一般均衡モデルと
不動点アルゴリズム
2003.12.30.
関東学園大学
犬童健良
(M消費者、N産業)の場合
• 消費者の効用最大化
– 効用関数U(・)は厳密
擬凸かつ微分可能とす
ると、解(需要関数)は
価格に対し0次同次とな
る。
• 生産者の費用最小化
– 一次同時の生産関数Q
から導かれる要素需要
は要素価格に対し0次
同次となる。


U m X 1m ,  , X Nm  max.
s.t.
m
m
m
p
X

wL

rK
i 1 i i
N
where
X im , Lm , K m , etc.
are initial endowm ents.


Q j L j , K j  min. j  1,, N .



L j  L j r , w, Q j ,


K j  K j r , w, Q j .
均衡の条件
•
•
•
均衡の定義:全財・要素の超過需要関数が0以下となる価格ベクトル。
利潤0条件(相補スラックネス条件):産出量が正のとき、利潤は0である。
Walras法則:均衡条件のラグランジアンが非正。
Equilibrium :
m
j


X
p
,

,
p
,
r
,
w

Q
 0,
m1 j 1
N
M


r, w, Q   
j
j
m
L
r
,
w
,
Q

L
 j 1
m1  0,
N
 j 1 K j
N
M
j
M
m
K
0
m 1
for j  1,, N and zero profit conditionsbelow.
Zero profit conditions: Q j  0  p j Q j  wL j  rK j
for j  1,, N .
Walras law :

 
 

 j 1 p j Q j  m1 X mj  w  j 1 Lj  m1 Lm  r  j 1 K j  m1 K m  0.
N
M
N
M
N
M
均衡の計算手順
1.
2.
3.
4.
5.
計算に先立って、各財(企業)jに
ついてその生産量Qjで生産要
素LjとKjを除した新しい変数を作
る。(解の次元を下げる工夫)
利潤0条件(相補性条件)から、
財価格を要素価格の関数として
表す。
各個人の需要を求め、市場需要
を集計する。
各財の市場需要に見合う生産
量を求める。
各要素の派生需要を求め、その
集計的超過需要を0と置いて連
立方程式を解く。ただしWalras
法則によりその合計は0である。
1.
Lj
Kj
j
 l r , w,1, j  k j r , w,1
j
Q
Q
2.
j  1,, N .
p j r , w  wl j r , w,1  rk j r , w,1
j  1, , N .
3.
X mj r , w  X mj  p1 r , w,, p N r , w, r , w
j  1, , N , m  1, , M .
4.
Q j r , w  X mj  p1 r , w, , p N r , w, r , w
L j r , w  l j r , w,1Q j r , w
j  1, , N ,
K j r , w  k j r , w,1Q j r , w
5.
j  1, , N .
 k r , w   j 1 K j r , w  m 1 K m ,
N
M
 l r , w   j 1 L j r , w  m 1 Lm .
N
M
j  1, , N ,
不動点アルゴリズム
• 一般均衡やゲームの解、つまりナッシュ均衡の存在は、連続
写像の不動点として証明されている(いわゆる存在定理)。
• しかし複雑なモデルでは手計算が事実上ムリであるので、具
体的に均衡を求めるには、その不動点を近似する計算方法
(アルゴリズム)が必要になる。
• 一般均衡モデルの文脈では、Scarf(1967,1973) の古典的
アルゴリズムとそれを改良発展させたMerrill(1972)、Van
der Laan & Talman(1979)などが知られる。
• これらの方法では隣接する分割単体を探索するため、三角
形分割(Hansen-Kuhn-McKinnon)を利用する。
• 例えば、2生産要素KとLの価格ベクトル(r、w)を正規化した
基本単体(r+w=1)を3角形分割し、超過需要がすべて0
に十分近くなる頂点が見つかるまで分割単体間を移動する。
定義(単体)
• 定義(m次元単体; simplex):一次独立な整
数ベクトルbj j=1,…,m+1をの頂点とする凸包。
すなわちS={X⊆Zm|X=∑ajbj, ∑aj=1,aj≧0}.
• 定義(基本単体):各頂点bjがいずれも単位ベ
クトルのとき。
• 定義(辺単体):m-1次元単体S’の頂点がm
次元単体Sの部分集合のとき。
3角形分割とピボッティング
1. 基点
–
頂点b1をn+1次元基本単体
の中から選ぶ。
2. 単体分割
–
–
–
各分割に属するn+1個の頂
点を定める。
ただしベクトルφは1からnま
での整数の順列とする。
また各ejを次のように定義す
る。
3. ピボッティング
–
–
–
隣接する単体へ移動する。
取り除く頂点をbjとする。追加
する頂点は図のようである。
ただしbn+1はb1と隣接する。
LemkeとHowsonの非巡回
の議論が適用され、解への収
束が保証される。
1.


b1  b11 / D,, bn11 / D  I n 1
where
b1j  0, b1j  Z   0 j  1,, n  1,  j 1 b1j  D.
n 1
2.
j
b j 1  b j  e
where
D
j  1,, n
φ  1 ,, n  is a perm utation of 1,, n, and
e1  1,1,0,,0,
e 2  0,1,1,0,,0,,
e n  0,,0,1,1.
bj+1
bj’
3.

b  b j 1  b j 1  b j .
j
bj
bj-1
Scarfアルゴリズム
1.
2.
3.
4.
5.
格子数Dを選び3角形分割を施す。初期単体を選ぶ。
初期単体の全頂点をその規則(*)にしたがってラベル付けする。
複数の頂点に同じラベルがある場合、以下の手順4を行う。全ての頂
点に異なるラベルが付いている場合は手順5に飛ぶ。
ピボッティングしてからラベルを計算しなおし、手順3へ戻る。ただし初
期単体のときは、基本単体の頂点を除去する。初期単体以外のとき
は、同じラベルをもつ頂点のうち、直前の手順で導入された頂点を残
す。
完全にラベル付けされた単体から任意の点を選ぶ。超過需要ベクト
ルをすべて計算し、もし十分な近似であったならば停止する。さもなく
ば格子数Dを増やし、新たな初期単体を選んでから、手順2に戻る。
(*) ラベル付け規則:
• 基本単体の境界上の頂点に、最初に0となる座標の番号 i (又は識別記号)をつける。
• それ以外の頂点に、超過需要が正となる最初の財や要素の番号j(同上)をつける。
アルゴリズムの実行過程の例
•
•
•
•
D=5、1次元基本単体1=r+wとする。
超過需要関数のグラフが下左の図のようであったとしよう。
このとき、各頂点のラベルは下右の図のようである。
また頂点(1/5,4/5) を基点とする単体からのピボッティング
を図中に示した。((0,1)側から出発したとする。)
• 移動先の単体では完全ラベル付け済みなので、均衡点
の近似が得られた。精度がこれで十分なら、停止する。
w
ρl
1
D  5,
φ  1,
b1  1, 4 / D,
and e1  1,1.
Then
b 2  b1  e1 D
 1 5 , 4 5  1 5 ,  1 5
w
ρk
let
 2 5 , 3 5.
k
Pivoting:

b1  b 2  b 2  b1
 4 5 , 6 5  1 5 , 4 5
 3 5 , 2 5.
k
k
l
l
0
l
1r
0
1
r
Prologを用いた実装と実験
• まずPrologを用いてShoven and Whalleyの
テキストに出ている2財2消費者モデルをモ
デリングし、テキストに示された均衡の数値
例を検証する。
• 次に、同上モデルに対するScarfアルゴリズ
ムを実装し、均衡を実際に近似してみよう。
Shoven&Whalleyの2×2市場経済
• Prologプログラムgeq00.plとして作成。筆者
のホームページで公開している。
(http://www.us.kanto-gakuen.ac.jp/indo)
• 図に実行結果とパラメータのモデル例を示す。
テキストの数値と若干異なったが、均衡条件
は十分満たされている。
%均衡の数値例(Shoven & Whalley
より)
price_of_product(firm(m),1.399).
price_of_product(firm(s),1.093).
price_of_capital(1.373).
price_of_labor(1.000).
consumer(r). %rich
consumer(p). %poor
?- production(A,[K,L|B],C).
firm(m). %maker
A = firm(m)
K = 6.21451
L = 26.3591
B = [1.5, 0.6, 2.0, 1.373, 1.0]
C = [24.9405, 24.9405, 5.04871e-029, true] ;
firm(s). %sales
A = firm(s)
K = 18.7894
L = 33.6307
B = [2.0, 0.7, 0.5, 1.373, 1.0]
C = [54.3762, 54.3762, 5.04871e-029, true] ;
market_share(firm(s),consumer(p),0.7).
V = value(34.8918=r:16.1048+p:18.787) ;
No
?- utility(A,B,C).
endowment(consumer(p),capital,0).
F = firm(s)
A = consumer(r)
B = [11.5116, 16.6699]
C = 27.8641 ;
endowment(consumer(p),labor,60).
?- [geq00].
% geq00 compiled 0.01 sec, 0 bytes
Yes
?- total_expendenture_for(F,Q,V).
F = firm(m)
Q = quantity(24.9405=r:11.5116+p:13.4289)
Q = quantity(54.3762=r:16.6699+p:37.7063)
V = value(59.4332=r:18.2202+p:41.213) ;
No
market_share(firm(m),consumer(r),0.5).
market_share(firm(s),consumer(r),0.5).
market_share(firm(m),consumer(p),0.3).
demand_substitution_elasticity(consumer(r),1.5).
demand_substitution_elasticity(consumer(p),0.75).
endowment(consumer(r),capital,25).
endowment(consumer(r),labor,0).
scale_of_business(firm(m),1.5).
scale_of_business(firm(s),2.0).
A = consumer(p)
B = [13.4289, 37.7063]
C = 50.8946 ;
No
?-
inputs_weight(firm(m),0.6).
inputs_weight(firm(s),0.7).
supply_substitution_elasticity(firm(m),2.0).
supply_substitution_elasticity(firm(s),0.5).
プログラムについての説明
•
•
•
•
述語utility/3は消費者の効用最大化と商品需要、述語production/3は生産者の費用最小
化する要素需要をそれぞれ計算する(ともにCES型関数) 。実行に先立って、前頁右上下
図のようなモデルパラメータと均衡価格のデータを与える必要がある。
total_expendenture_for/3は消費者の効用最大化の結果に基づき、企業別の商品需要に
集計する。
均衡条件のチェックは、production/3の中でも行っている。すなわち、上記のパラメータの
下で、まず各企業にとって費用最小化する生産量と要素の派生需要が計算される。
production/3の第3引数(図では変数Cでバインドされたリスト)によって、消費者の効用最
大化の結果である商品需要が、最適生産量と一致するか否かをチェックしている。
図のように要素の超過需要を検証するプログラムを作成し実行すると、わずかな不均衡
(資本側に正の超過需要)が検出されたものの、ほぼ均衡が達成されていることが分かる。
?- excess_demand(A,B,C).
A = capital(0.00388917=25.0039-25, price(1.373))
B = labor(-0.0102005=59.9898-60, price(1.0))
C = disequilibrium
No
?-
excess_demand(capital(EDK=K1-K,price(R)),labor(EDL=L1L,price(W)),T):endowment(consumer(r),capital,Kr),
endowment(consumer(p),capital,Kp),
endowment(consumer(r),labor,Lr),
endowment(consumer(p),labor,Lp),
K is Kr + Kp,
L is Lr + Lp,
production(firm(m),[Km,Lm,_,_,_,R,W],_),
production(firm(s),[Ks,Ls,_,_,_,R,W],_),
K1 is Km + Ks,
L1 is Lm + Ls,
EDK is K1 - K,
EDL is L1 - L,
equilibrium_check([EDK,EDL],T).
equilibrium_check([EDK,EDL],disequilibrium):member(X,[EDK,EDL]),
X>0,
!.
equilibrium_check(_,equilibrium).
表計算によるチェック
•
•
数値例が若干文献と異なるので念のため表計算でShoven&Whalleyの例題とそこで主張された近似均
衡を検算した。下図のように、先述のPrologモデルの出力とほぼ同じ結果が得られている。
練習問題:図はエクセルのシーと埋め込みになっている。図をダブルクリックするか、エクセルにコピーし
てから、資本要素価格rの値を1.3735に変えて実験してみよ。またSolverを用いて均衡を見出せ。
Shaven-Whalley Economy
2004/1/4
需要サイド
Demand by consumers
消費者1 utility of 1
生産者m 生産者s
consumer1 11.12618447 1.42492 1.714703
消費者2 utility of 2
consumer2 -2.28614561 0.139881 0.334425
prices
subst.
elasticity
μ1
μ2
market share
α1m
α1s
1.5
0.5
0.5
α2m
α2s
0.75
0.3
0.7
endowments /
供給サイド
firm m
Supply
派生要素需要Lm
demands for inputs 26.35908
Km
6.214506
scale param φm
1.5
input weight δm
0.6
elasticity σm
2
firm s
Ls
33.63072
Ks
18.78938
φs
2
δs
0.7
σs
0.5
Demands for products
budget
deficit
α1[m,s]*p[m,s]^(1-μ1)
x1m
x1s
px1
b1=px0_1
0.422728 0.478255
11.5116375
16.66991687
34.325
34.325
0
α2[m,s]*p[m,s]^(1-μ2)
x2m
x2s
px2
b2=px0_2
0.326269 0.715736 13.42886495
37.70632931
60
60
0
xm
xs
価格ベクトル
24.94050245
54.37624617
r
w
pm
ps
1.373
1
1.399
1.093
budget
deficit
K0_1
L0_1
x1m
x1s
px1
b1=px0_1
25
0
11.514
16.674 34.33277
34.325 0.007768
K0_2
L0_2
x2m
x2s
px2
b2=px0_2
0
60
13.428
37.704 59.99624
60 -0.00376
K0
L0
xm
xs
<-- data for verification
25
60
24.942
54.378
intermediate terms for production functions
K
L
profits (to be zeros)
25.00389
3.080465596
0.020814303
pQj-rKj-wLj=0
L
K
firm m
firm s
59.9898
0.997156461
0.015966464
0.0001672 0.004693
超過需要
production functions
excess demands
生産関数m
生産関数s
Warlas law (=<0)
K
24.94050245
54.37624617
-0.004861
0.003889
excess demands
L
超過需要m
超過需要s
Target
-0.0102
0.000
0.000
0.0001192
Scarfアルゴリズムの実装
• 基本モデルでは予め価格のデータセットを与えて均
衡条件を検証するのみだった。
• そこでScarfの不動点アルゴリズムを組み込むこと
によって、その均衡価格を近似できるようにしたい。
• 例題は基本単体が1次元のため、実装は容易であ
る(ただし財価格は固定される)。
• またラベル貼りとそれに必要な超過需要関数の計
算には先の例題モデルで作成した述語を再利用す
る。
均衡近似の実験(1)
•
•
•
このPrologによるプログラムでは文献の数値との比較のため、正規化した要素価格に対応する
1次元単体の三角形分割を擬似的に用いたが、直接述語allocation/3を用いて出発頂点を数え
上げており、明示的なピボッティングはしていない。
以下の図は均衡近似の実験結果である。格子数10および5000のときの近似値は
Shaven&Whallyの本のそれと近いことが分かる。
ただし、財の価格は、要素価格の正規化スケールによって、以下のように調整する必要がある。
price_of_product(firm(m),A):- A is 1.399/(1.3735+1).
price_of_product(firm(s),B):- B is 1.093/(1.3735+1).
price_of_capital(A):-A is 1.3735/(1.3735+1). % 初期値
price_of_labor(B):-B is 1/(1.3735+1). % 初期値
?- listing(log_simple).
log_simple(id(1), prices([10/10, 0/10]), excess_demands([-20.6774, 660272.0]), label(2)).
% 2. grid(10).
?- test_simple.
approximated solution is :
id(6), prices([5/10, 5/10]),
excess_demands([7.63971, -2.76429]),
label(1)
log_simple(id(2), prices([9/10, 1/10]), excess_demands([-16.9082, 11.6681]), label(2)).
log_simple(id(3), prices([8/10, 2/10]), excess_demands([-13.2364, 6.54272]), label(2)).
Yes
log_simple(id(4), prices([7/10, 3/10]), excess_demands([-8.38792, 3.61095]), label(2)).
log_simple(id(5), prices([6/10, 4/10]), excess_demands([-1.73013, 0.687809]), label(2)).
log_simple(id(6), prices([5/10, 5/10]), excess_demands([7.63971, -2.76429]), label(1)).
% 2. grid(5000).
?- test_simple.
log_simple(id(7), prices([4/10, 6/10]), excess_demands([21.1433, -6.91299]), label(1)).
log_simple(id(8), prices([3/10, 7/10]), excess_demands([41.187, -11.7324]), label(1)).
log_simple(id(9), prices([2/10, 8/10]), excess_demands([72.3653, -16.9863]), label(1)).
log_simple(id(10), prices([1/10, 9/10]), excess_demands([126.664, -22.1559]), label(1)).
log_simple(id(11), prices([0/10, 10/10]), excess_demands([2.05073e+006, -28.6762]),
label(1)).
Yes
approximated solution is :
id(2108), prices([2893/5000, 2107/5000]),
excess_demands([0.00852542,
0.00268448]), label(1)
Yes
プログラミングの改良:練習問題
•
•
•
前頁に示したように、三角形分割とピボッティングを使わなくと
も、Prologで格子点を数え上げるのは易しい。練習として、(前
出のプログラムを見ずに!)N人にD個の同じ品物を配分する
方法を枚挙する述語をalloc/3として作成しなさい。
三角形分割とピボッティングをプログラムし、上記のallocを用
いた結果と比較しなさい。次元数1,2,3の各場合について、
実験してみること。
上記の2種類のプログラムを用いて、例題の均衡を近似する
プログラムを作りなさい。両者の性能を比較しなさい。
述語allocationを用いた縦型探索:
配分(価格)を数え上げながら要素超過需要が十分0に近いところを見つけ、近似が悪ければ格子数Dを
増やしてやり直す。(実験(1)で作成済みのプログラムを手直しする。)
Scarfアルゴリズム:
三角形分割を用い、要素価格を更新しながら、各頂点の超過需要関数とそのラベルを計算する。ただし、
ピボットしたときは新しい頂点についてのみ計算すればよい。すべてのラベルが異なる分割単体(つまり
完全ラベル付け済み)で、その超過需要が十分0に近い頂点が見つかるまでピボッティングを続ける。近
似が悪ければ格子数Dを増やしてやり直す。
ピボッティングの実装
% test run for pivot/3.
?- B=out(1),D=out(2),F=out(3),
H=out(2),J=out(1),
A=[[4,0,0],[3,0,1],[3,1,0]],
pivot(A,B,C),pivot(C,D,E),
pivot(E,F,G),pivot(G,H,I),
pivot(I,J,K).
% 1-Dimension simplicies
% N-Dimensional simplicies
pivot([V1,V2],out(1),[V3,V2]):-
pivot(V,out(K),T):-
vector_diff(V2,V1,D),
length(V,N), N > 2,
vector_sum(D,V2,V3),
nth1(K,V,VJ),
\+ (member(X,V3),X<0).
pivot(ring,K/N,[K0,K1]),
nth1(K1,V,V1),
pivot([V1,V2],out(2),[V1,V3]):-
B = out(1)
D = out(2)
F = out(3)
H = out(2)
J = out(1)
A = [[4, 0, 0], [3, 0, 1], [3, 1, 0]]
C = [[2, 1, 1], [3, 0, 1], [3, 1, 0]]
E = [[2, 1, 1], [2, 2, 0], [3, 1, 0]]
G = [[2, 1, 1], [2, 2, 0], [1, 2, 1]]
I = [[2, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 2, 1]]
K = [[0, 2, 2], [1, 1, 2], [1, 2, 1]] ;
No
?-
nth1(K0,V,V0),
vector_diff(V1,V2,D),
vector_diff(V1,VJ,D),
vector_sum(D,V1,V3),
vector_sum(D,V0,V2),
\+ (member(X,V3),X<0).
\+ (member(X,V2),X<0),
substitute(K/N,V,_->V2,T).
pivot(ring,1/N,[N,2]):-!.
pivot(ring,K/N,[K0,K1]):- K > 0, K < N, !, K0 is K -1, K1 is K + 1.
pivot(ring,N/N,[K0,1]):- K0 is N - 1, !.
substitute(K/N,V,VK->V2,T):- length(V,N), nth1(K,V,VK),
findall(W, (nth1(J,V,X), (J \= K -> W=X; W=V2)), T).
三角形分割の実装
%------------------------------------------------% subdivision of unit simplex
%------------------------------------------------simplical_subdivision(dim(N),
pivot(K),perm(Pi),(1/D)*(S->T)
):N1 is N + 1,
vertex_of_simplical_subdivision(
dim(N),
vertex(N1),perm(Pi),(1/D)*S
),
pivot(S,out(K),T).
initial_simplical_subdivision(
dim(N),(1/D)*S
):grid(D),
N1 is N + 1,
allocation(N1,D,S).
vertex_of_simplical_subdivision(dim(N),
vertex(1),perm(Pi),(1/D)*[S]
):permutation(dim(N),Pi),
grid(D),
initial_simplical_subdivision(
dim(N),(1/D)*S
).
?- simplical_subdivision(
vertex_of_simplical_subdivision(
dim(N),
vertex(K),
perm(Pi),
(1/D)*[S|[S0|O]]
):grid(D),
length(Q,N),
N1 is N + 1,
nth1(K0,Q,_),
(K0 > N-> !, fail;true),
K is K0 + 1,
vertex_of_simplical_subdivision(
dim(N), vertex(K0),
perm(Pi),(1/D)*[S0|O]
),
member(K0->KP,Pi),
findall(W,
(
nth1(J,S0,X),
exchange(
dim(N),row(KP),col(J),DK
),
W is X + DK,
W >= 0
),
S),
length(S,N1).
dim(2),pivot(K),perm(Pi),(1/D)*(S->T)
).
K=1
Pi = [ (1->2), (2->1)]
D = 10
S = [[10, 0, 0], [9, 1, 0], [9, 0, 1]]
T = [[8, 1, 1], [9, 1, 0], [9, 0, 1]] ;
K=1
Pi = [ (1->2), (2->1)]
D = 10
S = [[9, 1, 0], [8, 2, 0], [8, 1, 1]]
T = [[7, 2, 1], [8, 2, 0], [8, 1, 1]] ;
K=2
Pi = [ (1->2), (2->1)]
D = 10
S = [[9, 1, 0], [8, 2, 0], [8, 1, 1]]
T = [[9, 1, 0], [9, 0, 1], [8, 1, 1]]
Yes
?-
参考文献
• J.B. Shoven and J. Whalley (1992). Applying
General Equilibrium. Cambridge University
Press.[応用一般均衡分析―理論と実際. 小平 裕
(訳). 東洋経済新報社.1993.]
• H. E. Scarf (1982). The computation of
equilibrium prices: An exposition. In K.J. Arrow
and M.D. Intriligator (eds.), Handbook of
Mathematical Economics, vol. II, North-Holand,
Chapter 21.
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一般均衡モデル(04)