§6.無衝突ボルツマン方程式の平衡解
★無衝突系の例: 楕円銀河
定常状態としたらどのような
状態か?(平衡解)
現在の力学構造
1
★平衡解:以下を満たす解
f
 0: t
かつ
 f
f
v        0
x
v

   4G  fd v (ポアッソン方程式)
2
3
(strong)Jeans定理を応用
2
★運動の積分
d  
I x (t ), v (t )  0 alongall orbits
dt

 
I
 v  I      0
v
◎意味があるのは、孤立積分(isolating integral)
積分量に対してある値を満たす軌道を考えたとき、
位相空間でのその軌道の次元が全体に比べて減るとき
例:エネルギー、運動量、角運動量
反例:
  
  
x (t; x0 , v0 ), v (t; x0 , v0 )
 
 時間を消去して、 5つの任意定数をx , v の関数の
形の式に書き直せる が、その定数は、積分 だが孤立積分ではない 。
3
 
○積分の例: 作用ー角変数 ( J , )
例:1次元調和振動子
p
J2
J1
q
φ
Jが積分量
p 2 m 2 2
H

q
2m
2
p
P
, Q  m q
m

H
P

(P2  Q2 )
2
J

cos 2 , Q 
J

si n2

H  J ,
J


2
1 2
E
( P  Q 2 )   pdq 
2

4
★Jeans Theorem
○CBEの任意の定常解
運動の積分を通してのみ
位相空間座標に依存
○運動の積分の任意の関数
CBEの定常解
証明:
f
(1) f : 定常解 
 0, 従って、
t
 f
f
v        0  fは運動の積分
x
v
(2)I1 , I 2 ,  , I n : 運動の積分
CBEは
f  f I1 , I 2 ,  , I n とすると、
 
 
 
d
f I1  x , v , I 2  x , v ,  , I n  x , v 
dt
n
f dI m

0
m 1 I m dt
5
★Strong Jeans Theorem
ほとんどすべての軌道が、規則的(regular)であるとき、
定常状態の分布は、3つの独立な孤立積分の関数として
あらわされるだろう。
*ただし、3つの基本周期が、通約できない
(incommensurable)場合に限る
f ( I1 , I 2 , I 3 )
6
◎証明
   
3  3
Q   Qx , v  f x , v , t d xd v - - - (1)
Q : smoothphase- space function
定常状態  Q  Q : timeaverage
 
 
3
Q  Q   Qx , v  f ( x , v , t )d v - - - (2)
ここで、
1 T  
f  lim  f x , v , t dt - - - (3)
T  T 0
7
df
CBE 
0
dt
 
 
 f x , v , t   f xt , vt ,0
     
 
xt ( x , v ), vt ( x , v ) : 時刻tに( x , v )にある星が、
時刻t  0にあるときの座標値。
すると、
1 T  
f  lim  f xt , vt ,0dt - - - (4)
T  T 0
8
○ほとんどすべての星が規則的運動
 
位相空間の至る所で、作用ー角変数が存在 ( J , )
例:1次元調和振動子
p
J2
J1
q
φ
p 2 m 2 2
H

q
2m
2
p
P
, Q  m q
m

H
P

(P2  Q2 )
2
J

cos 2 , Q 
J

si n2

H  J ,
J


2
1 2
E
( P  Q 2 )   pdq 
2

9
1 T  
f  lim  f  xt , vt ,0 dt - - - (4)
T  T 0
 
(4)式を ( J ,  )で書き直し、  i (t )  i t   i (0)を使うと
 
1 T 
f ( J ,  )  lim  f J ,   i t dt - - - (5)
T  T 0
次にT imeAverageT heoremを使う


(GalactcDynamicsの P .171参照)
周波数iが、通訳ではないとき
、規則的な軌道上の
星の位相点がトーラス 上のある領域 Dに滞在している

3
平均時間は、 V ( D)   d  に比例する。
D
 時間平均は、角変数平 均と等しい。
10
この定理を用いると、
  3

3
f  2   f J , d   fはJのみの関数となる。
 
従って、


     3  3
Q   Qx , v  f J x , v  d xd v であり、
一方、
    3  3
Q   Qx , v  f x , v d xd v でもあるので、
f  実際上、 fと見なして良い。
11
★定常解の例(Jeans定理の応用)
I.球対称
f  f ( E )  速度分散が等方
f  f ( E, L)  速度分散が非等方
12
★定常解の求め方
一般には、self-consistentでなくてはいけない。
つまり、どんな関数形でも解になるのではなくて、
ポアッソン方程式を満たさなくてはならない。
○ f ( E )の場合:

1 2
 3
  4G  f E d v  4G  f  v   d v
2

を満たさなくてはいけ ない。
3
13
★Eddington’s formula
前式を次のように書き直す。
1 d  2 d 
2
r
  4G
r dr  dr 

 16 G  f   2   d
2
0
1 2
ここで、      0 ,    E   0    v
2
そして、
     : given
 f  d
1 d


(Abel integralequation)
0
8 d
 
1 d  d d
 f   
(Eddington' s formula)

2
0
8 d d   
14
★具体例
(1)PolytropesとPlummerモデル
 n  32
f     F (  0)
0
(  0)
1 2 2
1 2


  4  f    v v dv  4F     v 
0
0
2 
2 


ここで、 v 2  2 cos2 を代入すると、

2
n 3 / 2
v 2 dv
  Cn  nとなる。

 2 2 n  2

2n
2
ここで、 Cn  2 F   sin
d   sin d 
0
0


3
2 2  n  3 !
2


F
n!
7
2
15
すると、ポアッソン方
程式より、
1 d  2 d 
n
r

4

GC

0


n
2
r dr  dr 
となる。

r

n 1
s  , 
, b  4G0 C0
b
0


1
2
, 0   0 とおくと、
上式は、次のように書 き直される。
n 


  0 
1 d  2 d 
s

2
s ds  ds  0   0 
Lane-Emden equation
星の構造を解くときにもよく用いられるもの
16
一般には、数値計算で解く。
しかし、解析解も存在。
○n=5の場合:
C5 0
1


5
1 2
 1 2 2
1 s
1  s 
3
 3 
5
Plummerモデルと呼ばれる
*いくつかの球状星団とは一致。
銀河とは合わない
17
○等温解(isothermal solution)
f   
1
2 
3
2 2
e
 / 2

1
2 
3
2 2
1 2

 v 
2  - - - (1)
exp
2
 





速度空間で積分すると 、
  1e  /  - - - (2)
2
ポアッソン方程式は、
1 d  2 d 
r
  4G - - - (3)
2
r dr  dr 
(2)式を用いると、
d  2 d ln  
4G 2
r
 2 r 
dr 
dr 


d  2 d ln  
Gm
2 
  等温ガス球:
r


4

r
 


dr 
dr 
kT


kT
2
  とみなした場合、同等 。
m
18
○Kingモデル
 

3
2


2

/

1 2 2 e

1


0
f K    

  0 0 
*質量が無限大になる等温分布を補正したもの
○Hernquistモデル
4
1
Ca

, 
ra
r r  a 
*楕円銀河の密度分布をかなり良く再現
19
○Jaffeモデル
M r

 (r ) 
3 
4rJ  rJ



2
2

r
1  
 rJ 
GM
GM  r / rJ

 
ln
rJ
rJ
 1  r / rJ



M
4






    
exp

2

exp


1
3
4rJ
Eddignton's formulaを用いると、
1
f J   

1
/
2
3
2 3 G 3rJ M


F   2   F  2  


2 F


    2 F
   
   rJ / GM , F ( x) : Dawson's integral
F  e
 x2

x
0
e
 x 2
dx
20
○球対称非等方速度分散のモデル
例:Osipkov-Merrittモデル

f ( E , L)
L2
Q    2 の関数として書ける場 合:
2ra
   f ( E , L ) d 3v
(vr  v cos , v  v sin  cos , v  v sin  sin )


0
0


 2  sin d  f Q v 2 dv
 2  sin d  f Q 
0
0
2  Q 
1  r / r  sin  
2
2
3/ 2
dQ
a
 
sin d

 0 1  r / r 2 sin 2 
a



3/ 2
2

を使うと
2
1  r / ra 




2 


r
1+
  r   4 f Q  2  Q  
2 

0

r
a


2 

r
 Q  1+ 2   r として、 Abel integralequationや


r
a


Eddington's formulaを用いて解けば良い。
21
○球対称でない場合(一般)
*軸対称モデル
例:Evansモデル
*3軸不等楕円体(大きな楕円銀河)
Stackel Potentialモデル
後述
22
★現実の力学構造は?
観測データとの比較
 , :モデルとして given  fの仮定
観測データとの比較
 , v , v
2
,  

*高精度位置天文観測データがでれば、directに位相空間分布
が比べられる。
◎fの例(今までは簡単な例。一部は正しいかも)
実際のバルジ、ディスク、ハローは?
一般的なモデルを作成する必要性あり
*ハミルトニアン(重力ポテンシャル)をgiven
積分量を評価(Torus construction法など)
fの関数形を仮定
モデル作りが必要:力学構造の構築法の開発
23
§7.緩和と力学構造
例:楕円銀河
十分良い近似で自己重力多体系とみなす。
さらに、
tr  10 yrs  10 yrs  宇宙年齢
17
10
無衝突系
二体散乱による緩和は起こっていない!
24
しかし、・・・・
*楕円銀河:2体緩和していないが、楕円銀河には
いくつかの共通点がある
○密度分布は、ドゥボークルールの1/4則
○回転サポートではない
速度分散の
○ 3軸不等楕円体
非等方性
重力~速度分散による“圧力”
力学構造の詳細は分からないが、共通の特徴がある
ある種の“緩和”が起こっている

どういう緩和?
25
★楕円銀河の密度分布(光度分布)
◎ドゥボークルールの1/4則


I r   I e exp  7.67 r / re 
1/ 4

1
re : effectiveradius(theradius of theisophotoecontaining
1
half of the totalluminosity)  3h kpc
I e : surface brightnessat re 26
27
Surma,Seifert and Bender(1990)
★速度分散の非等方性(回転サポートではない)
巨大楕円銀河(L>2.5×1010L )は、ローテーション
サポートではなく、速度分散の非等方性により偏平
になっている。
28
★Tensor Virial Theorem
1
3
T jk   v j vk d x
2
2
3
 jk    jk d x ,  2jk  v j  v j vk  vk 
  xj  x j xk  xk  3  3 
1
W jk   G     x   x 
d x d x


2
2
x  x
3
I jk   x j xk d x
2
d
1 I jk

 2T jk   jk  W jk
2
2 dt
29
★速度分散、回転速度、偏平度の関係
○Tensor Virial Theoremを用いる
○簡単のため、z軸周りの軸対称であるとする。
○銀河の中心方向への視線はx軸と一致するとする。
対称性より、
Wxx  Wyy ; Wij  0 (i  j ) - - - (1)
と Tも同様な関係をもつ。
Virial平衡より、
2Txx   xx  Wxx  0; 2Tzz   zz  Wzz  0 - - - (2)
2Txx   xx Wxx


- - - (3)
2Tzz   zz Wzz
30
streammotionは、 z軸回りの回転のみとす ると、
Tzz  0, 1
1
2
2 3
2Txx   v d x  Mv0 - - - (4)
2
2
2
ここで、 Mは系の質量、 v0 は、 mass - weight ed
mean - square rotat ionspeed。
 xx  M 02 - - - (5)
ここで、  02は、 mass - weight ed mean - squre
random velocityalong theline of sight tothegalaxy。
 zz  1    xx  1   M 02 - - - (6)
ここで、   1は、銀河の velocity- dispersionの
非等方性を示すパラメ ータ。
31
以上より、
v02
Wxx
 21   
 2 - - - (7)  ellipticity のみの関数 2
0
Wzz
Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より
  1 Z X
32
★観測との比較
Binney&Tremaine 「Galactic Dynamics」より
33
◎巨大な楕円銀河は、回転サポートではない。
速度分散の非等方性により、形態が偏平に
維持されている。
一般には、軸対称とは考えにくい。
三軸不等であろう。
実際、
光度分布を2次元平面にprojectした場合、isophotの
twistが見られる。
三軸不等の証拠
Madejsky&Mollenhoff(1990)など
34
◎以上のように、共通の特徴をもっていることから、
何らかの“緩和”を受けているようである
(しかし、2体散乱による緩和ではない)
“緩和”するメカニズムは?
また、その力学構造は?
35
★Violent Relaxation: Lynden-Bell(1967)
◎無衝突系の緩和過程
Collisionless Boltzmann方程式
f  f  f
v      0
t
x x v
空間的、時間的に激しく振動
microscopic: phase mixing
fは保存(Liouvilleの定理)。しかし、それはどんどん小さな
スケールでの運動となる。
macroscopic f :coarse-grained distribution function
“平衡状態”に落ち着く
36
★Violent Relaxation: Lynden-Bell(1967)
平均重力場の激しい時間的空間的変動による
位相分布のmixing
(ハミルトン系のカオスが起こる機構と同様)
37
★平衡状態での(coarse-grained)分布関数は?
◎Lynden-Bell統計
Df
 0  fは運動の積分(恒量)
Dt
○
○phase mixing
“非圧縮流体”のように運動
fの要素(element)は、位相空間内を複雑に
運動し、細分化
fを十分小さい要素に分解し、要素は次の条件を満たすものとする。
(1)要素の数は不変
(2)全エネルギーは保存
(3)要素の密度ηは一定:F=η(局所的な密度は非圧縮性のため保存)
(4)要素の体積をωとする。
要素の質量: , 要素の総数:
 全質量: M  N
N
38
◎位相空間を多くの微細胞(micro-cell)に分割
*微細胞は、十分小さく、その位相体積は、fの要素の位相体積ωとす
る。
*micro-cellの中にelementが入れば、micro-cellの密度は、η、
さもなくば、0。
◎興味があるのは、巨視的構造
micro-cellをν個(ν>>1)集めた巨細胞(macro-cell)
i番目のmacro- cellに
ni 個(ni   )の要素が入る
全体
でν
個
ni 個
39
◎i番目のmacro- cellにni 個(ni   )の要素が入る場合の数
○非圧縮性のため、各要素は同一のmicro-cellを示すことは
できない。
排他律
○各要素は区別できるものである。
区別化
よって、場合の数は、
 Pni 
!
  ni !
参考:


ni

共有化、区別化: 


!

共有不可、区別不可:
C



ni
ni !  ni !



  ni  1!
H ni   ni 1 Cni 
 共有可、区別不可: 
ni !  1!

40
一方、 N個ある全要素を macro- cellに ni i  1,2,  ずつ
割り当てる場合の数
N!
(  要素識別可)
 ni !
i
参考: 要素識別不可
の場合は、1 
従って、 macro- cellに ni 個ずつ“要素”を割り
当てる
微状態の総数Wは、
N!
!
W

 ni ! i   ni !
i
ln Wの近似式は、 Stirlingの公式より、
ln W  N ln N  1   ni (ln ni  1)    ni ln  ni   1 ln  1
41
macro- cellの大きさを単位とする
巨視的な(coarse- grained)
分布関数をfとすると、
ni ni
f ri , vi   f i 



これを使うと、
ln W  N ln N  1 
    f
   f  ln 
   
6
d w


 
 
 
  1    f  ln   f   1  ln  1


 
 
 

42
付加条件:
M  

fd w=一定
6
v2 6  G
ff  6  6 
E  
fd w  
d wd w=一定
2
2 r  r
の下で、ln Wが最大となるのは、
Lagrangeの未定乗数法より、

 v2
 6 
f
       d w  0
ln
2

  f
fは任意にとれるので、    0より、 fについて解くと、
f

exp     
f 
, 1  exp     
v2
  
2
:星が生成された時点 での星の位相空間での 密度
一般的には、位相空間 で散らばるので、 f  
よって、非縮退で f  A exp(   )
43
参考:
排他律なし
あり
区別不可
区別可
B-E分布
M-B分布
F-D分布
Lynden-Bell分布
*L-D分布の特徴
分布は星の質量に依らない
(CBEの形は、星の質量に依らないので)
44
★問題点
◎いくつかの数値実験
Lynden-Bell分布と
一致しない
deZeeuw et al(1991), Funato et al.(1992), Yanashiro et al.(1992)
などなど
◎L-D統計ーーー>Maxwell分布ーーー>等温分布
ーーー>全質量が無限大
Lynden-Bell達は、violent relaxationの不完全性に
よって、この問題を回避しようとした
(後ででてくる、安定カオスと関連)
45
◎Lynden-Bell分布でないとすると、実際は
どんな分布か?
◎緩和過程はどうなっているか?
その続きに行く前に・・・
46
★r1/4則は説明できるのか?
Jaffe(1987), Makino et al.(1989)
E  0 
    r  4
N E   N 0  const.
 r  大
r  小のとき、 isothermalで   r  2

1
 2
r 1 r 2


 r 1/ m 則によく fit(m  3~10)。 m  4に best fit。
*簡単な例
1
E  0でケプラー回転  E~ 
r
N E dE   r r 2 dr   r   r  4 ( N ( E )  N 0 )
47
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6-§7(前半) - JASMINE