2009 年度「基礎数学」
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図形への応用
(1) 円のパラメーター表示
原点を中心とする半径 r の円周上の点 P(x, y) は
⎧
⎨ x = r cos θ
(0 5 θ < 2π)
⎩ y = r sin θ
で表される。
これを,円のパラメーター表示 (媒介変数表示) と言う。
(2) 直角三角形への応用
右図のような直角三角形において
a = r cos θ
b = r sin θ
b = a tan θ
が成り立つ。つまり,
(横の長さ)=(斜辺;半径)×(コサイン;横軸)
(縦の長さ)=(斜辺;半径)×(サイン;縦軸)
(縦;上がった長さ)=(横;進んだ長さ)×(タンジェント;傾き)
三角比とは,これらの式を分数 (比の値) の形で表したものである:
a
b
b
, sin θ = , tan θ =
r
r
a
(3) 一般三角形への応用
cos θ =
三角形 ABC の 3 つの内角の大きさを A, B, C(斜体大文字) で表し,各頂点と向かい合う
辺の長さをそれぞれ,a, b, c で表す。
(ⅰ) 正弦定理「一辺とその両端の角」
三角形 ABC の外接円の半径の長さを R とすると
a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C
(証明)
三角形 ABC の外接円の中心を O とし,辺 BC が x
軸と垂直に交わる (交点を M とする) ように座標軸
を設定する。点 M の定め方から
∠MOC =
1
1
∠BOC, MC = a
2
2
円周角の定理から,∠MOC = A がわかるので,点 C
の座標は
C(R cos A, R sin A)
一方,この y 座標は MC の長さに等しいので,
1
a
2
a
∴ 2R =
sin A
b
c
同様にして 2R =
が得られる。(証明終わり)
=
sin B
sin C
R sin A =
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