自動定理証明の紹介
~Proof Summit~ 2011-09-25
酒井 政裕
自己紹介
酒井 政裕
• Blog: ヒビルテ
• Twitter: @masahiro_sakai
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Haskeller
Agda: Agda1のころ遊んでた
Coq: 最近入門
最近、Alloyの本を翻訳
Alloy本
『抽象によるソフトウェア設計
Alloyではじめる形式手法』
• オーム社より
好評発売中!
このLTの趣旨
CoqとかAgda
の話ばかりで
ツマラン
ので、息抜きにちょっとは違う話を
話したかったこと
• 自動定理証明
–Automated Theorem Proving
• モデル発見
• 色々な Decision procedure
• SAT/SMT
CoqやAgdaへのイチャモン
• 自分が考えた証明を形式化し、
正しさを確認したり、
リファクタリングしたりには便利
• だけど、何かを証明したいときに、
本当に支援になるのか?
CoqやAgdaへのイチャモン
そもそも
機械に分からせるために、
細部まで証明を書くなど
機械の奴隷
では?
対話的定理証明
vs 自動定理証明
対話的定理証明
自動定理証明
ツール
Coq, Agda, …
自動化
古典論理?
人間が証明を書
き、それをツー
ルが検査。
直観主義論理
E, SPASS, Otter,
…
ツールが証明を
探索。人間はそ
れをガイド
古典論理
高階/一階
高階
一階
多分この辺り
Comparing mathematical provers
(by Freek Wiedijk, 2003) より
•数学的な表現力は弱い
•が、その分自動化され
ている!
自動定理証明器
• Otter
– 自動定理証明器が有名になるきっかけになった
証明器
• SPASS
– 様相論理などもサポート
• E
– The E Equational Theorem Prover (eprover)
• 他にも沢山
– Prover9, Vampire, Waldmeister, …
簡単な例: ソクラテスは死ぬ
(SPASS)
begin_problem(Sokrates1).
list_of_descriptions. ヘッダ
name({*Sokrates*}).
author({*Christoph Weidenbach*}).
status(unsatisfiable).
description({* Sokrates is mortal and
since all humans are mortal, he is
mortal too. *}).
end_of_list.
list_of_symbols.
functions[(sokrates,0)].
predicates[(Human,1),(Mortal,1)].
end_of_list.
公理
list_of_formulae(axioms).
formula(Human(sokrates)).
formula(forall([x],implies(Human(x),M
ortal(x)))).
end_of_list.
証明したいゴール
list_of_formulae(conjectures).
formula(Mortal(sokrates)).
end_of_list.
end_problem.
関数・述語とアリティの宣言
簡単な例: ソクラテスは死ぬ
(SPASS)
% SPASS -DocProof Socrate.dfg
(中略)
Here is a proof with depth 1, length 5 :
1[0:Inp] || -> Human(sokrates)*.
2[0:Inp] || Mortal(sokrates)* -> .
3[0:Inp] Human(U) || -> Mortal(U)*.
4[0:Res:3.1,2.0] Human(sokrates) || -> .
5[0:MRR:4.0,1.0] || -> .
Formulae used in the proof : axiom0
conjecture0 axiom1
簡単な例: ソクラテスは死ぬ
(SPASS)
Human(U) || -> Mortal(U)*.
|| Mortal(sokrates)* ->
ゴールの否定
公理2
Res
Human(sokrates) || ->
|| -> Human(sokrates)*
公理1
MRR
|| ->
矛盾
表現力の弱さ
• 有限個の公理のみ & 一階
• たとえば、数学的帰納法は公理化不能:
P(n) ∧ (∀n. P(n)→P(s(n))) → ∀n. P(n)
• 各述語Pに対して公理がひとつ必要
• 高階なら ∀P : N→Prop. ~ として、
単一の公理で公理化できる
例: 自然数の加算の結合性
(E / TPTP)
fof( plus_z, axiom, ![X] : plus(X,z)=X ).
fof( plus_s, axiom, ![X,Y] : plus(X,s(Y))=s(plus(X,Y)) ).
!は∀
fof( plusAssocP_def, axiom, ![X,Y,Z] : (
plusAssocP(X,Y,Z) <=>
(plus(plus(X,Y),Z)=plus(X,plus(Y,Z)))
帰納法の
) ).
インスタンスを
fof( plusAssocP_ind, axiom, ![X,Y] : (
明示的に公理に
(plusAssocP(X,Y,z) &
(![Z] : plusAssocP(X,Y,Z) => plusAssocP(X,Y,s(Z))))
=> ![Z] : plusAssocP(X,Y,Z)
) ).
fof( plus_assoc, conjecture, ![X,Y,Z] : plus(plus(X,Y),Z) =
plus(X,plus(Y,Z)) ).
eprover -l 2 --tptp3-format nat1.tptp
TPTP
• Thousands of Problems for Theorem
Provers
– http://www.cs.miami.edu/~tptp/
• ATP向けの諸々を提供
– 問題セット
– 入力ファイルフォーマット
– 各種ユーティリティ
• 証明を見やすく表示したり、他のツール用に変換したり
といったツールもあった気がするが、忘れた
• SATLIB, SMTLIB, MIPLIB等のATP版
応用: プログラム検証Jahob
チャレンジ
Seven Trees 問題
• 関数記号: +, ×, T
• 公理: 半環の公理 + {T = 1 + T2}
• ゴール: T = T7
• あなたの使っている定理証明系は、
こういうのを解くのを支援してくれる?
自動定理証明器に
解かせてみた (1)
fof( coprod_comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) =
coprod(Y,X) ).
fof( coprod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z)) =
coprod(coprod(X,Y),Z) ).
fof( prod_comm, axiom, ![X,Y] : prod(X,Y) = prod(Y,X) ).
fof( prod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,prod(Y,Z)) =
prod(prod(X,Y),Z) ).
fof( dist, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,coprod(Y,Z)) =
coprod(prod(X,Y),prod(X,Z)) ).
fof( prod_unit, axiom, ![X] : prod(one, X) = X ).
fof( t, axiom, t = coprod(one, prod(t, t)) ).
爆発
fof( seven_trees, conjecture, t =
prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,t)))))) ).
自動定理証明器に
解かせてみた (2)
fof( comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) = coprod(Y,X) ).
fof( assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z)) =
coprod(coprod(X,Y),Z) ).
fof( t1, axiom, t1 = coprod(t0, t2) ).
fof( t2, axiom, t2 = coprod(t1, t3) ).
fof( t3, axiom, t3 = coprod(t2, t4) ).
fof( t4, axiom, t4 = coprod(t3, t5) ).
fof( t5, axiom, t5 = coprod(t4, t6) ).
fof( t6, axiom, t6 = coprod(t5, t7) ).
fof( t7, axiom, t7 = coprod(t6, t8) ).
fof( t8, axiom, t8 = coprod(t7, t9) ).
解けた
fof( seven_trees, conjecture, t1 = t7 ).
チャレンジ:
Otterが有名になった例
• Two inverter problem
– 3入力3出力の組み合わせ回路で、各出力が対応す
る入力の否定になっているものを作れ
– ただし、andとorは何個使ってもよいが、notは2
個しか使えない
• OtterはPrologのメタ述語のような機能を
持っていて、それを利用して解いた
– (今の一般的な定理証明系では使えない)
• あなたの使っている定理証明系は、
こういうのを解くのを支援してくれる?
CASC
• The CADE ATP System Competition
– http://www.cs.miami.edu/~tptp/CASC/
– CADE(the Conference on Automated
Deduction)で毎年やってるコンペ
• CASC-23 (2011) の勝者:
THF: Satallax 2.1
CNF: E 1.4pre
TFA: SPASS+T 2.2.14
EPR: iProver 0.9
FOF: Vampire 0.6
UEQ: Waldmeister 710
FNT: Paradox 3.0
LTB: Vampire-LTB 1.8
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PPT - 酒井 政裕 (SAKAI Masahiro)