統計学
第8回
西 山
標本分布の着眼点
どんなサンプルが
多いか
どんな平均が
多いか
どんな分散が
多いか
【例題】サイコロを40回振ってみる
目の数の平均値は最大でいくらまでを
考えておけばよいか?
確率的に意味のないことを答えても駄目
(無意味な例)最大は6じゃないだろうか
標本分布は最大に難関になるのが通例です!
まず1000回実験してみた
標本平均の分布
350
300
250
200
150
100
50
0
サンプル平均の確率分布:
図で理解しましょう
サンプル数: n
母平均: μ
母分散: σ2
標準誤差
サンプル誤差
サンプル平均の正規法則
平均がμ、分散がσ2 である集団から無作為に取り出した n 個のデータを X 1 , X 2 , X n と
し、データから求められる標本平均を X とおく。このとき、 X の標本分布の平均と分散は
それぞれ
E X   
V X  
2
n
第3章の定理8が
基本じゃが、
定理10までは落
とせんな
となる。
分布の形は常に
正規分布と思って
いいです・・・
中心極限定理
ルートNの法則ともいいます。
教科書106ページ
エックスバー
の標本分布
 データの結果を統計量と言います.
(例)平均値、分散、標準偏差などなど
 統計量には分布の確率法則があります。
 特に、標本平均(=サンプル平均とも呼びま
す)の分布は統計分析でよく使います.
 サンプル平均の確率法則は正規分布です。<
サンプル平均の正規法則>とも呼んでいます。
練習問題(前回の残り)
1.
2.
正しいサイコロを15回振るときに出る目の数の平
均値はどのくらいになりますか?1シグマで予想
してください。
日本人の身長分布はN(170,100)とする。無作
為に10人をとって平均身長を求める。10人の平
均は何センチ位になりますか。1シグマで予想し
てください。
解答 ― (1)のみ
母集団はサイコロ
E X   3.5
V X   2.92
サンプル数は15個
E X   3.5
2.92
V X  
 0.195
15
SDX   0.195  0.442
今日の本題
標本分散S2の分布の特徴
分散の求め方に二通りあり
教科書: 3.3節(119~127ページ)
特に、分散の不偏推定式は重要!
平均と分散の標本分布
指定した値はμ=170、σ2=102、データ数は5個で反復
標本分散の分布
標本平均の分布
187.33
152.9773
169.9806
20.43845
0.007936
0.042042
<=
33
7.
89
18
9-
3.8
18
3.
46
データの分散の値
18
18
0.4
6-
0.
02
18
2-
7.0
17
9-
17
7.
59
17
3.5
17
3.
15
17
0.1
5-
0.
72
17
2-
6.7
16
8-
16
6.
28
16
3.2
16
3.
85
15
9.8
5-
9.
41
15
6.
1-
15
6.4
815
2.9
15
最大値
最小値
平均値
分散
歪み度
尖り度
25
-5
0
75
-1
00
12
515
0
17
520
0
22
525
0
27
530
0
32
535
0
37
540
0
42
545
0
47
550
0
700
600
500
400
300
200
100
0
0
頻度
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
最大値
最小値
平均値
分散
歪み度
尖り度
477.6252
0.448268
79.85362
3114.514
1.367639
2.805332
なぜ分散は小さくなる?
母集団です
170
簡単な計算で確認できます
5
 X
i 1
 170

2
i
真の偏差二乗和

 X
i 1
5
 X
i 1

 X
5
 X  X  170
i
 X   5  X  170
2
2
2
 X     X i  170  5  X  170
2
i
i
5
i 1
偽の偏差二乗和
5
2
2
i 1
2
10
2
E偏差二乗和  5 10  5 
 4 10
5
2
S2は下方バイアスをもちます
式で書くと
 
ES
2
n 1 2


n
教科書162ページ
の(4.19)式まで
に説明されていま
す。
いまの例で言うと
 
ES
2
4
2
  10  80
5
データから分散を
計算すると、実際
には100でも80前
後の値になる・・・
分散の計算に二通りあり
言葉の定義どおりだと
1
2
S 
N
 X
N
i 1
 X
2
i
母集団の分散を知りたいなら
不偏分散、と呼んで
います
N
1
2
2
X i  X 
ˆ 

N  1 i 1
 
2
2
ˆ
E 
例題【1】
ここまで
ランダムに5個のデータをとると
1,2,3,4,5
★ このデータの分散は
二乗偏差の合計 10
S 

2
データ 数
5
2
★ このデータはどんな分散をもつ集団からとられたか
ˆ 2 
二乗偏差の合計 10

 2.5
データ 数-1
4
例題【2】不偏分散を使うとき
ある高校の1年からランダムに5名を選んで100メートル走
の記録をとると、
12.32、15.28、14.19、13.72、13.26
だった。学年全体の分散はいくら位か見当がつくだろう
か?
X  13.754
S  0.964
2
【2】の解答
合計
平均
分散推定
記録(X)
12.32
15.28
14.19
13.72
13.26
68.770
13.754
偏差
-1.434
1.526
0.436
-0.034
-0.494
0.000
0.000
二乗偏差
2.056356
2.328676
0.190096
0.001156
0.244036
4.820
0.964
これはS2だか
ら小さめのは
ず!
1.205
0.964×5÷
4
4.820÷(5-1)
ダウンロード

第8回(6月13日)