場の量子論2002
場の量子論2002
deSitter energy?
白水徹也(東工大
)
Shiromizu, Nakao, Kodama and Maeda, PRD47, 3099(1993)
Nakao, Shiromizu and Maeda, CQG 11, 2059(1994)
Shiromizu, PRD49, 5026(1994)
Kastor and Traschen, CQG13, 2753(1996)
Shiromizu, PRD60, 064019(1999)
Shiromizu, Ida and Torii, JHEP11, 010(2001)
Kastor and Traschen, hep-th/0206105
Kastor, Shiromizu and Traschen, in progress
Outline
1.何故いまさらdeSitter
2.deSitter時空
3.deSitterエネルギー?
1.何故いまさらdeSitter
横山順一氏(大阪大学)曰く
始めも終わりもインフレーション
K.Sato, Guth,…
Inflation, Dark energy
≈
Perlmutter et al
positive cosmological constant Λ > 0
始めも終わりもdeSitter
Wittenの講演@String2001
Witten
PP
-wa
ve
Horava
基礎的な問題点
n
超対称性との相性?
Pilch, van Nieuwenhuizen and Sohnius(‘85)
n
deSitter entropyの意味?
deSitter/CFT対応 Strominger(`01) ,…
n
deSitter energy? 「超対称性」との関係
Abbott-Deser energy (`81), …, Shiromizu Ida and
Torii(`01),Kastor and Traschen(`02)
deSitter entropy
宇宙の地平線
エントロピー
ホーキング輻射のようなものが存在
Gibbons and Hawking(`77)
1
S = Ach
4
素朴には地平線
の外側の自由度
Ach = 4πH −2 = 12πΛ−1 (地平線の面積)
cf)インフレーション中の宇宙の揺らぎの種
導出
Euclidean deSitter
分配関数
12πΛ−1
Z ≈e
F = −T ln Z = M − TS
4次元球
M =0
S ≈ 4πH
−2
Strominger(’01)
adS/CFTからdS/CFTへ
adS
ds 2 = dy 2 + e 2 y / l (−dt 2 + δ ij dxi dx j )
l = −3/ Λ
Λ < 0 → Λ > 0 , (l → iH −1 )
y → it
t → iy
ds2 = −dt 2 + e 2 Ht ( dy 2 + δ ij dxi dx j )
H = 3/ Λ
dS
インフレーション」
井沢健一氏 「
曰く
CFTからentropyの物理的解釈
2. deSitter時空
deSitter時空
「始めも終わりもインフレーション」(横山純一氏)
Inflation, Dark energy
Einstein方程式
≈
positive cosmological constant Λ > 0
Rµν = Λg µν
極大対称空間:
deSitter時空
5次元Minkowski時空に埋め込まれた半径1/Hの擬球面
T
5次元Minkowski時空の計量
ds52 = −dT 2 + dW 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2
X,Y,Z
擬球面
W
− T 2 + W 2 + X 2 + Y 2 + Z 2= H −2
H = Λ/3
完全チャート
T = H −1 sinh τ

−1
W = H cosh τ cos χ

−1
 X = H cosh τ sin χ sin θ cos φ
Y = H −1 cosh τ sin χ sin θ sin φ

 Z = H −1 cosh τ sin χ cos θ

[
T
X,Y,Z
ds 2 = H −2 − dτ 2 + cosh 2 (τ )( dχ 2 + sin 2 χdΩ 22 )
τ=一定
T=一定
]
τ=一定
平坦チャート
T
T + W = H −1eτ

−1 τ
X
=
H
e χ sin θ cos φ


−1 τ
Y
=
H
e χ sin θ sin φ

Z = H −1eτ χ cos θ

τ=一定
X,Y,Z
[
ds 2 = H −2 − dτ 2 + e 2τ ( dχ 2 + χ 2 dΩ 22 )
Euclid空間
]
開チャート
T
T = H −1 sinh τ cosh χ

−1
W
=
H
cosh τ


−1
 X = H sinh τ sinh χ sin θ cos φ

−1
Y
=
H
sinh τ sinh χ sin θ sin φ

 Z = H −1 sinh τ sinh χ cosθ

[
τ=一定
X,Y,Z
ds 2 = H −2 − dτ 2 + sinh 2 τ (dχ 2 + sinh 2 χdΩ 22 )
W
]
静的チャート
T = H −1 − r 2 sinh( Ht )

W = H −1 − r 2 cosh(Ht )

 X = r sin θ cos φ
Y = r sin θ sin φ

Z = r cosθ

ds 2 = −(1 − H 2 r 2 )dt 2 + (1 − H 2 r 2 ) −1 dr 2 + r 2 dΩ 22
Penrose図
χ =π
χ =0
共形埋め込み(
共形変換で時空のコンパクト化)
1
τ ' = 2 tanh −1 (eτ ) − π
2
1
1
− π < τ '< π
2
2
[
ds 2 = H −2 sec 2 (τ ' ) − d τ ' 2 +dχ 2 + sin 2 χdΩ 22
τ’
1
π
2
]
Einsteinの静的宇宙モデル
1
− π
2
共系無限遠方(Conformal Infinity)
χ =π
χ =0
τ=一定
Χ=一定
(完全チャート)
Penrose図(2): 他の座標
(時間=一定) 面
平坦チャート
開チャート
静的チャート
Penrose図(3):
地平線
・共形無限遠方が空間的
・Horizonが存在する。
・時空がいたるところ静的でない。
ある観測者
・正定値のHamiltonianを構成
できない。
超重力理論と相性が悪い
観測可能領域
3. deSitter energy?
Ashtekar and Hansen(‘78)
漸近的に平坦な時空の場合
物質が無限遠方で適度に振舞う
Einstein方程式
漸近的に「ポアンカレ」群が存在
i+
時間並進対称性
(時間的無限遠方)
エネルギー
i0
光的無限遠方
i 0(空間的無限遠方)
i − (時間的無限遠方)
Minkowski時空のPenrose図
正エネルギー定理
Wittenの証明(`81)
時空の全エネルギー
M=
1
16π | ε 0 |2
[
超重力理論
]
[
]
µνα
µνα
2
µ ν
dS
ε
γ
∇
ε
−
∇
ε
γ
ε
=
dV
|
∇
ε
|
+
4
π
T
ξ
t ≥0
α
α
i
µν
∫ µν
∫
S∞
γ i∇ iε = 0
Witten方程式
ε 
→ ε 0
r→ ∞
µ
µ
ξ = εγ ε
超重力理論との対応関係
δψ µ ~ ∇ µ ε
Gravitino
正エネルギー定理(2)
M =0
∇ iε = 0
[∇i ,∇ j ]ε ~ Rijµν [γ µ , γ ν ] = 0
Rµναβ = 0
Gibbons and Hull(‘82), Tod(’83)
N=2超重力理論を意識すると
i
∇ µ ε → ∇ˆ µ ε = ∇ µ ε + Fαβ γ αβγ µ ε
4
8πε 0+ ( M − (Q − γ 5 P))ε 0 =
ˆ ε
δψ µ ~ ∇
µ
(
1
µνα ˆ
ˆ εγ µνα ε
dS
ε
γ
∇
ε
−
∇
α
α
2∫
)
[
ˆ ε |2 +8π (T − T ( F ))ξ µ tν − iε (∇ F µν − γ ∇ F~ µν )εtν
= ∫ dV | ∇
i
µν
µν
µ
5 µ
M ≥ Q2 + P2
Saturation
]
(Bogomol’nyi bound)
Majumdar-Papapetrou多重ブラックホール解
∪
Extreme Reissner-Nordstrom Black hole解
(BPS状態)
漸近的deSitter時空の場合
・空間的無限遠方が存在しない。
・物質が未来の無限遠方で十分はやく
落ちるととしても、漸近的平坦な場合
のように漸近的な対称性の存在が証
明されていない (Anti-deSitterも同様)
共変的な漸近的対称性の系統的
研究は存在しない。
deSitterにおける空間的無限遠方
平坦チャート
i
0
(空間的無限遠方)
・外的曲率(第二基本形式)
tµ
1
K ij ~ ∂ t g ij = Hg ij
2
・共形平坦
adη = dt
ds 2 = a 2 (− dη 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 )
MacVittie(‘33), Shiromizu, Ida and Torii(’01)
Schwarzshild-deSitter時空
2
1 − m / 2(ar ) n−3  2
m 
2
2
ds = − 
dt
+
a
1
+
 2(ar ) n−3 
n −3 


1 + m / 2(ar ) 
Black hole horizon
Cosmological horizon
i0
K ij = Hgij
4 /( n− 3)
δ ij dxi dx j
a = e Ht
時間一定面上ではあたか
も漸近的に平坦な時空の
ように振舞う
漸近的平坦チャート
・漸近的平坦チャートでは空間的無限遠方が(恐ら
く)一般に存在し、有限のエネルギーが定義される
・K
i
i
= 3H + O (1 / r )
3
Hamiltonian constraint
( 3)
R + K 2 − K ij K ij = 16πGTµν t µ tν + 6 H 2
Cosmological Witten spinor
1
i


δψ µ ~ ∇ µ − igAµ + gγ µ + Fαβ γ αβ γ µ ε
2
4


Λ = −3g 2
Λ < 0 → Λ > 0, g → iH
i
i


⇒ ∇ µ + HAµ + Hγ µ + Fαβ γ αβ γ µ ε
2
4


i


∇ˆ µ ε ≡  ∇ µ + Hγ µ ε
2


ˆ ε =0
γ i∇
i
もはや超対称性とは関係ない!
ˆ ε =0
∇
µ
の意味
・deSitter時空の場合
µ
µ
ξ ≡ −ε γ ε
∇ µ ξν + ∇ν ξ µ = iHg µν ε ε
ε:
Conformal Killing spinor
・Anti-deSitterの場合
∇ µ ξν + ∇ν ξ µ = 0
Conformal Killing vector
Killing vector
Cosmological Witten spinor in deSitter
1
i
1


i
j 0
i
ˆ
γ ∇ i ε = γ  ∂ i + K ijγ γ + Hγ i ε = γ  ∂ i + Hγ i (γ 0 + i) ε
2
2
2




i
Constat spinor解
ε = ε0
γ 0̂ε 0 = −iε 0
独立な解が半分に
ξ µ = −ε 0γ µ ε 0 ∝ (∂ t )
µ
Timelike conformal Killing vector
Cosmological Witten spinor in
asymptotically deSitter
ˆ iε =  γ i ∂ i + 1 ( K iiγ 0 + 3iH ) ε = 0
γ i∇
2


無限遠方で r → ∞
ε → ε 0 , γ 0̂ε 0 = −iε 0
K ii = 3 H + O(1 / r 3 )
i0 r → ∞
Shiromizu(‘94), Kastor and Traschen(96), Shiromizu(99),
Shiromizu, Ida and Torii(01), Kastor and Traschen(02)
Positive energy theorem in deSitter
ʵν ≡
(
1
ˆ α εγ µνα ε
ε γ µνα ∇ˆ α ε − ∇
2
)

3 2

µν
ˆ
ˆε
Qε = ∫ dS µν E = ∫ dΣ  Gµν + H g µν ξ µ tν + | ∇
i
2


Einstein方程式
Gµν +

| ≥0

2
3 2
H g µν = 8πGTµν
2
Conformal Killing vectorでエネルギーを定義
Qε の性質
・Conformal Killing vectorで定義したAbbott-Deserエネルギーと一致
保存量
・Weyl tensorで定義されたエネルギーと同じ
無限遠方の観測者が潮汐力で測るエネルギー
・M=0のときにdeSitter時空で唯一に決まっていると証明できていない
宇宙項のある時空の基底状態が分からない。
Kastor, Shiromizu and Traschen, in progress
A Bogomol’nyi bound in deSitter?
deSitter時空の多重ブラックホール解
Kastor and Traschen(93)
ds2 = −U −2 dt 2 + a 2U 2 (dx2 + dy 2 + dz 2 )
mi
U = 1+ ∑ r r
i a | x − xi |
mi =| Qi |
重力と電磁気力との釣り合い
Bogomol’nyi boundはあるのか?
a = e ± Ht
(Extremeではない!)
Kastor, Shiromizu and Traschen, in progress
A Bound
i
i


∇ˆ µ ε = ∇ µ + H γ µ + Fαβ γ αβ γ µ ε
2
4


(
)
ˆ µν − dS Eˆ µν = dΣ  G + 3 H 2 g − T ( F ) ξ µ tν + | ∇
ˆ ε | 2 −iε ∇ F µν − ∇ F~ µν t ε 
dS
E
µν
µν
µν
µν
µν
i
ν
ν
µ 
∫S ∞
∫H
∫Σ 
2


Qε = ∫ dS µν Eˆ µν = 8πε 0+ (M − (Q − γ 5 P) )ε 0
S∞
∫
H
dSµν Eˆ µν =
(
)

1
1
1
+
1̂ Aˆ 
1̂ 0̂ 
1
1̂ 0̂
0̂ 
 ∫S ∞ dSε − γ γ  DAˆ + K 1̂ Aˆ γ γ  − k + ( K − K 1 )γ γ − i ( E1̂ − γ 5 B1̂ )γ ε + c.c.
2
2

 2



≠0
deSitterでは
が勝手でないために、この境界条件を課してしまうと、
非自明なWitten spinorが存在しない!
Gibbons, Hawking, Horowitz and Perry(‘83)
漸近的平坦な場合
ε 0 付加的な条件なし
Horizon上で
γ 1̂γ 0̂ ε H = ε H
(境界条件)
Horizon上で
k+K−K =0
(Horizonの性質)
1
1
∫
H
dSµν Eˆ µν = 0
一言
deSitterは古典論ですら
考
deSitterは古典論ですら深く
深く
考
えると
えると難し
難しい。
い。宇宙項問題への
宇宙項問題への
解決に向かって、
解決に向かって、こ
これから
れからも地
も地
道な努力を続けます。
道な努力を続けます。
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