有限温度QCD計算と
摂動・HTL計算との比較
斎藤卓也、中村純、酒井淳
内容
はじめに(遮蔽質量について)
格子QCD計算と摂動・HTL計算(熱力学的量)
遮蔽質量の格子QCD計算
計算結果
まとめ
はじめに
QGPの研究
重イオン衝突実験がまもなく(すでに?)十分高温度でQGP相を
生成するであろうと期待されている。(CERN,RHIC,LHC)
T 0
e 2 mD r
V (r ) ~
r
1
1
mD2 ~ ( N  N f ) g 2 (T )T 2
3
2

メソン、重クォーク束縛状態: J/ψ、ウプシロン、・・・

遮蔽質量:
熱QCDにおける基本量
現象論的モデルへの応用上重要
ジェットクエンチング?
T 0
有限温度QCD摂動論
熱場のQCD摂動論において遮蔽効果を考える際には、赤
外発散の効果に注意する必要がある。
電場的遮蔽質量:摂動論的に定義可能。
磁場的遮蔽質量:摂動論的に定義は難し
い。しかし赤外発散のカットオフとして働くことが
期待されている。
T , gT, g 2T , 
電場的
1次摂動論
 00  me,0  g (T )T ii  mm  Cm g 2 (T )T
3次元縮減理論
mm ~ g 2 (T )T
硬熱ループ再加算法
 3g me 

2me 1 
2
2
2
 log
me  me,0 1 
   O( g )
mm 2 
 2 me, 0 

磁場的(非摂動的)
格子QCDでの計算
今までに格子QCDの計算においては、
相転移温度、相転移の特徴、状態方程式、重クォークポテン
シャルの計算
これからはさらに、
• QGPの遮蔽効果!
これまでの遮蔽質量に関連した主な研
究
3
有限温度での計算(8 x4):Mandula, Oglive,PLB201,117,1988
Polyakov loopsから計算:Gao,PRD41,1990 : Kaczmarek, PRD62,034021
SU(2)の場合:U.M.Heller, et al. PLB355,511,1995, Cuchieri et al.
PLB497,80,2001: Petreczky,1996-1999.
3D-QCDの場合:K.Kajantie,M.Lanie,K.Rummukainen and
M.Shaposhnikov, Nucl. Phys. B503, 357(1997)
格子QCDでの計算方法
①ポリヤコフループ相関による計算
1
L(r )  Tr tNt1U 0 (r , t )
N
V (r )
exp(  Fq ,q )  L(r ) L (0)  exp( 
)
T
†
exp( 2me r )
V (r )  C
r
②グルーオン伝播関数から計算
1
Gg ( p ) ~ 2
 G( z )  C exp( E ( p) z )
2
p m
(ユークリディアン)
目的
QGPの遮蔽効果についての格子QCDでの結果と摂動計算また
はHTL近似(計算)との比較をする
今までの、格子計算による自由エネルギーとHTL計算
などとの比較研究をまとめる。
格子QCDシミュレーションによる電場・磁場の導出を検
討する。
ポリヤコフループ相関とグルーオン伝播関数
実験で実現されるT=Tc~6Tc(RHIC,LHC)温度領域
を検討
格子QCDで計算された電場質量および磁場質量と、
摂動論もしくはHTL計算の表式との比較をする
HTL近似と格子計算
熱場摂動論とHTL近似
1980ごろ、熱場摂動論や赤外発散の議論。 (A.D. Linde, PLB 96, 289;
D.J.Gross, R.D.Pisarski and L.G.Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53,43)
1989、硬熱ループ予加算法。(Braaten and R.D. Pisarski, PRL. 64,
1338)
1993、理論の2次近似の電場(デバイ)質量の計算。
(A.K. Rebhan, PRD.48,3967, NPB 430, 319)
1999、自由エネルギーなどの格子ゲージシミュレーションとHTLとの比
較を行い、よい結果を得ている (J.-P.Blaizot, E.Iancu,A.Rebhan,
PRL 83,2139. , J. O. Andersen, E. Bratten, M. Strickland.,PRL
83,2906.)
2002、2ループでのHTL計算は収束性がよくない。(J.O.Andersen,
E.Braaten, E. Petitgirard and M.Strickland PRD66, 085016.)
格子QCD計算とHTL近似
1)自由エネルギー
J.O.Andersen, E.Braaten, and M. Strickland
PRL,83,2139 (1999)
摂動論
2ループβ関数:  ~ 2T  ~ TC
収束が悪い
繰り込み点に関数依存性が大きい
HTL摂動理論(1ループ)
2ループβ関数:  ~ 2T , 3mg
(mgはデバイ質量)
T/Tc=1~5において格子計算の結果と同
じ符合を示し、その違いはそれほど大きく
はない。
繰り込み点に関する依存性もそれほど大
きくはない。
次の次数での計算に期待?
白抜き:もともとの摂動
塗りつぶし:HTL自由エネルギー
ひし形の点:格子シミュレーション
2) エントロピー・圧力
HTL再加算法
J.-P Blaizot, E. Iancu, A. Rebhan,
PRL,83,2906(1999)、PLBB470,181(1999)
T/Tc>2において格子計算の
結果を再現している。RHICや
LHCで実現されるであろう温度
領域でよい結果となっている。
先のJ.O.Andersen, et al.の結
果よりも格子計算に近い値がで
ている。(計算方法が違う)
J.O.Anderson, et al
(圧力)
3)2ループでのHTL計算
HTL摂動理論(2ループ)
2ループβ関数:
 ~ 2T
J.O.Andersen, E.Braaten, E.Petitgirard,
M.Strickland, PRD66,085016(2002)
  0.65TC
薄いグレー:LO HTLpt
濃いグレー:NLO HTL.pt
収束性と繰り込み点依存性
はよい
格子計算との違いが大きい
格子計算による
4) 3次元縮減理論
デバイ質量の3D格子QCD計算
4D格子QCDとの比較
K. Kajantie, et al., PRL. 79 (1997) 3130
K. Kajantie, et al., PRL. 86 (2001) 10
収束性は良くない
4DQCDとは一致しない
HTL resummationと
HTL perturbation theory(?)
HTL resummation
2loop が出発点
スタート地点は、HTL伝播関数、mD
2loop がゲージ依存性をもつ
2-loop Φ-derivativeがやりにくい
2loop をスタート地点にしているの
で熱力学的量の計算には良い。しか
し、他の量は計算できない。
HTL perturbation theory
Screened pertubation theory
スタート地点は、HTL伝播関数、mD
オーダー毎でゲージ依存性を示す
熱力学的物理量やQGPに関するさ
まざまな量を計算することができる。
そもそもの摂動論と同様な制限を持
つ。
Φ-derivativeよりもやりやすい。し
かしΣの計算の仕方が大変?
遮蔽質量の格子QCD計算
格子QCDでの計算方法
①ポリヤコフループ相関による計算
V (r )
1
†
Nt
0
)
L(r )  Tr t 1U (r , t ) exp(  Fq ,q )  L(r ) L (0)  exp( 
T
N
exp( 2me r )
V (r )  C
r
ポテンシャルの振る舞いがわかりやすい
比較的シミュレーションはやりやすい。
フィットが難しい。
磁場遮蔽質量の計算?
②グルーオン伝播関数から計算
1
Gg ( p ) ~ 2
 G( z )  C exp( E ( p) z )
2
p m
電場・磁場遮蔽質量両方を計算できる。
伝播関数から閉じ込め非閉じ込めを議論。
伝播関数自体はゲージに依存し計算は大
変。
格子シミュレーションでゲージ固定は大変。
③ 主な過去の計算
•ポリヤコフ相関からの計算。Gao,PRD41,1990, Kaczmarek, PLB543,
41, 2002.
•SU(3)グルーオンからの計算(83x4):Mandula, Oglive, PLB201, 117,
1988
•SU(2)グルーオンからの計算:U.M.Heller, et al. PLB355,511,1995,
Cuchieri, et al. PLB497,80,2001
重クォークポテンシャル
O.Kaczmarek, et al., PRD62,034021(2000)
ポテンシャルの温度依存性
電場遮蔽質量の温度依存性
フィッティング関数: V ( R, T )  C exp(   (T ) R) / R d
T
予想されたようなポテンシャルの温度変
化がみられる
摂動論と一致している?
フィッティング関数のあいまいさによる偶
然と考えられる。Gao,PRD41,626,1990に
おいても同様の結果が得られている。
SU(2)グルーオン伝播関数
U.M.Heller, F.Karsch, J.Rank, PRD57,1438(1998)
me
 Cg (T )
T
摂動
HTL再加算法
• 零ではない値を持つ電場(me)・磁
場(mm)遮蔽質量
• me=cg(T)T, mm=cg2(T)Tで
フィットができる。
• 摂動に比べてHTL再加算法によ
る結果はより格子QCD計算の値に
近い。
グルーオン伝播関数
1)伝播関数の定義
i
U  ( x)  U  ( x)
2g

◎ゲージポテンシャル A ( x) 
◎空間的な相関関数 G (z) 
◎電場部分 Ge ( p, z ) ~ Gtt (
◎磁場部分

TrA (z)A (0)  
1    p p
Z 




p 2 
p2
2
2
,0,0, z )  Gtt (0,
,0, z )
Nx
Ny
Gm ( p, z ) ~ Gyy (
2
2
,0,0, z )  Gxx (0,
,0, z )
Nx
Ny
2)遮蔽質量
Ge( m) ( z)  c  e
 Ee ( m ) ( p ) z
媒質中の遮蔽効果は長
距離的なもの。 z>1/T.
G (z )
z  1/ T
距離



計算結果(1):グルーオン
伝播関数(我々の計算)
シミュレーションパラメター
•ウイルソンゲージ (最も単純な格子作用)
•クエンチ近似( クォークの効果を無視)
•格子サイズ:Nx ×Ny×Nz×Nt=20×20×32×6
•温度:T/Tc = 1.0 ~ 6.0
•統計 :200k~400k
•ランジュバンステップ間隔 :Δτ= 0.03~0.05
•ゲージ因子 :α=1
電場部分の伝播関数
G( z) ~ e
( p 2 m2 ) Z
•有限の遮蔽
質量を持つ
•閉じ込め相と
非閉じ込め相
での違い
磁場部分の伝播関数
•有限の遮蔽
質量を持つ
•閉じ込め相と
非閉じ込め相
での違い
•長距離にお
いては揺らぎ
が大きい
•短距離にお
いて上に凸と
なっている。
ゲージ依存性
両方ともゲージ依
存性は小さいこと
がわかる。
計算結果(2):摂動・HTL計
算との比較
温度依存性と摂動論との比較
•領域T/Tc=1.0~6.0で
計算(RHIC、LHC)。
• 磁場質量は有限質
量を持つ。
• gT, g2Tのスケーリ
ングはよさそう。
• HTLの結果は、
LOPを大きく改良して
いる。
HTL
LOP
FIT
データのフィット
フィッティング
スケーリング
electric :
me
 Ce g (T )
T
magnetic :
mm
 Cm g 2 (T )
T

1
b1 log(2 log( / )) 


1
結合定数 g (  ) 

2b0 log( / )  2b0
log( / ) 
  2T   Tc
2
2
Ce  1.63(3),  2  0.715 Cm  0.482(31),   0.979
他の計算との比較
LOP
HTL (Rebhan,1993)
Self inclusion technique
(Alexanian and Nair, 1995)
me,0  g (T )T
 3g me 

2m 1 
 log e    O( g 2 )
me2  me2,0 1 
mm 2 
 2 me, 0 

2.38 N c 2
mm 
g (T )T  0.568 g 2 (T )T
4
電場的遮蔽質量の比較
グルーオン伝播関数から
G( z) ~ C exp(me z)
○ 両者は一致しない!
ポテンシャルのフィッティング関数のあい
まいさによるものと考えられる。仮定が
摂動論に依存しないグルーオン伝播関
数からの値がより正しいと思われる。
ポテンシャルから
V ( R, T )
 C exp(   (T ) R) / R d  ~ 1.84me
T
○ 相転移近傍での振舞いは良
く似ていて、急激な減少がみられ
る。
計算結果(3):より大きい格
子での計算(preliminary)
より大きな格子での計算
ウイルソン作用
クエンチ近似
格子サイズ:
NxNyNzNt=32×32×48×6
温度 :T/Tc = 6~ 16.0
統計量 :200k~400k
ランジュバンステップ間隔 :
Δτ= 0.03~0.05
ゲージ因子 :α=1
温度依存性(より高温領域まで )
•領域T/Tc=1.0~16.0
•T/Tc=16.0 ほどで
もLOPの収束はよく
ない。
• 磁場質量は有限
サイズ効果を受け
やすい。
Ce  1.69(4),  2  0.66
Cm  0.549(16),  2  1.27
まとめ
まとめ
HTLに基づいた熱場摂動論の改良が行われており、熱力学的量に関して格子
QCD計算との比較ができるようになった。しかし、グループ間での計算手法の
違いによる不一致がある。またより高次の計算においてはわからない。
RHIC, LHCに対応する温度領域 T/Tc =1~6 において、格子QCDによる非摂動
敵な遮蔽質量の計算が進んでいる。
ポリヤコフループ相関関数とグルーオン伝播関数から求めた遮蔽質量は一致し
ていない。
フィッティング関数の不定性?
電場質量に関して、LOPにくらべてHTL(1ループ)の結果は、大変よい結果と
なっている。
より高次では?
特に磁場質量については零ではない値を持つことを確認した。
閉じ込め領域/非閉じ込め領域におけるグルーオン伝播関数の振る舞
いは興味深い
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格子QCDシミュレーションによるグルーオン遮蔽効果の研究と 摂動論との