2-spinor に関する計算集
by ティルフィス
2009 年 2 月 24 日
Wess-Bagger の Appendix A,B の計算ノートです。計算ミス、誤植など、ありましたら
ご指摘ください。
Appendix A
(1) まず、 M = exp( 12 iφσ3 ) の場合
M=
=
=
=
!2n
!2n+1
∞
X
1
1
1
1
3 2n
iφ (σ ) +
iφ
(σ3 )2n+1
(2n)!
2
(2n
+
1)!
2
n=0
n=0
∞
∞
n 2n
X
X
(−1) φ
(−1)n φ 2n+1 3
12 + i
σ
(2n)!
2
(2n
+
1)!
2
n=0
n=0
!
φ
φ
0
cos 2 + i sin 2
0
cos φ2 − i sin φ2


exp i φ

0
2
φ 

0
exp −i 2
∞
X
これより
φ




exp
−i
0

2
φ 
M † = 
0
exp i 2
であるから、
φ
φ



!




exp
i
exp
−i
0
0



−P
+
P
P
−
iP
0
3
1
2 
2
2
φ 
φ 

P0m σm = 
P1 + iP2 −P0 − P3
0
exp −i 2
0
exp i 2
φ
φ
φ



 exp i (−P0 + P3 )
 exp −i

exp
i
(P
−
iP
)
0
1
2
2
2φ
2φ φ 
 
= 
exp −i 2 (P1 + iP2 ) exp −i 2 (−P0 − P3 )
0
exp i 2
!
−P0 + P3
exp (iφ) (P1 − iP2 )
=
exp (−iφ) (P1 + iP2 )
−P0 − P3
1
よって、P00 = P0 , P03 = P3 、
1
P01 = (e−iφ (P1 + iP2 ) + eiφ (P1 − iP2 )) = P1 cos φ + P2 sin φ
2
1
P02 = (e−iφ (P1 + iP2 ) − eiφ (P1 − iP2 )) = −P1 sin φ + P2 cos φ
2i
となり、3 軸周りの空間回転の spinor 表現になっている。
M = exp( 12 χσ3 ) の場合、同様の計算により


exp χ

0
2
χ  = M †
M = 
0
exp − 2
なので、
χ
χ



!




exp
0
0
exp



−P
+
P
P
−
iP
0
3
1
2 
2
2
χ 
χ 

P0m σm = 
P1 + iP2 −P0 − P3
0
exp − 2
0
exp − 2
χ
χ
χ



 exp
 exp

(−P
+
P
)
exp
(P
−
iP
)
0
0
3
1
2
2
2χ 2χ
χ 
 
= 
exp − 2 (P1 + iP2 ) exp − 2 (−P0 − P3 )
0
exp − 2
!
eχ (−P0 + P3 )
P1 − iP2
=
−χ
P1 + iP2
e (−P0 − P3 )
よって、P01 = P1 , P02 = P2 、
1
P00 = − (eχ (−P0 + P3 ) + e−χ (−P0 − P3 )) = P0 cosh χ − P3 sinh χ
2
1
P02 = (eχ (−P0 + P3 ) − eχ (−P0 − P3 )) = −P0 sinh χ + P3 cosh χ
2
となり、3 軸方向の Lorentz boost の spinor 表現になっている。
(2) M ∈ S L(2, C) のとき、
!
a b
M=
c d
とおくと
T −1
(M )
d
=
−b
!
−c
= σ2 M(σ2 )−1
a
であるから、確かに同じ代数を満たす表現になっている。
(3) Pass(定義 (A.10) から簡単。)
2
(4) (A.11) は簡単。(A.12) は、Ryder に計算が載っている。σm σn は、m , n のときは
Pauli 行列に比例して、m = n の場合は単位行列になる。
(5) 最初の式は、σm σn が、m , n のときは Pauli 行列に比例するので 0。2 つ目の式は、
Pauli 行列に行列 を掛けたらどれも対称行列になるので成り立つ。
(6) 直接示したほうが速いし簡単だが、(A.15) 式と (A.16) 式を示してから証明すること
もできる。(A.15) と (A.16) は、Peskin 5.1 に似たことが書いてある式(Wess-Bagger
とは σ0 の符合や γ5 の定義が違う。もちろん、ここに書いた式は WB ver.)
tr(−iγ5 γa γb γc γd ) = 4i abcd = tr(σa σb σc σd − σa σb σc σd )
tr(γa γb γc γd ) = 4(ηab ηcd − ηac ηbd + ηad ηbc ) = tr(σa σb σc σd + σa σb σc σd )
から示す。
tr(σa σb σc σd ) = 2(ηab ηcd − ηac ηbd + ηad ηbc ) + 2i abcd
tr(σa σb σc σd ) = 2(ηab ηcd − ηac ηbd + ηad ηbc ) − 2i abcd
と書けば分かるはず。このように、σ 行列は γ 行列の Weyl 表示に現れるので、γ 行
列の反交換関係から σ 行列の性質を示すこともできて、σ 行列の複数の積の場合は γ
行列を用いた方が速い場合もある。最後に
σµαα̇ σβµβ̇ = −2δβα δβ̇α̇
を使えば OK。また、同様に
γa γb γc γa = γa γb (−2δca − γa γc ) = −2γc γb − γa (−2δba − γa γb )γc
= − 2γc γb + 2γb γc + γa γa γb γc = −2γc γb + 2γb γc − 4γb γc
= − 2{γb , γc } = 4ηbc
であるから、
σa σbc σa
γ [γ , γ ]γa = 0 = 4
0
a
b
c
0
a bc
σ σ σa
!
これを使って、(A.15) の第 1 式と (A.16) の第 2 式より
σc σa σb σc = − i abcd σc σd + σa σb − σb σa + ηab σc σc
= − i abcd σc σd + 4σab + 4ηab 12
σc 4σab σc = 0
= − i abcd σc σd + 4σab + 4ηab 12 + i bacd σc σd − 4σba − 4ηba 12
= − 4i abcd σcd + 8σab
3
よって
abcd σcd = −2iσab
を示すことができる。これは Minkowski 時空での self-dual tensor の条件式になっ
ている。σab についても同様に示すことができて、こちらは Minkowski 時空での
anti-self-dual tensor の条件式になっている。
(7) ただ行列を掛け算するだけ。chirality を表す γ5 が anti-Hermite というのが多少気持
ち悪い。
(8) こちらもただ計算するだけ。
!
0 1
=
−1 0
である。
(9) Weyl basis でも Majorana spinor に、左から Y −1 をかけると、確かに求めたい表式が
得られる。が、なぜ Y ではなく Y −1 なのかは不明。
(10)
θθ = θα θα = −2θ1 θ2 = 2θ1 θ2
α̇
1̇ 2̇
θθ = θα̇ θ = 2θ θ = −2θ1̇ θ2̇
を用いる。



0



 1
α β
θ θ =
− 2 θθ




 1 θθ
2
(α = β)
α = 1, β = 2
α = 2, β = 1
1
= − θθ αβ
2
バー付きについても同様に計算できる。これを使わないと superfield の計算はまずで
きない。最後の式については、
α̇
β n
(θσm θ)(θσn θ) = θα σm
αα̇ θ θ σββ̇ θ
β̇
α̇ β̇
n
= − θα θβ θ θ σm
αα̇ σββ̇
1
n
= αβ α̇β̇ θθθθσm
αα̇ σββ̇
4
1
1
nα̇α
= θθθθσm
= − θθθθηmn
αα̇ σ
4
2
4
(11) Grassmann 的な変数同士の入れ替えによる符号に注意しながら計算。
(θφ)(θψ) = θα φα θβ ψβ
1
1
1
= αβ (θθ)φα ψβ = − (θθ)(φψ) = − (φψ)(θθ)
2
2
2
β̇
(θφ̄)(θψ) = θα̇ φ̄α̇ θβ̇ ψ
1
1
1
β̇
= α̇β̇ (θθ)φ̄α̇ ψ = − (θθ)(φ̄ψ) = − (φ̄ψ)(θθ)
2
2
2
(12) (6) の証明の途中にあった式
tr(σa σb σc σd ) = 2(ηab ηcd − ηac ηbd + ηad ηbc ) − 2i abcd
について、まず添え字 a と b について反対称化すると、
tr(σb σa σc σd ) = 2(ηba ηcd − ηbc ηad + ηbd ηac ) − 2i bacd
= 2(ηab ηcd + ηac ηbd − ηad ηbc ) + 2i abcd
よって
tr((σa σb − σb σa )σc σd ) = 4 tr(σab σc σd )
= 4(−ηac ηbd + ηad ηbc ) − 4i abcd
tr(σab σc σd ) = (−ηac ηbd + ηad ηbc ) − i abcd
この式の右辺は既に c と d について反対称な形になっているので、
tr(σab (σc σd − σd σc )) = 2(−ηac ηbd + ηad ηbc ) − 2i abcd
1
i
tr(σab σcd ) = (−ηac ηbd + ηad ηbc ) − abcd
2
2
ちなみに、
tr(σab σcd ) =
1
i
(−ηac ηbd + ηad ηbc ) + abcd
2
2
(13) Majorana 4-spinor で Q を表現すると、
!
Qα
Qa = α̇
Q
Qβ
Q =
Qβ̇
a
5
!
であるから、

{Qα , Qβ }
{Qa , Qb } =  α̇ β
{Q , Q }

{Qα , Qβ̇ }

α̇
{Q , Qβ̇ }
この中で、
α̇
{Qα , Qβ } = 0 = {Q , Qβ̇ }
{Qα , Qβ̇ } = 2σm
P
αβ̇ m
α̇
{Q , Qβ } = α̇β̇ βα {Qα̇ , Qβ }
mβ̇α
= α̇β̇ βα 2σm
Pm
βα̇ Pm = 2σ
と計算できるので、


{Qa , Qb } = 
0
2σmβ̇α Pm
m
= 2γab
Pm


2σm
P
m
αβ̇

0
とわかる。
Appendix B
とりあえず、(B.15) までは問題ないはず。ただし、(B.9) だけはちょっと証明方法が思
いつきません……
(B.16) α = 1, 2 の両方について確かめる。
αβ
∂
α1 ∂
α2 ∂
α1 ∂
α2 ∂
=
+
=
−
∂θβ
∂θ2
∂θ1
∂θ1
∂θ2
具体的に α = 1, 2 を入れることで、確かに
αβ
∂
∂
=−
β
∂θ
∂θα
となっていることが分かる。気付きにくいが大きな落とし穴。
(B.17) 地道に計算。index の潰され方にも注意。
αβ
∂ ∂
∂ ∂
θθ = αβ α β γδ θγ θδ
α
β
∂θ ∂θ
∂θ ∂θ
∂
= αβ γδ α (δγβ θδ − θγ δδβ )
∂θ
αβ
= γδ (δγβ δδα − δγα δδβ ) = αβ βα − αβ αβ = 4
6
α̇β̇
∂
∂
∂θα̇ ∂θβ̇
θθ = α̇β̇
∂
∂
γ̇δ̇ θγ̇ θδ̇
∂θα̇ ∂θβ̇
∂ β̇
= α̇β̇ γ̇δ̇
(δγ̇ θδ̇ − θγ̇ δβ̇δ̇ )
∂θα̇
= α̇β̇ γ̇δ̇ (δβ̇γ̇ δα̇δ̇ − δα̇γ̇ δβ̇δ̇ ) = α̇β̇ β̇α̇ − α̇β̇ α̇β̇ = 4
(B.18) これも、ただ地道に順番を入れ替えるのみ。
α̇
α̇
χσn ψ = χα σnαα̇ ψ = −ψ σnαα̇ χα
α̇
= − ψ αβ α̇β̇ σnβ̇β χα
α̇
= − α̇β̇ ψ σnβ̇β αβ χα = −ψσn χ
間に σm σn が挟まった式についても全く同様。σ or σ が偶数個挟まったものは入れ
替えても符号は出ないが、奇数個挟まったものは − 符号が出る。もちろん、σ と σ
は交互に並んでいなければならないのは言うまでも無い。
Hermite 共役をとると順番が入れ替わるだけ。((A.22) 式)
(σm
)† = σmα̇β
αβ̇
(α = α̇, β = β̇)
もチェックするべし。
(B.19) Fierz rearrangement formula の 2-spinor バージョン。右辺の 2 つの m は和を取って
いますので、本当は片方の m が下に無いといけません。
1
1
α̇ β n
− ηmn (φσm χ)(ψσn )β̇ = − ηmn φα σm
αα̇ χ ψ σββ̇
2
2
1
n
= − ψβ φα χα̇ αγ α̇γ̇ σγ̇γ
n σββ̇
2
1
= − ψβ φγ χγ̇ (−2)δγ̇β̇ δγβ
2
= (ψφ)χβ̇
この両辺を見比べて、任意の ψ について成り立つことから ψ を取り除くと、
1
− ηmn (φσm χ)ψα σnαβ̇ = (ψα φα )χβ̇
2
より、
1
φα χβ̇ = − ηmn (φσm χ)σnαβ̇
2
7
となる。つまり、spinor の足をむりやり σ-行列に押し付けるのが Fierz transfor-
mation。高次元 spinor の場合は、考えている次元での γ-行列に押し付けることに
なる。
ここまで計算できれば、2-spinor の計算について technical な面ではまず困らないはず
です。
8
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