂直抗力の作用点が下にず
れていく、端までいったところが回転直前。
剛体がつりあうため
回転と垂直抗力
よってb Cos θ< aSin θ tan θ> b/a ①
F
合力が抗力
作用線は一致する。
回転するから mg/2(bCos θー aSinθ)<0が条件
N
摩擦力と垂直抗力の
には働いている力の
重力だけを考えればよい。よって先の結果から右に
抗力
b/a = tan θ
垂直抗力も摩擦力も P 点にあるからモーメントは
F
mg
抗力と重力しか働いていないので、作用線を一致
θ
するためには直線状に並ぶ。
垂直抗力は重力と面との交点が作用点
剛体 6
摩擦力は垂直抗力と同じ作用点
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コマはなぜ立つのか?