谷川清隆 訳
Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 71, 109-136(1999)
地球交差軌道の平均化
Averaging on Earth-crossing orbits
G.F. Gronchi and A. Milani
要約.
惑星交差小惑星 (および彗星) は近接衝突や直接衝突を惑星のどれかと引き起こす可
能性がある. これにより, N 体ハミルトン関数に特異性が現われ, 昔から使われる永年
摂動を計算するために使われる運動方程式の平均が定義されなくなる. 本論文で示すの
は, 厳密な仕方である種の一般化した平均運動方程式を定義し, 一般解は一意, 区分的に
滑らかであるようにできることである. 平面の場合も 3 次元の場合も, Kantorovich の特
異点抽出法によって行う. 特異点を近似するために使う修正された距離は Wetherill が
衝突の確率を計算するために使ったものである. 平均力学のいくつかの例を計算する.
平均相空間を系統的に探索して永年共鳴の場所を確定するのは次のステップである.
1. 序
地球軌道交差小惑星は, その軌道が 交点交差 を起こすことで特徴づけられる. すな
わち, 地球の軌道面上の接触楕円の点のひとつが地球の接触楕円に属する. これが成り
立つとき, 近接衝突が生じ得る. しかもランダムに起こる. 各近接衝突において, 軌道
要素は急速に変化する. 他の惑星の軌道を横切るときも同じことが起こる. たとえば,
彗星が木星軌道を横切るときがそうである.
惑星への任意の近接衝突の可能性は直接の物理衝突の可能性に対応する. これも起
こり得る. 数学的な観点からすると, 惑星交差小惑星の軌道は惑星を質点として重力 N
体問題としてモデル化されるなら, 衝突は重力ポテンシャルの特異点, つまりハミルト
ン関数の特異点において起こる. この特異性は 1 次の極型である.
衝突特異性の存在は何らかの解析的理論を構築する際には基本的困難として考えら
れてきた. とはいうものの, 非常に近接した衝突を示す N 体問題の解でさえ存在する
し, それがまったくワイルドなふるまいを示すというわけでもない. 例として, 図 1-4 は
地球交差小惑星 (実は金星交差小惑星でもある) の軌道要素の時間進化を示す. 軌道要
素の時系列はスペースガードプロジェクト (SPACEGUARD PROJECT) の文脈で得ら
れてきた. これは当面, 惑星交差軌道の数値計算として最大級の研究である (Milani et
al., 1989). 軌道半長径は 2 つの軌道交差の間では一定であり, 近接衝突の間にいそいで
変化する. ほかの軌道要素たとえば e, I, ω は滑らかに見える軌跡を動きながら大きな
相対的変化を受ける. ただ, その跳びは小さく, 図のスケールでは見えない.
1
図 1,2
次に, 軌道要素 e, I, ω, Ω の「永年」運動を, 昔から主小惑星帯で行われてきた (Williams
and Faulkner, 1981) と同様, ある種の平均方程式によって記述することはできないの
か, という問題が生じる. これができるなら, 惑星交差軌道に対しても「永年共鳴」の
概念に厳密な意味を与えることが可能になるだろう. いままでのところ, 非惑星交差軌
道の地球近接軌道に対してのみ成功してきた (Michel and Froeschlé, 1997). 逆に, 無矛
2
図 3,4
盾な平均法が存在しないなら, 惑星軌道交差の永年共鳴などというものはない. 不思議
な国のアリスの忠告にしたがって, 答えのない謎などにかかずらわることをやめる. と
ころが永年共鳴は存在する. 数百万年にわたる惑星交差軌道の進化を制御するのに大
きな役割を果たしている (Michel et al., 1996).
本論文は, 原理的な問題として, 数学的に, 特異性のある平均法問題を解く. 永年摂動
の定義を一般化する. 古典的定義が衝突によって収束しなくなる場合にも適用可能. 議
論は古在近似に制限する. つまり, 摂動天体は円運動で同一平面 (Kozai, 1962). しかし,
よく知られているように, これは最初の可積分段階であって, 摂動論はこの上に建設す
3
る (Morbidelli and Henrard, 1991).
主結果は, 高速変数 (小惑星と全惑星の平均運動) に関して平均したハミルトン関数
で定義されるハミルトン方程式の解の存在定理である. この解は, 軌跡が角 (かど) を持
つ (3 次元の場合; 2 次元の場合は微分可能) 交点交差において一般化された意味を持つ
(??). 引数 ω の周回または秤動の「永年」周波数はこの一般解で定義される. また Ω の
周回周波数は求積で計算できる.
本論文の構成は以下のとおりである. 2 節では, 平面の場合に, 上で再定義した意味で
の永年摂動の存在を証明する. 3 節では同様な議論をもっと現実的な 3 次元に拡張する.
本論文はこの「特異平均法」近似を実現する数値的に効果的なアルゴリズムを含ん
でいない. 特異平均法は数個の積分を巻き込んでおり, これらのうちいくつかは数値的
に扱うのは難しい. とはいうものの, いくつかの見やすい例を今までに知られた数値ア
ルゴリズムで計算し, 4 節で示した.
5 節では, 惑星交差軌道の永年摂動や固有要素の理論を構築するために通るべき研究
の道筋を示唆する. また平均しない元の方程式からの誤差を見積もることの困難につ
いても述べる.
2. 平面の場合
はじめに平面の場合を議論する. 摂動天体, 例えば地球がある準拠系で円軌道 C⊕ 上
にあり, 小惑星はこの面に対して軌道傾斜角ゼロ. これは必ずしも現実的ではないが, 3
次元の場合に使う手法のよい導入になっている.
2.1. Wetherill 近似
軌道面上, 近点方向を x 軸にとる. 小惑星の楕円軌道 East と地球軌道 C⊕ は
East :
⎧
⎪
⎪
⎨
x = a(cos u − e),
⎪
⎪
⎩
y = a(1 − e2 )1/2 sin u,
C⊕ :
⎧
⎪
⎪
⎨
x = a cos u ,
⎪
⎪
⎩
y = a sin u,
u, u は離心近点離角. 2 つの軌道が P, Q で交わるとする. P での u, u は u, u であると
する. 対応する平均近点離角は , であるとする. Q は x 軸に関して対称な位置にある.
C⊕ および East への P における接線を使う (図 5).
r :
⎧
⎪
⎪
⎨
x = a cos u − a sin u ( − ),
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
y = a sin u + a cos u ( − ),
a sin u
( − ),
x = a(cos u − e) −
1
−
e
cos
u
r:
⎪
a(1 − e2 )1/2 cos u
⎪
2 1/2
⎪
sin u +
( − ),
⎩ y = a(1 − e )
1 − e cos u
ただし, 直線のパラメータ化としては, 直線上の速度がちょうど楕円の P における速度
と同じになるようにした.
定義.
(1) D は , の関数として, C⊕ 上の動点と East 上の動点の距離であるとする.
(2) d は , の関数として, r 上の点と r 上の点の距離であるとする.
4
図5
(3) d1 は対称な点 Q に関して定義された同様な関数であるとする.
d を近似として, 短い距離の間使うことは Wetherill(1967) によって導入され, 衝突確
率の計算道具として利用された.
距離は, どの準拠系を使ったかに依存しない. だから, 平均を行った後では, 近点経度
がどこにあろうと問題にならない. つまり,
∂
1
dd = 0
∂ T D
である. ただし, 積分はトーラス T = [−π, π] × [−π, π] 上で行われる.
平均値の近似計算
トーラス上で平均した摂動関数を計算するのに, カントロビッチ (Kantorovich) の特
異点抽出法 (Demidovic and Maron, 1966) を使う:
π π
−π
−π
1
dd =
D
π π −π
−π
1
1
1
− −
dd +
D d d1
π π
−π
−π
1
dd +
d
π π
−π
−π
1
dd
d1
後の 2 つの積分は解析的に実行できる. 同じ技術を使って に共役な変数 G = k 2 a(1 − e2 )
(k はガウスの重力定数) に関する微分も計算できる. 軌道半長径は平均化方程式の解に
沿っては一定であるから,
√
1 − e2 d 1
d 1
√
dd = −
dd
2
dG T D
de
D
T
e k a
であり, e に関する微分は
d 1
d 1
d 1
d =
+
+
de T D
de T d de T d1 de T
1
1
1
− −
D d d1
から計算できる.
記法を簡単化するため記号を導入する
ξ = − ,
A = a2 ,
ξ = − ,
ξ = (ξ , ξ)
a3
a
2
2 1/2
B = a (1 − e ) , C = 2 −
a
a
5
(2)
接線に沿っての距離 d は変数 ξ, ξ に関する同次 2 次形式として計算できる. すなわち,
⎛
⎞
−B ⎟
A
⎜
M=⎜
⎝
−B
⎟,
⎠
C
d2 = ξ M ξ.
(3)
簡単にチェックできるように,
tr(M) ≥ 0,
det(M) ≥ 0
det(M) = 0 ⇔ −e sin u = 0
だから, 2 つの軌道がアプス線で接触しない限り, つまり, 近点 (u = 0) または遠点
(u = π) で接しない限り, 2 次形式は非縮退である. アプス線で接する場合, 楕円と円は
1 本の接線を共有する. 以下の議論ではこの場合を除く. d21 も同様な計算で得られる.
これも同じ行列で定義される 2 次形式である. だから d についてのみ議論する.
2.2. 解析積分
ξ, ξ の定義を考慮して, 近似逆距離関数の平均は
I=
+π− +π− −π−
−π−
Aξ 2 + Cξ 2 − 2ξξ B
−1/2
dξdξ である.
線形変換を使って, この 2 次形式を対角化したい. d2 = L2 + M 2 にしたい. ただし,
L と M は新しい変数である (図 6). この変換はただひとつではない. 次を選ぶ.
1
1
σ
ξ =
ξ = M,
L− M ,
ρ
τ
ρ
a2
a2
ρ = − e sin u, σ = − (1 − e2 )1/2 , τ = a
a
a
変換のヤコビ行列式 Δ は明らかに Δ = |1/ρτ|である. よって
I=
=
= Δ
(4)
(Aξ 2 + Cξ 2 − 2Bξξ )−1/2 dξ dξ
(L2 + M 2 )−1/2 ∂(ξ , ξ)/∂(L, M)dLdM
R
(L2 + M 2 )−1/2 dLdM
ただし, R は (L, M) 面での積分領域で平行四辺形. この平行四辺形 R がつぶれるのは,
2 次形式が縮退のときであり, それは接触が遠点または近点で生じたときである.
積分を実行するためには, 平行四辺形を原点から出る直線により 4 つの三角形に分割
する. θi , i = 1, 2, 3, 4 を直線の角度方向とする. 積分は極座標に変換し, θ に関し 4 つ
の別々の積分を実行すれば得られる.
⎡
I=
Δ ⎣ρ(π
z2
−2τ (π + )
(z3 − ζ2 )(z2 − ζ1 )
−
− ) log
+
log
z1
ζ2 − ζ1
(z2 − ζ2 )(z3 − ζ1 )
⎤
z4
2τ (π − )
(z1 − ζ2 )(z4 − ζ1 ) ⎦
−ρ(π + ) log
+
log
z3
ζ2 − ζ1
(z4 − ζ2 )(z1 − ζ1 )
6
図6
ただし, zi = tan(θi /2) であり, ζ1 , ζ2 は方程式
σ
f (z) = −z 2 − 2 z + 1 = 0,
ρ
の根である. すなわち,
ζ1 =
−σ +
√
√
σ 2 + ρ2
−σ − σ 2 + ρ2
, ζ2 = b
.
ρ
ρ
定理 1. 近似逆距離関数の平均
π π
I=
−π
−π
1
dd
d
は, 接衝突の場合を除いて, 変数 G, に関して可微分 (実解析的) 関数である.
証明. 普通の微分規則を上で得た解析的な表式に作用してみればよい.
2.3. 平均値の微分可能性
平均摂動関数に関して解析的な結論を導くためには, 近似 1/d や 1/d1 の平均のふる
まいばかりでなく, 差 1/D − 1/d − 1/d1 の平均の性質を知る必要がある. 3 段階で行わ
れる.
ステップ I: 残余関数 1/D − 1/d − 1/d1 はトーラス T = [−π, π] × [−π, π] において
limited(?) である.
離心近点離角と平均近点離角の間の変換は滑らかである. ケプラー方程式
= u − e sin u
残余の表式を u, u の関数と見ることができる. もちろん, 残余関数はトーラス上例外
的な点を除いて滑らかである. 例外的な点とは, (u, u) = (u, u )(P に対応) と, (u, u) =
7
(−u, −u )(Q に対応) である. 対称性があるから, 1/D−1/d が (u, u ) の近傍で limited(有
界?) であることを証明すれば十分である.
1
d−D
d2 − D 2
1
− =
=
D d
dD
dD(d + D)
を使う. 真の距離 D は
D 2 = [a cos u − a(cos u − e)] + a sin u − a(1 − e2 )1/2 sin u
2
2
一方 d2 の表式はすでに求めた.
d2 = Aξ 2 − 2Bξ ξ + Cξ 2
2
= a ( −
)2
− a (1 − e )
2
2 1/2
a3
a
( − )( − ) + 2 −
( − )2
a
a
これらを (u, u) の関数として表す. そのために
v = u − u, v = u − u , − ≈ v(1 − e cos u) + v 2
e sin u
2
を導入する.
D 2 も d2 も v, v に関するテーラー展開されると, 2 次の項から始まる. それらは同じ
なので, 差を取ると消えて 3 次から始まる. すなわち,
d2 − D 2 = Jv 3 + Kv v 2 + Lv 2 v + . . .
直線 v = λv に沿って,
d2 − D 2 = v 3 (J + λK + λ2 L) + . . . ,
√
d2 D + dD2 = 2v 3 (Gλ2 − 2Iλ + H) Gλ2 − 2Iλ + H + . . . ,
が成り立つ. ここで, J, K, L, G, I, H は (a, e, e ) のみの連続関数であり, トーラス上で
一定である. これらのあからさまな表式は Gronchi(1997) に与えられている. さて
f (λ) =
J + λK + λ2 L
2(Gλ2 − 2Iλ + H)3/2
と置く. 直線に沿っての極限を計算できる:
d2 − D 2
(v, λv) = f (λ).
lim
v→0 dD(d + D)
残余関数が有界であることを証明するためには, 関数 f (λ) が有界であることをチェッ
クすればよい. これは多項式
g(λ) = Gλ2 − 2λI + H,
8
の判別式から出る. すなわち,
Δs = 4I − 4GH < 0 ⇐⇒ GH − I =
2
2
a
a
2
det(M) ≥ 0.
2.1 節で示したように, この判別式がゼロになるのは接衝突のときのみである.
lim f (λ) = 0
λ→0
であるから, 1/D − 1/d は (v, v ) = (0, 0) の近傍で有界であると結論できる.
ステップ 2: 残余関数の微分
1
1
∂ 1
− −
∂e D d d1
はトーラス上で次数 1 の極特異性のみ持つ.
対称性を考慮して, 1/D − 1/d のみについて議論する. e に関する偏微分はステップ
1 と同様 v, v に関してテーラー展開される. すなわち,
∂ 1
∂ 1
C 1 d + D1 v + . . .
C 2 d + D2 v + . . .
,
,
=
=
∂e d
d3
∂e D
D3
と書ける. ここでドットは v, v に関する高次の項を表し, C1 , D1 , C2 , D2 は (a, e, e ) の
みの関数である. Gronchi(1997) の直接計算によれば, 分子の 1 次の係数は同じである.
すなわち,
C1 = C2 , D1 = D2
このおかげで, 差の微分が展開できて,
1
E1 v 2 + F1 vv + G1 v 2
1
1
∂ 1
= (C1 v + D1 v )
−
+
−
−
∂e D d
D 3 d23
D3
2
E2 v + F2 vv + G2 v
+ ...
−
d3
上の公式のうち, 次数 > 1 の極特異性を生み出しそうな部分は
1
1
(C1 v + D1 v )
− 3
3
D
d
である. これを調べるために, 展開
1
1
1
1
−
=
−
D 3 d3
D d
1
1
1
+
+
D 2 dD d2
を利用し, 直線 v = λv の通る平面 (v, v ) を探検しよう. ステップ 1 により, 1/D − 1/d
は (v, v ) = (0, 0) の近傍で有界 (limited) である. 定数 m を
m=
max lim
v→0
λ∈R
1
1
−
(v, λv)
D d
9
で定義する. 極特異性の次数を見積もるために, 補助関数
1
h(λ, v) = h1 (λ) + Γ(λ),
v
を使うことができる. ここで,
(E1 − E2 ) + λ(F1 − F2 ) + λ2 (G1 − G2 )
3m(C1 + λD1 )
+
,
(Gλ2 − 2Iλ + H)
(Gλ2 − 2Iλ + H)3/2
Γ0 + λΓ1 + λ2 Γ2 + λ3 Γ3
,
Γ(λ) =
(Gλ2 − 2Iλ + H)3/2
h1 (λ) =
である. ただし, E1 , E2 , E3 , G1 , G2 , Γ0 , Γ1 , Γ2 , Γ3 は (a, a , e) のみの連続関数である.
G, I, H はステップ 1 で定義した量であることを注意しておく. だから, 分母は方程
式 (6) と同じ多項式 g(λ) のみを含んでおり, これは決してゼロにならない (ただし, 近
日点または遠日点での接衝突は回避されるとしている).
この展開, およびステップ 1 で使ったと同様な λ → ∞ での計算から, 補助関数 h が
次数 1 の極特異性のみを持つと結論できる. 残余関数の微分は同じ次数の特異性, つま
り次数 1 の極特異性のみを持つ.
ステップ 3: 積分記号下での微分
議論を, 接衝突を含まない (a, a , e) 空間のコンパクトな部分集合に制限することによ
り, (0, 0) に次数 1 の極を持つ優 (majorant) 関数 K ∗ = K ∗ (v, v ) を,
∂ 1
∂e D
1
−
d
≤ K ∗ (v, v ),
が P の近傍で成り立つとして定義できる. さらに, この優関数はトーラス T 上で積分
可能である. 同じ議論は対称点 Q についても行うことができる.
この積分優関数および積分下での微分の標準的定理 (たとえば, Fleming, 1964) を使
えば, 平均残余関数は e に関して微分可能であること, また
d
de
T
1
1
1
− −
dvdv =
D d d1
T
1
1
∂ 1
− −
dvdv ∂e D d d1
が成り立つことが言える.
こうして, われわれが証明したのは,
定理 2. 平均摂動関数は, 接衝突の場合を除いて, 変数 e, に関して連続微分可能で
ある.
証明. 2.2 節および上のステップ 3 において, 平均摂動関数の異なる項の e 微分が存在す
ることを証明した. に関する微分はゼロである.
2.4. 平均ハミルトン関数
円平面制限三体問題のハミルトン関数を日心座標で書くと,
H = H0 − Rdir − R‘ind
10
となる. H0 は無摂動二体問題ハミルトン関数, Rdir = k 2 m/D は直接摂動関数 (m は惑
星質量を太陽質量で割ったもの) であり, Rind は摂動関数の間接項である.
平均ハミルトン関数は
1 π π
H=
(H0 − Rdir − Rind )dd ,
(2π)2 −π −π
によって定義される. 間接項の離角による平均は古典結果によりゼロであるから, また
H0 は , に依らないから,
H = H0 −
k2 m π π 1
dd = H0 − R,
(2π)2 −π −π D
(8)
となる.
古典的結果によれば平均ハミルトン関数 H はつねに存在し, 惑星交差の場合でも連
続関数である. なぜかというと, 次数 1 の極特異性を持つ関数を 2 次元トーラス上で
improper 積分すると絶対収束だからである (Fleming, 1964). 前節で証明した 2 つの定
理より, 平均ハミルトン関数も変数 (a, e, ) の微分可能関数である. ただし, 接接触の
場合, つまり a(1 ± ec ) = a なる e の臨界値 ec の場合を除く. だから, どの a > a /2 に
対しても, 変数平面 (e cos , e sin ) は円 e = ec によって 3 つの連結成分に分割され,
平均ハミルトン関数はそれぞれの中で滑らかである. 内部領域は古典的議論で, 外部領
域は本論文で証明される.
H で定義されるハミルトン関数に平均法を適用すると, 微分方程式の右辺は衝突点に
おいて次数 2 の極特異性を持つ. 対応する improper 積分は決して絶対収束しない. だ
から, 積分記号下の微分定理は適用できず, 交点交差が起こる場合は微分方程式が平均
化できない. にもかかわらず, 平均ハミルトン関数 H は連続微分可能関数であり, H を
ハミルトン関数とするハミルトン方程式を定義することが可能である. この方程式は,
(平均) 変数 (e cos ω, e sin ω) の空間で, 平均 a が積分であるような連続微分可能力学を
与える.
H は に依存しないから, 軌道半長軸 a も離心率 e も H で定義されるハミルトン系
の解に沿っては変化しない. このハミルトン系の解は各 e = 一定 の円上の一様回転で
与えられる. その固有周波数は一定で
dR (1 − e2 )
d
√
=
= g(e)
dt
de e k 2 a
で与えられる. 固有周波数のふるまいは図 7 に示した.
図 7.
11
この結果は 3 次元ケースへの序として紹介されることが多い. しかし, 3 次元の場合
の結果が, 軌道傾斜角がゼロの場合の極限として 2 次元の場合の結果を含むことを証明
できるなら, 2 次元の場合を考えることはとくに, 歳差周波数を決める場合など, 価値が
あるはずである. 実際これが成り立つらしいことは 3.3 節で述べる. ただ, 完璧な証明
は得ていない.
ここで述べる結果は平面楕円制限問題, すなわち, e = 0 の場合に拡張可能であ
ろうと予測する. Wetherill 近似が使えて, 近似関数 1/d は本質的に同じ形をしてい
る. しかし, 接衝突の線は分岐し, ハミルトン関数はもはや から独立ではなくなり,
(e cos , e sin ) 平面内で複雑な幾何を与える.
3. 3 次元の場合
軌道半長径 a, 離心率 e, 近日点引数 ω の楕円と半径 a の円が与えられたとき, 交点距
離 (nodal distance) は次の式からきっちり計算できる:
d+
nod =
a(1 − e2 )
a(1 − e2 )
− a ; d−
− a ;
=
nod
1 + e cos ω
1 − e cos ω
(9)
注意しておくが, 交点距離は負になり得る. 小惑星の交点が惑星の交点より太陽に近い
場合は負である.
a, a を固定したとき, 座標 (e cos ω, e sin ω) なる平面内で, 交点交差 d+
ond = 0 および
−
dond = 0 は 2 つの円を定義する. これらは e = 1 円に反対点で接する (図 8).
Kozai(1962) にしたがって, 小惑星軌道に摂動を及ぼすのは, 円軌道, 同一平面にある
ひとつまたは複数の惑星の引力のみであるという近似を採用する. このとき, ハミルト
ン関数を (8) とする平均問題は積分を持つ. この積分は, 惑星軌道面に直角な角運動量
の成分に対応する:
Z = k a(1 − e2 ) cos I.
(10)
ここで軌道半長径 a も平均系の積分である.
したがって, 初期条件から Z 積分の値が決まると, 軌道傾斜角の最大値は, e = 0 のと
きに
Z
Imax = arccos √
k a
となる. 一方, 離心率は
emax =
1−
Z2
k2 a
と制限される. 最大値は I = 0 のときに実現される. a と Z を固定すると, 図 8 に示し
たように, 平均ハミルトン関数 H は (e cos ω, e sin ω) 平面の e = emax で限られる領域
で定義される. しかし, e < emax に含まれる交差線部分の上で, (, ) での平均からは
improper 積分が出る. 衝突が次数 1 の極なのでこれは収束する. Z = 一定 曲面上では
軌道傾斜角 I は e の関数であって消去できる.
平面の場合と同様 (2.4 節を見よ), 運動方程式に現われるハミルトン関数の微分は衝
突時に次数 2 の極特異性を持つ. だから, 平均方程式は交点交差線に沿っては定義され
ない (少なくとも絶対収束する積分をもっては).
12
図8
この節の目的は, 平均ハミルトン関数 H によって指定され, すべての時間にわたって
解を持つ一般化 (滑らかでない) 微分方程式を定義することが可能であることを示すこ
とである.
3.1. Wetherill 近似
平面の場合と同様, 惑星の軌道 C⊕ は円で e = I = 0, 半径は a とする. 小惑星の接
触軌道 East はゼロでない軌道傾斜角 I = 0 を持つとする. すると, East 上に 2 点 P, Q,
C⊕ 上に 2 点 P , Q があって, それぞれ交点線に乗っており, P, P は太陽に関して Q, Q
の反対方向にある. 組 (P, P ) に注目しよう. これは相互昇交点 (構成法は Q, Q につい
ても同じ) であるとする. 記法を簡単にするため, dnod = d+
nod を導入する.
r, r は P において East に接する直線と, P において C⊕ に接する直線であるとする
(図 9). これらの線は , によってパラメータ化されているとする. 2 つのパラメータ
の値および P, P における微分は, 接触軌道に沿っての , (平均近点離角) の値および
それに関する微分と同じであるようにする.
D は C⊕ 上の点と East 上の点の距離とする. これは平均近点離角 , の関数である.
d は Wetherill(1967) におけるように, 直線 r 上の点と直線 r 上の点の距離とする. これ
もパラメータ , の関数である. d1 は他の 2 つの直線上の点の距離とする. これは交点
Q, Q の組から同様にして構成される.
発想は, ふたたび Kantorovich 法を使って, T = [0, 2π] × [0, 2π] 上で
∂
∂e
T
1
∂
dd および
D
∂ω
を計算することである.
13
T
1
dd
D
図9
3 次元の場合には, もうひとつの微分がある. すなわち,
∂
∂I
T
1
dd.
D
ハミルトン方程式においては
∂
∂G
T
1
1
(1 − e2 )1/2 ∂
dd = − √
dd+
2
D
e k a ∂e T D cos I
1
∂
+
dd
2
2
∂I
D
T
sin I k a(1 − e )
を計算しなければならない. しかし簡単な計算でわかるように
∂
∂I
T
1
dd
D
は 1 次の極特異性を持つので, Kantorovic 法を使わずに計算できる.
, は点 P, P に対応する平均近点離角であるとする. 交点 P, P において交点交差
が起こるとき, D も d も (, ) = (, overline ) においてゼロである. (e cos ω, e sin ω)
面のこのような交点交差の近傍において, 分解
1
∂
1
1
1
∂
∂
dd =
dd +
−
dd
∂e T D
∂e T d
∂e T D d ∂
∂
1
∂
1
1
1
dd
dd =
dd +
−
∂ω T D
∂ω T d
∂ω T D d
を使う.
1/d の積分が 1/D の積分よりいいのは, d2 が単純な解析表現を持つことである.
ξ = − ;
ξ = − ;
14
ξ = (ξ , ξ)
を定義する. また 2 本の直線の間の距離
d2 = d2nod + a2
1 + e cos u 2
ξ + a2 ξ 2 − 2ξξ (Ga cos I) − 2ξdnod F,
1 − e cos u
を定義する. ただし,
sin u cos ω + (1 − e2 )1/2 cos u sin ω
F = F (e, ω) = a
,
1
−
e
cos
u
− sin u sin ω + (1 − e2 )1/2 cos u cos ω
G = G(e, ω) = a
1 − e cos u
である.
ベクトル–行列表現では,
d2 = ξ · Aξ + B · ξ + d2nod
となる. ここで, 行列 A とベクトル B は (a, e, ω, I, a) の係数関数を持つ:
2
A11 = a ,
B1 = 0,
A12 = A21 = −Ga cos I,
2
A22 = a
1 + e cos u
,
1 − e cos overlineu
B2 = −{a[(cos u − e) cos ω − (1 − e2 )1/2 sin ω sin u] − a }F.
平面の場合 (3) と違って, 自乗距離 d2 は非同次の 2 次形式である. 行列 A は I = 0 な
らつねに非縮退である. 不等式
1 − cos2 I sin2 ω ≥ cos2 I cos2 ω,
1 − cos2 I cos2 ω ≥ cos2 I sin2 ω
を使う. ここで, 等式は I = 0 のときのみ成り立つ. すると, 不等式
det(A) ≥
2
a2 a2 cos I 2 1/2
sin
u
cos
ω
+
(1
−
e
)
cos
u
sin
ω
≥0
(1 − e cos u)2
(11)
が導ける. ここで係数は u, すなわち, 平均近点離角 に対応する交点 P の離心近点離
角の関数であり, u と overline は (a, e, ω, I, a) の滑らかな関数である.
こうして, I > 0 に対して, A の行列式は常に正である. この非縮退性は幾何学的に
解釈できる. というのは, 2 本の直線 r と r は平行に成り得ないからである. I = 0 の場
合, 非縮退条件は 2.1 節で議論したものに帰着する.
3.2. 解析積分
平均を取る際の被積分関数を簡単にするため, 2 次形式 d2 の線形項を消去するための
座標変換を探す. 非同次 2 次形式
Q(ξ) = ξ · Aξ + B · ξ + C,
15
が与えられたとき, 変換
ξ = Ty + S,
(12)
により線形項を消去する. ただし, S = (S1 , S2 ) ∈ R2 , y = (y1 , y2 ) ∈ R2 であり, T は
2 × 2 行列である. 線形項が消去できるのは
2AS + B = 0
(13)
のときである.
y 座標でさらに簡単な形 y12 + y22 に 2 次形式を帰着するために, 行列
⎛
⎞
⎜
1/τ −σ/τ ρ ⎟
⎟
T=⎜
⎝
0
⎠
1/ρ
を使うことができる. ただし,
τ=
√
A11 ,
ρ=
detA
,
A11
σ = A12
1
A11
変換 (12) のあとで,
d2 = y12 + y22 + C̃
となる. ただし, 定数 C̃(ξ に関する) は
1
C̃ = d2nod + S · AS + B · S = d2nod + B · S
2
である. これは 2 本の直線 r と r の間の最小距離の 2 乗を表す. この最小距離は一般に
交点距離より小さいが, ゼロになるのは交点距離がゼロのときのみである. だから 1/d
にはおかしな (spurious) 特異性は出てこない
積分を計算するには, 関数 1/D が と に関して周期的であることを利用する. こう
して, 移動後トーラス
T̃ = [−π + S1 + , π + S1 + ] × [−π + S2 + , π + S2 + ]
の上での積分を行なっても結果は変わらない. 積分区間の端点は (a, e, ω, I, a) の関数
である. このようにして, 特異性は原点 y = 0 においてのみ生じ得る. 積分長方形の境
界に沿っての特異性は避けることができている.
摂動関数の積分は (定数因子を除いて)
I=
=
π+S1 + π+S2 +
−π+S +
−π+S2 +
π+S11 π+S2
−π+S1
= Δ
R
−π+S2
1
dd
d(, )
1
dξdξ d(ξ, ξ )
(y12 + y22 + C̃)−1/2 dy1 dy2
16
である. ここで Δ = 1/|στ | であり, 積分領域 R はアフィン変換 y = T−1 (ξ − S) による
T̃ の平行四辺形である. 対称性 (y1, y2 ) → (−y1 , −y2 ) を利用すると計算はもっと簡単に
なる:
I = 2Δ
(y12 + y22 + C̃)−1/2 dy1dy2
R1
ここで R1 は R のうち y2 ≥ 0 の部分である. 極座標を使うと,
I = 2Δ
S
r
r2
drdθ
+ C̃
となる. S は R1 に対応する領域である. r に関する積分は初等的であって
3
I = 2Δ
θi+1 !
C̃ +
i=1 θi
ri2 (θ)
−
"
C̃ dθ
を得る. ここで, 角度 θi は極座標で積分領域のかどを定義する:
0 = θ1 ≤ θ1 ≤ θ3 ≤ θ4 = π, tan θ2 =
ρ
ρ
, tan θ3 =
,
σ+τ
σ−τ
また関数 ri (θ) は平行四辺形 R1 の辺をパラメータ表示する:
r1 (θ) =
πτ
−πρ
−πτ
, r2 (θ) =
, r3 (θ) =
.
cos θ − σ/ρ sin θ
sin θ
cos θ − σ/ρ sin θ
θ に依存しない部分を平均することによって, 積分計算は次のようになる:
3
I = 2Δ
i=1
θi+1
θi
C̃ + ri2 (θ)dθ − π C̃ .
(15)
積分記号の部分は楕円積分であり
√, これは軌道要素 (a, e, ω, I, a ) の滑らかな関数であ
C̃ に集中する. 交点距離 dnod がゼロのとき, 直線 r
る. 正則性の問題はすべて有限項
√
と r の間の最小距離 C̃ もゼロになり, 自乗根は正則な関数でなくなり, いくつかの要
素たとえば e, ω に関するその微分は交点交差において存在しなくなる.
3.3. 積分の微分
平均摂動関数の解析的性質に関して結論を出すためには, 残余関数の性質を知る必要
があり, また式 (15) に現われる楕円積分の性質をいくつか知る必要がある. この節で
は, 交点交差 P = P はもうひとつの交点交差 Q = Q とは同時に起こらないと仮定す
る (これにより, a = a(1 − e2 ) および ω = ±π/2 の高々2 点が排除される).
ステップ 1: 残余関数 1/D − 1/d はトーラス T̃ で制限されている (limited). だからトー
ラス上で絶対積分可能であり, 積分は変数 (eω) に関し連続である.
このステップは 2.3 節の平面の場合と厳密に類似している. 交点交差があれば, 2 次形
式 d2 は平面の場合と同様同次であり, (v, v ) 面を直線に沿って調べまわることにより,
(5) に形式的に同一な方程式を得る. 分母 g(λ) は (6) のようである. 係数が異なる表式
17
を持つ. 今回は (a, e, ω, I, a) の関数である. 分母 g(λ) は 3 次元の場合も非ゼロである.
なぜなら, その判別式は detA を含むが, これは軌道傾斜角がゼロでないときはゼロに
ならない ((11) 式を見よ).
残余関数は有界でほぼいたるところ連続であるから積分可能である. その上, 平面の
場合と同様, (e, ω) 面のコンパクトな部分集合において一様に有界である. このことか
ら積分の連続性が出る (Fleming, 1964 を見よ).
ステップ 2: 残余関数の偏微分
1
∂ 1
∂
−
,
∂e D d
∂ω
1
1
−
,
D d
はトーラス T̃ 上で次数 1 の極特異性のみを持つ.
このステップは平面の場合と厳密に類似している. 自乗距離 D 2 と d2 の偏微分は衝
突点の近傍でテーラー級数に展開され, 1 次の項は一致することがわかる. (7) 式におけ
るのと同じ議論を使って, 2 次の極特異性の係数も相殺する.
ステップ 3: 積分記号下の微分
このステップは平面問題よりやや込み入っている. なぜかというと, 移動後トーラス
T̃ の定義, すなわち, 平行移動 S の定義 (13) により, 変数 eω への積分領域の依存性が
導入され, そのため, 偏微分に新たな項が付け加わるのである. すなわち, e に関する微
分は
f2 g 2 1
∂
1
−
dd
∂e f1 g1 D d 1 1 ∂f2 g2 1
∂f1 g2 1
−
−
=
d −
d+
∂e g1 D d =g2
∂e g1 D d =g
1
f2
1 1 ∂g2 1
∂g1 1
−
−
−
d +
+
∂e D d =g2
∂e D d =g1
f1
f2 g 2
1
∂ 1
−
+
dd
d
f1
g1 ∂e D
であり, ω に関する微分も同様である. 積分区間の両端は式 (14) で定義され, (e, ω) の
滑らかな関数である. それらの微分には連続関数がかかる.
ステップ 1–3 で使ったのと同じ議論を差 1/D − 1/d1 に適用できる. その際, トーラ
スの平行移動は同じではない. 交点交差する直線が交わるとき, 二重交差点 (両方の交
点が同時に惑星軌道に接する) において, 計算は複雑になるが結果は変わらない.
√
ステップ 4: Wetherill 近似の積分 (15) は, 項 2πΔ C̃ を除いて, e, ω の滑らかな関数で
ある. ここで関数 δ は滑らかであるから, 滑らかでない項はただひとつ
1/2
1
a2 a2 e2 sin2 ω
+ Bt S = |dnod | 1 −
C̃ =
2
(1 − e2 )det(A)
√
である (もっと詳しく言うと, |dnod | は C̃ の非滑らか因子である).
交点交差に対応する e, ω の平均値は
d2nod
1−
a4 (1 − e2 ) 2
a2 a2 e2 sin2 ω
=
sin I
(1 − e2 )det(A)
det(A)
18
である. だから, 積分 (15) の非滑らか部分は I → 0 のときゼロに向かう. これは平面の
場合の正則性と無矛盾である. ただ I → 0 のときの極限は特異である. Z 積分の値を
決めたとき, I = 0 面内に唯一の直線 e = 一定 がある. この曲線は Z = 一定 曲面内の
曲線を (e cos , e sin ) 平面に射影した極限である. ただし, I → 0 のとき ω + Ω → である. しかし, Z = 一定 曲面は I = 0 平面に横断的でない.
3.4. 平均ハミルトン関数の正則性
交点交差がないとき, 平均ハミルトン関数 (8) は, e, ω の関数として開集合 W =
{0 < e < emax } 内で 滑らかである. e = 0 のとき, 座標特異性がある. この特異性
は (e cos ω, e sin ω) に似た非特異座標を使っても取り除けるはずである. e = emax に対
しては I = 0 を得, 平面の場合に帰着する.
W において交点交差が起こるとき, W̃ = ∪Wi は非交差点の開集合であるとする. Wi
は開連結成分 (たとえば, 図 8 には 3 つの成分がある) である
. 古典的な議論により, H
√
は W̃ 上でなめらかであり, 積分 (15) 式内のすべても, C̃ を除いて W 上で滑らかであ
√
る. こうして, |dnod | のふるまいを解析するだけでよい. これは (16) によれば C̃ の非
滑らか因子である. これは距離であり, 比較的単純なふるまいをする.
2 つの交点距離からひとつ, たとえば昇交点を選ぶ. すなわち, dnod = d+
nod と取る. 交
点距離は (e cos ω, e sin ω) 面の dnod = 0 なる円の内部では正, 外部では負である. とく
に各連結開集合 Wi 上で一定符号を持つ. W̃ 上で滑らかな任意の関数 f に対して,
∂+
∂+
f,
f
∂e
∂ω
は, dnod > 0 なる W̃ の部分 W + 内で計算した微分であるとし,
∂−
∂−
f,
f
∂e
∂ω
は, dnod < 0 なる W̃ の部分 W − 内で計算した微分であるとする.
この定義を積分 (15) 式に現われる項 |dnod | に適用する. 定義 (9) からの explicit な計
算により,
∂+
a[cos ω(1 + e2 ) + 2e]
|dnod | = −
∂e
(1 + e cos ω)2
+
a(1 − e2 )e sin ω
∂
|dnod | =
∂ω
(1 + e cos ω)2
を得る. これらの関数は limited であり, したがって W + の W における閉包へと拡張
できる. そのい表現からわかるように, これらは W 内の W + の境界上でも滑らかであ
る. 一方,
∂−
a[cos ω(1 + e2 ) + 2e]
|dnod | =
∂e
(1 + e cos ω)2
+
∂
a(1 − e2 )e sin ω
|dnod | = −
∂ω
(1 + e cos ω)2
である. これらの関数は limited であり, したがって, 滑らかな仕方で W − の W におけ
る閉包へと拡張できる. しかし, 拡張は交点交差線の上で一致しない. 上の公式から, 2
19
つの拡張が逆 (opposite) である (しかも一般に非ゼロ) ことをチェックできる. こうし
て, われわれは次の結果を証明した.
定理 3. 3 次元の場合の平均ハミルトン関数 H は W 内の W + および W − の閉包上で滑
らかである. W 上では滑らかでない. しかしそのレベル線はかどおよび/あるいはカス
プを交点交差線上に持つ. かどは e → emax (つまり, i → 0) のときに π に向かう角度を
定義する.
平均ハミルトン関数 H によって定義されるハミルトン方程式の解の存在について結
論づけることができる. 方程式の右辺は交点交差線上で定義されない. しかし, W + お
よび W − 上で定義された滑らかな解曲線で (滑らかな仕方で) 交点交差線に終るものは
区分的に滑らかな曲線へと拡張可能である. これは一般解と考えることができる. この
意味で, W のどの点を通っても一意の解がある. 例外は二重交差点 (両交点で同時の)
であり, ここでは本理論は適用できない.
4. 例
3 節で述べた理論を説明するために, きちんと計算した例を見せよう. H の区分的に
滑らかなレベル曲線を示す. これをするには求積のアルゴリズムを選び, 角変数 , の
トーラスにわたる二重積分を使って数値計算し, 適当なコンピュータ・グラフィックス
も必要である.
4.1. 数値積分およびグラフィクス
平均ハミルトン関数 H を計算するのに, 公式 (15) を使えばできる. 超幾何級数を使っ
たり, 楕円積分を変数 θ で数値求積すればよい. しかし, H を計算するのにこれは必要
ない. というのは, 絶対収束する improper 積分を数値的に計算するための有名なアル
ゴリズムがあるからである. これらは, 変換せずに積分 (8) に直接適用できる. 3 節で導
入されたアルゴリズムは H の微分を計算するときにのみ, したがってハミルトン方程
式の右辺を explicit に計算するとき, たとえば与えられた初期条件を通る解を計算する
ときに本質的である.
公共使用に供されているライブラリー QUADPACK を使って計算した. これは Gauss–
Kronrod 求積公式 (Piessens et al., 1983) の adaptive form を使っている. 入れ子になっ
たルーティン dqags を 2 回呼ぶ. これで二重積分としてのトーラス上の積分 (15) を計
算する.
QUADPACK の採用するアダプティブアルゴリズムは「被積分関数のふるまいが非
常に悪い」とか「積分はおそらく発散する」とか「ゆっくり収束する」とかの警告を
発することができる. 軌道傾斜角がちいさいとき, これが実際生じた. このような警告
をかなり減らすことができた. また軌道傾斜角をゼロから離すことにより計算時間も
大いに減らすことができた. すなわち, ある小さな > 0 を使って cos I < 1 − とした.
各図は a と (10) で定義される積分 Z を与えたときの平均摂動関数 R を示す. われわ
れが書いた単純なソフトウエアにより, 2 つ (またはそれ以上の) 惑星の摂動ポテンシャ
ルを足し合わせることができる. 計算に入れた惑星をすべて考慮したときに交点交差
線があれば, それは示される. ω の値は, 0 と π/2 の間に限られる. なぜなら, 関数 R は
20
ω に関しても周期 π で周期的だからである. 図 10 と 11 では, 関数のグラフを曲面とし
て示した. 座標 (ω, e, R) の 3 次元空間網目で近似してある. R のレベル線は (ω, e) 面に
も現われる.
図 10.
4.2. 4 つのテストケース
√
最初の例は, 木星と土星の間の軌道半長径を持つ軌道である. 積分 Z = k a cos Imax
の値の選び方としては, Imax 30◦ とし, emax は近日点が木星の内側, 遠日点が土星の
外側になるようにした. 両惑星との交点交差線上の平均摂動関数の非なめらかなふる
21
まいは図 10 によく見える. 非なめらかな線をグラフィックスで表現することはむずか
しいが. 交点交差線に沿っての angular 点およびカスプが見える.
図 11.
この例は, センタウルス型の軌道の可能なふるまいの近似を表現している. 意外な様
相も見える. Kozai 共鳴である. 今の場合, ω が 40◦ のまわりを非対称的に秤動する.
また ω = 90◦ 付近に web–shaped 曲線がある. この中には木星との昇交点および降交点
交差がある. これが避けられることなく周期的に繰り返される. 後者を「ロシアンルー
レット」秤動と呼ぶ. というのは, これらの軌道はある危険を伴うからである. 非平均
軌道がこのような状態に長く留まることは考えにくい. 近接衝突の確率が非常に高い
22
からである. その上, 読者に警告しておくが, 強い摂動の場合, この理論で使われる近似
はあらっぽ過ぎる. とくに e = 0 の場合がそうである.
第二の例は, 地球と金星軌道を横切るアテネ型小惑星 (2100)RaShalom である. この
場合も, 交点交差は起こさないが木星と土星は摂動関数に組み入れる. 図 11 が平均摂
動関数のグラフ (上) である. 交点交差線が 3 本見える. 2 本は地球と, 1 本は金星と, で
ある. そこでは曲面は滑らかでない.
同図 (下図も) のレベル曲線によると, 巨大惑星からの摂動の結果, 近日点引数 ω はい
つも周回する. 3 節で定義した「一般的な意味で」, ハミルトン関数を H とするハミル
トン方程式の解, 近日点の歳差周波数は well–defined である (??).
この小惑星は他にも面白い性質を持つ. しばしば, 地球との交点交差の近くの平均運
動共鳴 (Toro 状態) に捉えられる (Milani & Bacelli, 1998). すなわち, 交点距離がゼロ
線を通過するのに, 地球との近接衝突の確率は従来の統計理論からは出ない.
第三の例では, 火星交差小惑星 (1866)Sisyphus の接触要素と一致する a と Z の値を
選ぶ. Sisyphus の q = a(1 − e) は 1AU より小さいので大変興味深い. ただ交点交差は起
こらない. この防御機構は Milani et al.(1989) によって Kozai 類と分類された. 図 12 の
摂動関数のレベル線によれば, ω 秤動と強い e-ω 結合の可能性がある. これは Kozai 類
のふるまいを説明する. しかし, ω 秤動は木星の摂動関数によって駆動されており, 地
球の効果は小さい. また火星の効果はほぼ無視できる. だから, 地球や火星との交点交
差の線に沿ってのレベル曲線のかどは π に近く, 図ではよく見えない.
第四の例は, 木星族の周期彗星 49P/Arend–Rigaux の今の軌道要素を採用する. これ
は典型的な木星交差軌道であり, 交点交差線に沿ってのレベル線のかどは図 13 でよく
見える. この軌道は火星交差でもあるが, 火星の質量は小さいので, 全摂動関数への影
響は小さい.
5. 結論および将来の研究
惑星交差軌道の永年摂動問題は答えのない謎ではなくなった. 一意の解を持つ平均
問題を数学的に健全に定義できる. 証明は構成的であるから, これらの解や対応する近
日点や交点の周回の固有周波数を計算する well-defined なアルゴリズムがある.
仕事は 2 つの意味でまだ終っていない. まず, 平均化方程式 (ハミルトン関数 H) の
右辺を計算するために定義したアルゴリズムは, いくつか improper 積分を含んでいる.
これらは絶対収束であるが, 数値的に安定なアルゴリズムを定義する必要がある. 効率
的なアルゴリズムを定義し, それを信頼できるソフトヱアとして実体化することは可能
であるが, それを実現する必要がある.
次に, 平均化方程式の解と真の解の平均との差をまだ見積もっていない. 後者は厳密
に定義されてもいない. 著者の信ずるところによれば, 数値計算によってのみ, どの場
合に, そしてどの程度の精度で平均化方程式が解の真のふるまいを表現するかを知るこ
とができる. 決定的な質問は, 平均化方程式によって計算された永年共鳴の場所が, も
との方程式の相空間に存在する永年共鳴領域をどの程度予測できるか, である.
これらはわれわれが行うべき挑戦である.
23
図 12, 13.
24
参考文献
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SNTL, Praha.
[2] Fleming, W.H. : 1964, Functions of Several Variables, Addison-Wesley.
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theoretical perturbation approach and the problem of their location’, Celest. Mech.
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