結び目理論を通して
見る
メビウスの帯
大阪府立天王寺高等学校
糸数達弘 田中謙伍 田中勇介
動機
高大連携授業の一環として、大阪市立大学で
『結び目理論』を学んだこと
理論物理学や生化学、天文学など多岐にわたる
応用分野の広さに感心したこと
部活動での出来事
「メビウスの帯が同じ」とは・・・
「変形すると
メビウスの帯が
⇔
互いに重なる」
位相的に同じ
”変形”
動かす
伸び縮み
切ったりしない
帯に厚さはない
研究の目的
『右ひねりのメビウスの帯と
左ひねりのメビウスの帯は
位相的に同じか』
について考える
ヒモ(輪)
”ヒモ” とは・・・
ヒモに両端があれば結び目が解けてしまう
ので、両端の閉じた輪を考える。
結び目
絡み目
1つのヒモから成る 2つ以上のヒモから成る
(3)
(4)
(例)
(例)
(1)自明な結び目
(3)ホップ絡み目
(2)三つ葉結び目 など (4)ホワイトヘッド絡み目 など
このヒモをほどくと?
ライデマイスター移動
この3つの移動の組み合わせよって
ヒモ(結び目・絡み目)の変形がすべてできる
ライデマイスター移動の例
メビウスの帯を区別する
右ひねり
左ひねり
輪が1つでは区別できない
輪2つで考える!!
輪2つで考える!
2つの輪は、”絡み目”になる
左ひねり
変形
右ひねり
変形
交点を区別する
ヒモに向きをつける(向きのつけ方は自由)
互いに異なる2種類の交点ができる
㊧
㊨
㊨と㊧の個数を数える
R1・R2・R3の前後で、㊨と㊧の個数がど
う変化するのかを調べる
㊨と㊧の個数の増加を
< ㊨の増加、㊧の増加>で表すことにする
R1について
R1
異なるヒモからでき
る交点(絡み点)だ
けに注目するので
<㊨の増加、㊧の増加>
=< 0 , 0 >
R2について
<㊨の増加、㊧の増加>
のとき
<-1、-1>
のとき
<+1、+1>
R3について
㊧
㊨
㊧
㊧
㊨
㊧
<㊨の増加、㊧の増加>=<0,0>
絡み点の個数の増加は
R1、R3で、< 0 , 0 >
R2で、<+1, +1>または<-1,-1>
初めの絡み点の数を
( ㊨の数、 ㊧の数)=(a,b)
㊨の数- ㊧の数= a-b
とすると
どのように変形しても絡み点の数は
( ㊨の数、 ㊧の数)=(a+n,b+n) (nは整数)
どのように変形しても
㊨の数- ㊧の数= a-b
となり変化しない
「㊨の数-㊧の数」の」計算例
① 向きを付ける
② 異なるヒモの交点だけをかぞえる
㊨
㊨
( ㊨の数、 ㊧の数)=(2、0)
「㊨の数-㊧の数」は 2
左ひねり
右ひねり
「㊨の数-㊧の数」を計算する
右ひねり
㊨
㊨
左ひねり
㊨
㊨
㊧
㊧
㊧
㊧
( ㊨の数、 ㊧の数)=(4、0) ( ㊨の数、 ㊧の数)=(0、4)
「㊨の数- ㊧の数」= +4 「㊨の数- ㊧の数」= -4
右ひねりの「㊨の数- ㊧の数」は+4
左ひねりの「㊨の数- ㊧の数」は-4
右ひねりのメビウスの帯と
左ひねりのメビウスの帯は
位相的に違う
続いて、
n回ひねりのメビウスの帯
について考える
左ひねり
右ひねり
右n回ひねりのメビウスの帯
「㊨の数- ㊧の数」=+4n
左n回ひねりのメビウスの帯
「㊨の数- ㊧の数」=-4n
右n回ひねりメビウスの帯と
左n回ひねりのメビウスの帯
は位相的に違う
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