授業展開#10
アルゴリズムと数式の表現
コンピュータの推論
数式の性質と解釈
 四則演算
例 12 + (34 + 56) x 78
・2つ以上の演算を含む場合の演算順序は括
弧を使って表す。
・乗算と除算は、加算と減算に優先する。
・同じ優先順位の演算は左から順に評価する
(数式の解釈規則)。
・加算と乗算の結果は項の順序に依らない
(可換律)。減算、除算は可換ではない。
数式の定義
 最も簡単な数式は、1つの数値からなる。定
数。
 数式を項とする2項演算式も数式である。
○、□を数式とすると、○+□、 ○ー□、
○×□、 ○÷□も数式。
 このような構造をもつものは、全て数式であ
り、任意の数式はこのような構成をもつ。
数式の構文木(こうぶんぎ)
 数式の構造を階層的に図示したもの
 12+(34+56)×78+9×10の構文木は、
+
+
12
78
+
34 + 56 =
56
9
×
+
34
×
34
56
10
括弧のいらない数式表現法
前置記法:演算記号を前に書く記法(ポーランド法)
2項演算を表すのに、たとえば、33+62を
+ 33 62 と書く記法
 12+(34+56)×78+9×10は前置記法では
(+ (+ 12 (×(+ 34 56) 78)) (×9 10))
であり、すべての括弧を除くと、
+ + 12 × + 34 56 78 × 9 10 となる。
 この数式は計算できる部分から順に計算を進めて
いけば、元の数式と同じ順序で計算される。
 コンピュータで容易に扱うことができる表現。

+
+ 12 × + 34 56 78 × 9 10
+
+ 12 × 90 78 × 9 10
+
+ 12 7020 × 9 10
+
7032 × 9 10
+
7032 90
 7122
 後置記法:演算記号を後に書く記法(逆ポーランド法)
2項演算を表すのに、たとえば、33+62を
33 62 + と書く記法
 12+(34+56)×78+9×10は後置記法では
((12 ((34 56 +) 78 ×) + )(9 10×)+)であ
り、
すべての括弧を除くと、
12 34 56 + 78 × + 9 10 × + となる。
 前置記法と同様、計算できる部分から順に計算を進
めていけば、元の数式と同じ順序で計算される。
 コンピュータでは、基本的な数式表現は後置記法。
 12
34 56 + 78 × + 9 10 × +
 12
90 78 × + 9 10 × +
 12
7020 + 9 10 × +
 7032
 7032
 7122
9 10 × +
90 +
数式を計算するアルゴリズム
12+(34+56)×78を計算するアルゴリズムを考え
る。
 加算と乗算の基本演算を次の基本操作として表す。
加算 AとBを加えてCとする。
乗算 AとBを掛けてCとする。
 上の数式の計算アルゴリズムは次のようになる。
① 34と56を加えてpとする。
② pと78を掛けてqとする。
③ 12とqを加えてrとする。

計算アルゴリズムと後置記法数式
12+(34+56)×78の後置記法数式は、
12 34 56 + 78 × +
 この後置記法数式を左から見ていったとき、最初に
計算できる部分は、
34 56 +
 この結果をpとすると、次に計算できるのは、
p 78 ×
 この結果をqとすると、次は、
12 q +
この計算手順は、計算アルゴリズムと完全に対応し
ている。

12 34 56 + 78 × +


12
34 56 + 78 × +

12 34
56 + 78 × +

12 34 56
+ 78 × +

12 90
78 × +

12 90 78
×+

12 7020
+

7032
推論と推論のアルゴリズム
推論:いくつかの前提から結論を導くこと。
 コンピュータの推論の方法は、前提である入力文字
列を結論の出力文字列に変換するアルゴリズムで
ある。
 占星術:本人の生まれたときの星の配置が、その人
の性格や運勢を決定しているとして占うもの。
・金星が知性・才能室にある時に生まれた人は、美
や教養を求める。(判断基準)
・A氏の誕生時のホロスコープによれば、金星が知
性・才能室にあった。(データ)
・A氏は、雑誌の編集やルポライターの適正がある。
(判断結果)

正しい推論形式
ある推論が正しいというためには、前提が正しいこ
とが主張できないとダメであり、推論形式が正しいこ
とが必要である。
 推論形式(モダスポネンス)
前提1 『 P 』 ならば、『 Q 』である。
前提2 『 P 』 である。
結論 よって、 『 Q 』である。
P、Q データや命題が入る。
命題:真偽の判断ができる言明を述べた文章
 2つの前提が正しければ、結論も常に正しい。

推論形式


正しい推論形式
前提1 勉強をしていれば、この試験は合格するはずだ。
前提2 Cさんは頑張って勉強したから、
結論 Cさんは合格したと思う。
正しくない推論形式
前提1 長いスピーチは退屈であるが、
前提2 Dさんのスピーチは短かったから、
結論 Dさんのスピーチは退屈でなかった。
2つの前提が正しいとしても、短いスピーチが退屈でな
いとは限らないからこの結論は必ずしも正しくない。
命題の評価とあいまいな命題
推論形式が正しいかどうか判定するためには、個々
の推論の前提が正しいとした上で、その結論が正し
いかどうかを見る。
 また、推論形式が正しいとき、全ての前提が正しい
ことを示せば、結論の正当性は保証される。
 ある命題が正しいかどうか判断することを命題の評
価と呼ぶ。
 命題の評価は、二律背反の命題か、あいまいな命
題かといった命題の性格に依存する。
 あいまいな命題を対象に論理を組み立てると誤った
結論を導く

コンピュータの推論アルゴリズム
コンピュータの処理を推論とみたとき、その命題とし
ての性格は二律背反である。
 二律背反の推論形式の代表的なものは三段論法と
呼ばれているものである。
三段論法
前提1 P ならば、Q である。
前提2 Q ならば、R である。
結論 よって、 P ならば、R である。
P,Q,Rは任意の二律背反的命題を表す変数

コンピュータの推論
推論形式を解釈することは、P、Q、Rの変数に適当な命題を
代入することである。
 モダスポネンスや三段論法などの推論形式は、P、Q、Rが二
律背反である限り、正しい推論形式であることが示せる。
 コンピュータによる「1ビットの加算」は、以下の推論形式であ
る。
前提1 (X,Y)=(0,0) ならば、(S,C)=(0,0) である。(規則1)
前提2 (X,Y)=(0,1) ならば、(S,C)=(1,0) である。(規則2)
前提3 (X,Y)=(1,0) ならば、(S,C)=(1,0) である。(規則3)
前提4 (X,Y)=(1,1) ならば、(S,C)=(0,1) である。(規則4)
前提5 (X,Y)=(1,0) である。(データ)
結論 (S,C)=(1,0) である。(結論)

推論形式の階層性
 ある推論の結果を前提に加えて、次の推論を
進めていくことで、多段の推論ができる。
あいまいな命題
 確率的あいまいさ
個々の事象については、二律背反的に正しい
か明確であるが、集合全体でみると二律背反
ではなく、ある割合で正しかったり、正しくな
かったりすること。
 ファジィ理論では、数学的に明確な性質をもっ
たあいまいさとして定義され、扱うことができ
る。
あいまいな命題の評価
重要な3つの視点
1.命題が正しいかどうか判断するに足りる質を有して
いること。
 「A薬品を投与するとB症は軽快する」という命題を
正しく評価するためは・・・
・薬剤を投与しなかった場合と比較する。
・プラセボ効果(薬を飲んでいるというだけで本来薬効
がないのに病気が軽快すること)を排除する。
・期待効果(検査結果を判断する人が期待される方を
有利に解釈してしまうこと)を排除する。

2.正しいと判断する基準と正しくないと判断す
る基準を明確にすること。
・二律背反でない命題では、互いに矛盾しない
基準がそれぞれに必要である。
3.それらの基準と解釈によって「あと知恵」と
しないこと。
・得られた結果にあうように基準を決めたりし
てはならない。
 これらの点について、占星術や血液型性格
判断は多くの問題がある。
占いの推論アルゴリズム
前提1 A型であるならば、社会正義派で保守的であ
る。
前提2 B氏はA型である。
結論 よって、B氏は、社会正義派で保守的である。
前提2は正しいとしても、前提1は正しいとは限らな
い。
 前提1を二律背反な命題と考えるならば、前提1は
間違っているので、この推論はほとんど意味がない
ということになる。

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授業展開#10