146
1.6
行列式の積
いま、
" 1 3 7 %'
" !3 2 1
$$
$$
''
A = $$ 2 4 5 '', B = $$ 4 5 6
$$
$$
'
$# !1 6 3 ''&
$# 9 7 8
%'
''
''
''
'&
とする。 A ! B , AB を計算してみよう。
A := matrix(3,3,[1,3,7,2,4,5,-1,6,3]); B:=matrix(3,3,[-3,2,1,4,5,6,9,7,8])
det(A), det(B), det(A)*det(B), multiply(A, B), det(multiply(A, B))
一般に次の定理が成立する。
定理 22
A = (ai,k ), B = (bk, j ) ! M (n,n : K ) とする。そのとき、次のことが成立する。
A!B = A B
n
証明 ci, j = ! ai,k bk, j
(i = 1,2,!,n, j = 1,2,!,n) とする。
k=1
A ! B = # sgn(!)c1,!(1)c2,!(2) !cn,!(n)
!"Sn
" n
%" n
% " n
%
= ! sgn(!)$$$! a1,k1 bk1 ,!(1) '''$$$! a2,k2 bk2 ,!(2) '''!$$$! an,kn bkn ,!(n) '''
'&$# k1=1
'& $# k1=1
'&
$# k1=1
!(Sn
" n
%" n
% " n
%
= ! $$$! sgn(!)a1,k1 bk1 ,!(1) '''$$$! a2,k2 bk2 ,!(2) '''!$$$! an,kn bkn ,!(n) '''
'&$#
'& $#
'&
$#
!(Sn
k1=1
k1=1
k1=1
n
n
" n
%*,
*( n
= ! ! ! sgn(!)a1,k1 bk1 ,!(1)a2,k2 bk2 ,!(2) *)! a3,k3 bk3 ,!(3) !$$$! an,kn bkn ,!(n) '''*'&*
** k3=1
$# k1=1
k1=1 k2 =1 !/Sn
*.
+
147
n
n
n
= " "!" " sgn(!)a1,k1 bk1 ,!(1)a2,k2 bk2 ,!(2)a3,k3 bk3 ,!(3) !an,kn bkn ,!(n)
k1=1 k2 =1
=
kn =1 !!Sn
$
')
&& sgn(!)b
)
a
a
!
a
b
!b
" 1,k1 2,k2 n,kn &&%"
k1 ,!(1) k2 ,!(2)
kn ,!(n) )
)(
1!k1 ,!,kn !n
!#Sn
bk1 ,1
" sgn(!)b
b
k1 ,!(1) k2 ,!(2)
!!Sn
!bkn ,!(n) =
bk1 ,2 ! bk1 ,n
bk2 ,1 bk2 ,2 ! bk2 ,n
"
"
bkn ,1 bkn ,2
# "
! bkn ,n
( 1# k1 , k2 ,!, kn # n )
であるから、 k1 , k2 ,!, kn が 1,2,!,n の順列でないとき、すなわち k1 , k2 ,!, kn に重複の数
があらわれたとき、行列式の基本性質より、
" sgn(!)b
b
k1 ,!(1) k2 ,!(2)
!!Sn
! 1
#" k1
である。そこで、 ! = ##
!bkn ,!(n) = 0
2 ! n $&
のとき、行列式の基本性質より、
k2 ! kn &&
%
" sgn(!)b
b
k1 ,!(1) k2 ,!(2)
!!Sn
!bkn ,!(n) = sgn(") B
故に、
$
'
A ! B = # {a1,! (1)a2,! (2) !an,! (n) (sgn(!) B )} = &&&# sgn(!)a1,! (1)a2,! (2) !an,! (n) ))) B = A ! B
)(
&% !"Sn
!"Sn
例題 56
(1)
次の等式を証明せよ
(a + b )(! 2 + b 2 ) = (a!!b")2 + (a" + b!)2
2
2
(2) (a 3 + b 3 + c 3 ! 3abc)(! 3 + " 3 + # 3 ! 3!"#) = A 3 + B 3 + C 3 ! 3ABC
ただし、 A = a! + b" + c#, B = a# + b! + c",C = a" + b# + c"
(3)
a
b
c
d
e
f
f
a
b
c
d
e
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
! " #
= # ! "
c
" # !
b
b
c
d
e
f
a
d
148
2
2
2
2
2
2
ただし、 ! = a !b + 2(ec !bf )," = c ! f + 2(ae! db),# = e !b + 2(ca ! fd)
[解]
(1)
# a !b &(#% ! !" &(
! !"
a !b
(( = a!!b" !(a" + b!)
((%%
"
= %%%
右辺 =
%$ b a ('%$ " ! (('
b a
" !
a" + b!
a!!b"
= (a!!b")2 + (a" + b!)2
(2)
! " #
a! + b# + c" a" + b! + c# a# + b" + c!
a b c
右辺= c a b ! # ! " = a# + b" + c! a! + b# + c" a" + b! + c#
b c a
" # !
a" + b! + c# a# + b" + c! a! + b# + c"
= A 3 + B 3 + C 3 ! 3ABC
(3)
! a
##
A = ## f
##
##" e
とおく。左辺 =
f $&&
&
e &&&
&
d &%
A B
= A! B A+ B
B A
a!d
A! B =
! d e
##
b c $&&
&&
#
a b &, B = ## c d
&&
##
" b c
f a &&%
b!e
f !c a!d
e!b
c! f
a!d
e!b
c! f
b!e = c! f
a!d
e!b
c! f
a!d
a+d
*
f !c a!d
e!b
*2 行に !1 をかけて、2 列に !1 をかけた
a!d
e!b
c! f
b+e
c+ f
A! B A+ B = c! f
a!d
e!b " f + c a + d
b+e
e!b
c! f
a!d
e+b
f +c a+d
149
! " #
= # ! "
" # !
"! = a 2 ! d 2 + 2(ce!bf )
$
$
$
2
2
$
#" = c ! f + 2(ae!bd)
$
$
2
2
$
$
%# = e !b + 2(ae! df )
Maple でテェックしておこう。
A := matrix(3, 3, [a, b, c, f, a, b, e, f, a]);B:= matrix(3, 3, [d, e, f, c, d, e, b, c, d]);
map(expand, multiply(mulrow(mulcol(A-B, 2, -1), 2, -1),A+B))
例題 57 次のことを証明せよ。
ai,1a j,1 + ai,2 a j,2 +!+ ai,n a j,n = !i, j
( 1! i, j ! n ) とする。
n 次の正方行列 A = (ai, j ) について、 A = ±1 である。
[解]
A t A の (i, j) 成分 = ai,1a j,1 + ai,2 a j,2 +!+ ai,n a j,n であることに注目すると、
2
A = A t A = A t A = E = 1 ∴ A = ±1 例題 58
正則行列 A ! M (n,n : K ) と, B ! M (m, m : K ),C ! M (n, m : K ), D ! M (m,n : K ) について、
A C
= A B ! DA!1C
D B
を証明せよ
[証明]
En
On,m
!DA!1
Em
# E
On,m
%
n
A C
"
= %%
%% !DA!1 E
D B
m
$
&(#
((%% A C &(( = A
(
((%%
Om,n
('$ D B ('
C
B ! DA!1C
150
!
例題 59
A C
= A B " DA"1C
D B
次の式を a,b,c の 1 次式の積に因数分解せよ。
a 3 + b 3 + c 3 ! 3abc
[解] ! a b c
##
A = ## c a b
##
#" b c a
! 1 1
$&
##
&&
&&,V = ## 1 !
##
&&
&%
#" 1 ! 2
とする。ただし、 ! = e
2"i
3
1
!2
!
$&
! a+b+c
0
##
&&
#
&&,C = #
0
a + b! + c! 2
##
&&
&%
##
0
0
"
$&
&&
&&
0
&&
2
a + b! + c! &&%
とする。
!
## a + b + c a + b! + c! 2
#
AV = ## a + b + c c + a! + b! 2
##
#" a + b + c b + c! + a! 2
$
a + b! 2 + c! &&
&
c + a! 2 + b! &&&
&&
b + c! 2 + a! &&%
!
a + b! + c! 2
a + b! 2 + c!
## a + b + c
#
= ## a + b + c !(a + b! + c! 2 ) ! 2 (a + b! 2 + c!)
##
##" a + b + c ! 2 (a + b! + c! 2 ) !(a + b! 2 + c!)
$&
&&
&&
&&
&&
&%
!
a + b! + c! 2
a + b! 2 + c!
## a + b + c
#
他方、 VC = ## a + b + c !(a + b! + c! 2 ) ! 2 (a + b! 2 + c!)
##
##" a + b + c ! 2 (a + b! + c! 2 ) !(a + b! 2 + c!)
$&
&&
&&
&&
&&
&%
故に、 AV = VC で、 A V = V C 。
A = a 3 + b 3 + c 3 ! 3abc, V = vanvermonde(1,!,! 2 ) " 0
であるから、 a 3 + b 3 + c 3 ! 3abc = (a + b + c)(a + b! + c! 2 )(a + b! 2 + c!)
例題 60
x0
x1
x2
x3
x3
x0
x1
x2
x2
x3
x0
x1
x1
x2
x3
x0
0
151
を計算してみると、
Maple で直接計算すると、
with(linalg):A:=band([x[1],x[2],x[3],x[0],x[1],x[2],x[3]],4)
factor(det(A))
手計算の場合
!
##
##
A = ###
##
##
#"
"
$$
$$
$$
$$
$$
$
C = $$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$#
x0
x1
x2
x3
x3
x0
x1
x2
x2
x3
x0
x1
x1
x2
x3
x0
!
##
$&
##
&&
#
&&
&&,V = ##
##
&&
##
&&
&&
##
&%
##
"
1
1
1
1
1
!
!2
(! 3 )
2
(! ) (! )
1 !3
(! 2 ) (! 3 )
1 !
2 2
3 2
3
3
3
!x
O
k
k=0
3
!x !
k
k
k=0
3
! x (! )
2 k
k
k=0
3
! x (! )
O
$&
&&
&&
&&
&& &&
&&
&&
&&
&%
3 k
k
k=0
( ! 4 = 1,! ! 1 )
%'
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'&
とおく。
"
$$
$$
$$
$$
$$
$
AV = $$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$#
3
!x
3
k
k=0
k
k=0
! xk
k=0
k
! ! xk ! k
!
2
3
!x !
k
k
k=0
3
! 3 ! xk ! k
k=0
3
! x (! )
2 k
3
k=0
3
! 2 ! xk (! 2 )
! 3 ! xk (! 3 )
k
k=0
2 2
(! )
3
2 k
k
k=0
(! 2 )3 ! xk (! 2 )
k=0
k
k=0
! x (! )
3
3 k
k
k=0
k=0
3
3
k
3
k
k=0
!x
3
! x (! )
k
k=0
3
!x
!x !
k
3 2
(! )
3
! x (! )
3 k
k
k=0
3
(! 3 )3 ! xk (! 3 )
k=0
k
%'
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'&
152
"
$$
$$
$$
$$
$$
$
VC = $$$
$$
$$
$$
$$
$$
$$#
3
!x
3
k
k=0
k
k
! xk
k=0
3
!
2
3
!x !
k
3
! 3 ! xk (! 3 )
k
k=0
k
k
2 2
(! )
k=0
3
! x (! )
k
! 3 ! xk ! k
k=0
3
(! 2 )3 ! xk (! 2 )
k
k=0
k
k=0
2 k
3 2
(! )
k=0
3
3 k
k=0
! 2 ! xk (! 2 )
! ! xk ! k
k=0
3
k
k=0
3
3
! x (! )
2 k
k=0
3
k
k=0
!x
3
! x (! )
k
k=0
3
!x
!x !
3
! x (! )
3 k
k
k=0
3
(! 3 )3 ! xk (! 3 )
k
k=0
%'
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'&
AV = VC で AV = VC であるから、 A V = V C , V = vandermonde(1,!,! 2 ,! 3 ) ! 0
∴A=C
3 " 3
3
" 3 %" 3
%" 3
k %"
k%
k%
故に、 A = $$! xk '''$$! xk ! k '''$$! xk (! 2 ) '''$$! xk (! 3 ) ''' = ($$! xk (! j ) '''
$# k=0 &$# k=0
&$# k=0
&$# k=0
& j=0 $# k=0
&
一般に,
x0
x1 ! xn!1
xn!1
x0 ! xn!2
"
x1
" #
x2 !
"
x0
n!1 n!1
= # " xk (! j )
k
( ! n = 1,! $ 1 )
j=0 k=0
これは巡回行列式と呼ばれている。
定理 23
A ! M (n,n : K ) が正則であるための必要十分条件は A ! 0 である。
証明 A が正則であるための必要十分条件は rank(A) = n (前章)であることより明ら
かである。
注意: A が正則のとき、 AA
!1
= E より、 A!1 =
1
であることがわかる。
A
さて、 A = (ai, j ) ! M (n,n : K ) について、
!
##
##
##
##
#
行列 ##
##
##
##
##
#"
!
a 1,1
!
a 1,2
!
a 2 ,1
!
a 2 ,2
" !
a j ,1
" !
a j ,2
" !
a n ,1
" !
a n ,2
#
! 1,i
a
#
! 2 ,i
a
$ #
" !
a j ,i
#
#
" !
a n ,i
#
! 1,n
a
#
! 2 ,n
a
#
#
" !
a j ,n
$ #
" !
a n ,n
$&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&%
153
! とかく。
を行列 A の余因子行列といい、 A
n
A ! t A の (i, j) 成分 = ! ai,k !a j ,k = ai,1 !a j ,1 + ai,2 !a j ,2 + ai,3 !a j ,3 +"+ ai,n !a j ,n = A !i, j
k=1
なぜならば、 i = j のとき、
n
!a
i,k
!a i ,k は A の単なる第 i 行に関する展開式であるから、
k=1
n
A に等しい。 i ! j のとき、 ! ai,k !a j ,k は A に」おいて、第 j 行のところに、 i 行をは
k=1
め込んで j 行について展開した式であるから、行列式の基本性質( A において i 行と j 行
が等しいときの値になる)により、この値は0である。
従って、
" A
$$
$$
! = $$
A!A
$$
$$
$$ O
$#
A
O %''
''
''
'' = A En
''
"
''
A '''&
が得られる。 A が正則(i.e., A ! 0 )のとき、
"1
A !$$$
$# A
%
! '' = E
A
''
n
&
である。すなわち、
"1
A!1 = $$$
$# A
%
! ''
A
''
&
が得られる。これを余因子行列による逆行列を求める公式である
注意:上で述べたことは、 A ! 0 ならば A は正則であることの別証明にもなっている。
!は
Maple では, 余因子行列 A
adjoint(A)
と入力して得られる。たとえば、
A := matrix(4,4,[1,3,5, 6,7,9,4,2,9,7,8,3,-5,6,-7,8])
AA := adjoint(A)
154
inverse_matrix_of_A:=evalm(AA)/det(A)
例題 61 次の行列が正則ならその逆行列を求めよ。
" 2
3 1 %''
$$
'
A = $$ !1 2 5 ''
$$
'
$# 1 !7 3 ''&
[解]
2
3 1
0
7 11
7 11
A = !1 2 5 = !1 2 5 = (!1)3
= 111 " 0
!5 8
1 !7 3
0 !5 8
従って、 A は正則である。
!
a 1,1 =
2 5
3 1
3 1
= 41, !
a 2 ,1 = !
= !16, !
a 3,1 =
= 13
!7 3
!7 3
2 5
!1 5
2 1
2 1
!
a 1,2 = !
= 8, !
a 2 ,2 =
= 5, !
a 3,2 = !
= !11
1 3
1 3
!1 5
!1 2
2 3
2 3
!
a 1,3 =
= 5, !
a 2 ,3 = !
= 17, !
a 3,3 =
=7
1 !7
1 !7
!1 2
∴求める逆行列は次のようである。
" 41 !16 13 %'
$$
''
1
$$ 8
A!1 =
5 !11 ''
'
111$$$
7 ''&
# 5 17
A ! M (m,n : K ) について、 t AA ! M (n,n : K ) である。そこで、 t AA が正則のと
155
き、
!1
A† = ( t AA) " t A
とおく。 A† を A の一般逆行列(pseudo̶inverse matrix)という。特に、
A ! M (n,n : K ) については、逆行列と一般逆行列は一致することは明らである。
例題 62 " 2 6 %'
$$
''
A = $$ !9 5 '' の一般逆行列を求めよ。
$$
'
$# 7 8 ''&
[解]
t
"
%
" 2 !9 7 %'$$ 2 6 '' " 134 23
''$$ !9 5 ''' = $$
AA = $$$
' $$ 23 125
$# 6 5 8 '&$$
$# 7 8 ''& #
! A† =
%'
'',
'&
t
AA = 16221 ( 0
1 #% 125 "23 &(#% 2 "9 7 &(
1 #% 112 "1240 691 &(
((%
(( =
((
%%
%
16221%$ "23 134 ('%%$ 6 5 8 (' 16221%%$ 758
877
911 ('
Maple で計算してみよう。
with(linalg):A:=matrix(3,2,[2,6,-9,5,7,8]):
pseudo_inverse_matrix_of_A=1/det(transpose(A)&*A)*evalm(adjoint(transp
ose(A)&*A)&*transpose(A));
1.7 行列式の応用
★ 連立 1 次方程式の解法
定理 24 (クラーメルの公式)
未知数 x1 , x2 ,!, xn について,連立1次方程式
#!#a1,1 x1 + a1,2 x2 +!+ a1, j x j +!+ a1,n xn = b1
##
#a2,1 x1 + a2,2 x2 +!+ a2, j x j +!+ a2,n xn = b2
"
##
"
##
##$an,1 x1 + an,2 x2 +!+ an, j x j +!+ an,n xn = bn
において,係数行列式が0でないとき、第 j 番目の未知数 x j は次の式で表される。
156
a1,1
a1,2
! b1 ! a1,n
a2,1 a2,2 ! b2 ! a2,n
a3,1
xj =
a3,2 ! b3 ! a2,n
"
"
" " # "
an,1 an,2 ! bn ! an,n
a1,1
a1,2
! a1, j
( j = 1,2,!,n )
! a1,n
a2,1 a2,2 ! a2, j ! a2,n
a3,1
a3,2 ! a3, j ! a2,n
"
"
"
" # "
an,1 an,2 ! an, j ! an,n
[証明]
!
##
##
##
係数行列 A = (ai. j ) とし、 x = ##
##
##
##
#"
x1 $&&
!
&
##
! &&&
##
&
x j &&&,b = ###
&&
##
! &&
##
&&
#"
xn &&%
b1 $&&
&
b2 &&&
&& とすると、
! &&
&
bn &&&%
方程式は Ax = b
と表される。 A は正則であるから、
!
##
##
##
x = ##
##
##
##
#"
! "
## a 1,1
x1 $&&
&&
##
! &&
# !
&&
1 ## "
'1
x j && = A b = ## a 1, j
&&
A ##
! &&
## !
&&
## "
xn &&%
#" a 1,n
∴ xj =
"
a 2 ,1
!
"
a 2, j
!
" 2 ,n
a
!
$#
# "
a n ,1 &&##
&&#
!
! &&###
&&#
# "
a n , j &&&##
&##
$ ! &&&##
&
" n ,n &&&###
# a
%##
"
b1
b2
!
bj
!
bn
$&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&%
b1 !
a 1, j + b2 !
a 2 , j +"+ bn !
a n, j
A
分子は A において第 j 列を b で置き換えて、 j 列について展開した式になっている。よ
って結論が得られた。
この公式を Cramer の公式という。
157
例題 63 次の連立 1 次方程式をクラーメルの公式を使って解け。
(1)
"$$4x + 5y = 7
#
$$%!3x + 8y = 9
(2)
$"$ 4x + 3y + z = 7
$
#!2x + 5y ! 3z = 5
$$
$$% 3x ! 2y + 5z = 9
[解]
(1)
x=
7
5
9
8
4 5
!3 8
=
4 7
!3 9
11
,y=
47
4 5
!3 8
=
57
47
Ans: x =
11
57
,y=
47
47
(2)
x=
y=
z=
7 3
1
5 5 !3
9 !2 5
4
3
1
!2 5 !3
3 !2 5
4 7 1
!2 5 !3
3 9 5
68
4
3 7
!2 5 5
3 !2 9
68
=
=
=
Ans: x = !
例題 64
7
3
26
14
!26 !17
1
0
0
=
4
3
1
10
20 0
!17 !17 0
7
3
10
26
!17 !26
1
0
0
68
26 11 4
0 1 0
11 4 11
68
=
=
!78
39
=!
68
34
182 91
=
68
34
242 121
=
68
34
39
91
121
,y = ,z =
34
34
34
次の連立 1 次方程式を Maple でクラーメルの公式用いいて手計算風に解いて
みよう。
"$4x + 5y ! 3z ! 6w = 7
$$
$$8x ! 7y + 5z + 8w = 9
#
$$7x + 8y ! 6z + 9w = !4
$$
$%5x + 3y + 4z ! 7w = 5
158
[解]
with(linalg):AA:=matrix(4,5,[4,5,-3,-6,7,8,-7,5,8,9,7,8,-6,9,-4,5,3,4,-7,5]);
M:=submatrix(AA,1..4,1..4),seq(submatrix(swapcol(AA,k,5),1..4,1..4), k =1..4)
MM:=seq(det(M[k]),k=1..5);
(x,y,z,w)=seq(MM[k]/MM[1],2..5)
例題 65
次の連立 1 次方程式を解け。
#!# x + y + z + w = 1
##
#ax + by + cz + dw = e
" 2
##a x + b 2 y + c 2 z + d 2 w = e2
## 3
##$a x + b 3 y + c 3z + d 3w = e3
ただし、 a,b,c,d は異なる数である。
[解] vandermonde(a,b,c,d) ! 0 であるから、Cramer の公式により、
x=
vandermonde(e,b,c,d) (e!b)(e! c)(e! d)(b ! c)(b ! d)(c ! d)
=
vandermonde(a,b,c,d) (a !b)(a ! c)(a ! d)(b ! c)(b ! d)(c ! d)
=
(e!b)(e! c)(e! d)
(a !b)(a ! c)(a ! d)
同様に、
y=
vandermonde(a,e,c,d) (a ! e)(e! c)(e! d)
=
vandermonde(a,b,c,d) (a !b)(b ! c)(b ! d)
159
z=
vandermonde(a,b,e,d) (a ! e)(b ! e)(e! d)
=
vandermonde(a,b,c,d) (a ! c)(b ! c)(c ! d)
w=
vandermonde(a,b,c,e)
(a ! e)(b ! e)(c ! e)
=
vandermonde(a,b,c,d) (a ! d)(b ! d)(c ! d)
定理 25
!a1,1 x1 + a1,2 x2 +!+ a1, j x j +!+ a1,n xn = 0
#
#
#
#
#a2,1 x1 + a2,2 x2 +!+ a2, j x j +!+ a2,n xn = 0
"
#
"
#
#
#
#
#
$an,1 x1 + an,2 x2 +!+ an, j x j +!+ an,n xn = 0
を斉次 n 元連立 1 次方程式という。 xi = 0 ( i = 1,2,!,n) は明らかに解である。これを
自明な解(trivial solution) という。この方程式で非自明な解(non-trivial solutions)
が存在するための必要十分条件は係数行列式が 0 になること、すなわち、
a1,1
A=
a1,2
! a1,n
a2,1 a2,2 ! a2,n
"
" # "
an,1 an,2 ! an,n
=0
である。
証明 第1章の連立方程式のところで、非自明な解な解が存在するための必要十分条件
は rank(A) < n であることはすでに学んでいる(定理 14)。 rank(A) < n ! A = 0 。
注意:この定理は消去法の原理(elimination’s principle)と呼ばれている。
例題 64 $"$(a + 3)x ! y + z = 0
$
斉次方程式: #7x + (a ! 5)y + z = 0
$$
$$%6x ! 6y + (a + 3)z = 0
で非自明な解が存在するように a の値を決めよ。
[解]
0
0
1
a + 3 !1
1
!a + 4
a!4
1
=
係数行列式 =
7
a!5
1
2
6
!6 a + 3
!a ! 6a ! 3 a ! 3 a + 3
160
0
0
1
=
= (a ! 4)(a + 2)(a + 3) = 0
0
a!4
1
2
!a ! 5a ! 6 a ! 3 a + 3
∴ a = !3,!2, 4 が求める値である。
★ 終結式
定理 25 の応用として、終結式について説明する。
f (x) = a0 x 2 + a1 x + a2 , g(x) = b0 x 2 + b1 x + b2
( a0b0 ! 0 )
とする。方程式 f (x) = 0, g(x) = 0 が共通解を持つ条件について考察する。
今その共通解を ! とする。すなわち、 f (!) = 0, g(!) = 0 である。
x0 = x 3 , x1 = x 2 , x2 = x, x3 = 1 とおくと、
xf (x) = 0 : a1 x0 + a1 x1 + a2 x2 + 0x3 = 0
f (x) = 0 :
xg(x) = 0 :
g(x) = 0 :
a0 x1 + a1 x2 + a2 x3 = 0
b0 x0 + b1 x1 + b2 x2 + 0x3 = 0
b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 = 0
をうる。この関係式は x0 , x1 , x2 , x3 を未知数とする斉次方程式とみて、非自明な解
(x0 , x1 , x2 , x3 ) = (! 3 ,! 2 ,!,1) を持つ。従って、消去法の原理により、
a0
a1
a2
0
0
a0
a1
a2
b0
b1
b2
0
0
b0
b1
b2
=0
でなければならない。この行列式を R( f , g; x) と表し、f (x), g(x) の終結式(resultant)
という。
f (x) = a0 (x !!1 )(x !!2 ), g(x) = b0 (x ! "1 )(x ! "2 )
とすると、
解と係数の関係: !1 + !2 = !
から、
a1
a
b
b
,!1!2 = 2 , "1 + "2 = ! 1 ,"1"2 = 2
a0
a0
b0
b0
161
R( f , g; x) =
a0
a1
a2
0
0
a0
a1
a2
b0
b1
b2
0
0
b0
b1
b2
0
a2
a0
0
0
1
a1
a0
a2
a0
1
b1
b0
b2
b0
0
0
1
b1
b0
b2
b0
1
!1!2
1
0
!(!1 + !2 ) !1!2
1 !("1 + "2 )
0
a1
a0
= a02b02
1 !(!1 + !2 )
= a02b02
1
"1"2
0
!("1 + "2 ) "1"2
この行列式を R(!1 ,!2 ,"1 ,"2 ) ( !1 ,!2 ,"1 ,"2 の4次式)とおく。 {!1 ,!2 } ! {"1 ,"2 } " # の
とき、i.e., !i = " j で R(!1 ,!2 ,"1 ,"2 ) = 0 で、 R(!1 ,!2 ,"1 ,"2 ) は !i ! " j を因数に持つ。
R(!1 ,!2 ,"1 ,"2 ) ! c(!1 " "1 )(!1 " "2 )(!2 " "1 )(!2 " "2 )
(c は定数)
とかける。恒等式で定数 c を決めよう。
R(2, 3, 4,5) = c(!2)(!3)(!1)(!2) = 12
1 !5 6
0
1 0 !19 30
0 1 !5 6
0 1 !5 6
R(2, 3, 4,5) =
=
= 12
1 !9 20 0
0 0 !6 24
0 1 !9 20
0 0 !4 14
で、 c = 1 をうる。
故に. R( f , g; x) = a02b02
" (! # " )
i
j
1!i, j!2
逆に、 R( f , g; x) = 0 なら、 {!1 ,!2 } ! {"1 ,"2 } " # であることが分かる。
さらに、
R( f , g; x) = a02 {b0 (!1 ! "1 )(!1 ! "2 )}{b0 (!2 ! "1 )(!2 ! "2 )} = a02 g(!1 )g(!2 )
R( f , g; x) = b02 {(!1)2 a0 (!1 !"1 )(!1 !"2 )}{(!1)2 a0 (!2 !"1 )(!2 !"2 )}
R( f , g; x) = a02 g(!1 )(!2 ), R( f , g; x) = (!1)4 b02 f ("1 ) f ("2 )
であることがわかる。他方、直接計算して
162
R( f , g; x) =
a0
a1
a2
0
0
a0
a1
a2
b0
b1
b2
0
0
b0
b1
b2
a0
a1
a2
a1
a2
0
= a0 b1
b2
0 + b0 a0
a1
a2
b0
b1
b2
b1
b2
b0
= (a0b2 )2 ! 2(a0b2 )(a2b0 )+ (a2b0 )2 + (!a0 a1b1b2 + a0 a2b12 + a12b0b2 ! a1a2b0b1 )
= (a0b2 ! a2b0 )2 !(a0b1 ! a1b0 )(a1b2 ! a2b1 )
=
a0
a2
b0
b2
2
!
a0
a1
b0
b1
a1 a2
"
b1
b2
と表すことができる。
一般に、
f (x) = a0 x n + a1 x n!1 +!+ an
( a0b0 ! 0 )
g(x) = b0 x m + b1 x m!1 +!+ bm
とする。代数方程式: f (x) = 0, g(x) = 0 が共通解 ! を持ったとき,どんな条件を満た
すのかを考えよう。
x m!1 f (x) = a0 x m+n!1 + a1 x m+n!2 +!+ an x m!1
x
m!2
f (x) =
a0 x
"
m+n!2
+ a1 x
m+n!3
#
f (x) =
=0
+!+ an x
#
m!2
a0 x n + a1 x n!1 +!+ an = 0
x n!1g(x) = b0 x m+n!1 + b1 x m+n!2 +!+ bm x n!1
x
"
n!2
g(x) =
g(x) =
=0
"
b0 x
+ b1 x
#
m+n!2
m+n!3
=0
+!+ bm x
#
n!2
=0
"
b0 x m + b1 x m!1 +!+ bm = 0
x m+n!1 , x m+n!2 ,!, x,1 を未知数と見做して m + n 元斉次連立 1 次方程式を考える。そのと
き、連立方程式の係数行列:
163
!
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
"
a0
a1 ! an
a0
a1
! an
"
O
a0
b0
a1
b1 ! bm
b0
b1
! bm
"
O
b0
b1
$&
&&
O &&&
&&
&&
"
&
! an &&&
&&
&&
&&
O &&&
&&
&&
"
&
! bm &&%
である。これはシルベスター(Sylvestter)行列と呼ばれている。仮定から、斉次連立
方程式は非自明な解 ! m+n!1 ,! m+n!2 ,!,!,1 をもつ。消去法の原理により、シルベスター
行列の行列式は0である。そのとき、この行列式は f (x), g(x) の終結式(resultant)と
呼ばれていて、
a0
a1 ! an
a0
! an
"
O
R( f , g; x) =
a1
a1
"
! an
! bm
O
a0
b0
O
b1 ! bm
b0
b1
"
O
b0
b1
"
! bm
と表す。
代数学の基本定理より、 f (x) = a0
n
m
i=1
j=0
"(x !!i ) , g(x) = b0 "(x ! " j ) と表される。
解と係数の関係
n
n
a1
a
a
= !" !i , 2 = " !i ! j ,!, n = (!1)n % !i
a0
a0 1#i, j#n, i$ j
a0
i=0
i=1
m
m
b1
b
b
= !" !i , 2 = " !i ! j ,!, m = (!1)m % ! j
b0
b0 1#i, j#m, i$ j
b0
i=0
j=1
を R( f , g; x) に代入すると、
R( f , g; x) = a0mb0n
#
1"i"n,1" j"m
と表されることがわかる。そして、
(!i ! " j )
164
{!1 ,!2 ,!,!n } ! {"1 ,"2 ,!,"m } " # $ R( f , g; x) = 0
であることもわかる。これは Bezout(ベズー1739
1783)の定理と呼ばれている。
n
n
i=1
i=1
R( f , g; x) = a0m "{b0 (!i ! "1 )(!i ! "2 )!(!i ! "m )} = a0m " g(!i )
m
m
j=1
j=1
R( f , g; x) = b n0 " (!1)n a0 (" j !!1 )(" j !!2 )!(" j !!n ) =(!1)mn b0n " f (" j )
f (x) = 0 が重複解 ! をもつとする。
i.e., f (x) = (x !!)k "(x) ( k " 2 )
とかけている。 f !(x) = (x "!)k"1 ( k"(x)+ (x "!)" !(x)) であるから、 f !(!) = 0 である。
! R( f , f "; x) = 0 ! f (x) = 0 が重複解をもつ。
D( f ) ! R( f , f "; x) とおいて、これを f の判別式(discriminant)という。
たとえば、 f (x) = ax 2 + bx + c ( a ! 0 ) について、 f !(x) = 2ax + b で、
a b c
D( f ) = 2a b 0 = a(4ac !b 2 )
0 2a b
である。
Maple で、sylvester 行列、終結式、判別式は次のように入力する。
sylvester(f,g,x)
resultant(f,g,x)
discrim (f,x)
例題 67 f (x) = a0 x 2 + a1 x + a2 , g(x) = b0 x 2 + b1 x + b2
について、
R( f , g; x) =
a0
a2
b0
b2
2
!
a0
a1
b0
b1
"
a1 a2
b1
を確かめよ。
sylvester(a[0]*x^2+a[1]*x+a[2], b[0]*x^2+b[1]*x+b[2],x)
A:=matrix(2,3,[seq(a[k],k=0..2),seq(b[k],k=0..2)])
b2
165
delcols(A,2..2)^2-evalm(delcols(A,3..3))*evalm(delcols(A,1..1))
H:= det(delcols(A,2..2)^2)-det(delcols(A,3..3))*det(delcols(A,1..1)):
expand(resultant(a[0]*x^2+a[1]*x+a[2],b[0]*x^2+b[1]*x+b[2],x)-H)
例題 69
4x 8 + 48x 7 + 37x 6 !1101x 5 ! 3178x 4 ! 2346x 3 ! 6451x 2 !1197x ! 3240 = 0
50x 5 + 5x 4 ! 38x 3 ! 43x 2 ! 88x ! 48 = 0
が共通解が存在するか判定せよ。
[解]
resultant(4*x^8+48*x^7+37*x^6-1101*x^5-3178*x^4-2346*x^3-6451*x^2-1197*x3240,50*x^5+5*x^4-38*x^3-43*x^2-88*x-48,x)
2 つの方程式の終結式が 0 でるから、共通解が存在する。
例題 70
!# f (x) = a0 x 3 + a1 x 2 + a2 x + a3
#"
##g(x) = b0 x 2 + b1 x + b2
$
とする。
! ax + b $&
& の分子
cx + d &%
f1 (x) = f ##
#"
! ax + b $&
g1 (x) = g ###
& の分子
" cx + d &%
とする。ただし、 ad !bc " 0 とする。そのとき、
R( f1 , g1; x) = (ad !bc)6 R( f , g; x) が成立する。
[解]
with(linalg):
f := proc (x) options operator, arrow; sum(a[k]*x^(3-k),k=0..3) end proc
g := proc (x) options operator, arrow; sum(b[k]*x^(2-k),k=0..2) end proc
166
f1 := numer(f((a*x+b)/(c*x+d))):
g1 := numer(g((a*x+b)/(c*x+d))):
expand(resultant(f1, g1, x)-(a*d-b*c)^6*resultant(f(x), g(x), x));
例題 71 次の方程式が重複解を持つための必要十分条件を求めよ
x n + px + q = 0 ( n = 3, 4,5,6, 7,8,9)
[解]
with(linalg):
seq(discrim(x^n+p*x+q, x)=0, n = 3 .. 9);
例題 72 次の2つの式から parameter t を消去して x, y の関係式を求めよ。
"$ xt 3 + t + x = 0
$#
$$ yt 3 !t 2 + y = 0
%
[解 ]
with(linalg): sylvester(x*t^3+t+x,y*t^3-t^2+y,t)
det(% )
Ans
!x 3 + y 3 + xy = 0
例 題 73
曲 線 : y = x(x !1)(x ! 2) 上 の 点 (!2,!24) を 通 る 曲 線 の 接 線 を 求 め よ 。
with(linalg):
f:=x*(x-1)*(x-2):
167
Y:=m *(x+2)-24:
M :=solve(discrim(f-Y,x),m)
y1:=subs(m =M [1],Y)
y2:=subs(m =M [2],Y)
plot({f,y1,y2},x=-3..4)
Ans
y=
23
25
x ! , y = 26x + 28 が 求 め る 接 線 で あ る 。
4
2
注 意:行 列 式 を 標 数 p の 体( Zp )上 で 計 算 で き る 。た と え ば 、次 の 行 列 式 を Z13 上
で計算してみよう。
12 ! x
7
8
2
11+ x x
!10
9
x
with(linalg):A:=m atrix(3,3,[12-x,7,8,2,11+x,x,-10,0,x]))
Det(A) m ood 13
168
練習問題(行列式)
[1] 次の行列式を計算せよ。
(1)
1! 2! 3!
4! 5! 5!
7! 8! 9!
5 7 4
(2) 8 13 !3
6 9 10
(4)
7 9 4
6 5 17
37 36 29
(7)
99 99 3 99 2
101 1013 1012
100 100 3 100 2
(10)
(13)
(15)
(5)
(8)
2
5 !7 3
!2 !6 9
4
5
3
2 !2
7
4
8
5
2
22
23
24
25
3
32
33
34
35
4
44
43
44
45
5
52
53
54
55
(1)
32 13 18
65 27 40
31 19 17
(6)
2 5
8 7
3 7 !9 5
8 10 4 9
6 9 11 13
(9)
46 35 38
21 !23 10
19 25 30
(12)
25 !7 8 11
13 12 14 5
8 12 0 15
10 !9 4 13
(14) A = ( m+n Cn ) ! M (5,5 : N) とし、 A
[2]
1 a b+c
1 b c+a
1 c a+b
(3)
19 3 5
!8 4 12
!7 8 9
(11)
3 5 2 7 !2
4
3 5 6 8
11 !5 9 4
3
6 4 3 11 5
7 8 4 3 8
1
12
13
14
15
29 41 52
18 20 19
13 27 15
12 14 17
21 28 31
38 50 45
(2)
1 a bc
1 b ca
1 c ab
169
0 a
b
c
a !1 0
0
b 0 !1 0
c 0
0 !1
(3)
0
1
(6)
1
0
1
z2
1
y2
1 z2
1 y2
0
x2
x2
0
1 1 1 1
x a a a
x y b b
(9)
x
y
z
a2
0
c2
1
0
a2
b2
1
(4)
0
a
!a 0
!b !d
(7)
!c
(10)
c
e
b2
c2
0
1
1
1
1
0
b
d
0
c
e
f
!f
0
a !b !a b
b a !b !a
c !d c !d
d c
d
c
(5)
a + b + 2c
a
b
(13)
c
b + c + 2a
b
c
a
c + a + 2b
(12)
a
0
b
e
c
f
b
e
0
g
c
f
g
0
1 cos! cos 2!
1 cos " cos 2"
1 cos # cos 2#
(8)
(11)
a
0
a
a
b
c
0
b
a
0
c
c
0
a
b
0 0 0 0
p
0 b 0 0 q
0
0
0
0
0
0
0
0 c r 0
0 r c 0
q 0 0 b
p 0 0 0 0
(14)
0
[3]
a
e
b
f
c d
g h
h
g
f
e
d
c
b
a
z
y
z 0 x
y x 0
2
a
sin! cos" r cos! cos" !r sin! sin"
(15)
sin! sin"
r cos! sin"
r sin! cos"
cos!
!r sin!
0
y2 + z 2
xy
zx
xy
z2 + x2
yz
zx
yz
x 2 + y2
=
0
c
b
a
を証明せよ。
[4] 交代行列 A ! M (2n "1,2n "1 : R) について、 A = 0 を示せ。ここで、 n ! 2 とす
る。
[5]
A ! M (n,n : Z) で、 A m = On,n とする。ここで、 m は正の整数とする。
En + A +!+ A m!1 = ±1 and En ! A = ± (復号同順)
であることを示せ。
[6]
次の問に答えよ。
170
(1)
(2)
O2,3
E2
E3
O3,2
O2,3
A2
A3
O3,2
を求めよ
= A2 A3 を示せ。ただし、 A2 は2次、 A3 は3次の正方行列とす る
[7]
次の行列式を計算せよ。
1
cos!
cos(! + ") cos(! + " + #)
cos!
1
cos "
cos(" + #)
cos(! + ")
cos "
1
cos #
cos(! + " + #) cos(" + #)
cos #
1
[8]
1+ a1
1
1
!
1
1
1+ a2
1
!
1
1
1
1+ a3 !
1
"
1
"
1
a1a2 !an
ak
k=1
n
= a1a2 !an + !
#
"
1 1+ an
!
が成立することを数学的帰納法で証明せよ。
[9]
次の行列式について、各問に答えよ。
a1
cn =
1
!1 a2
O
O
!
! ! 1
!1 an
(1)
c2 ,!,c6 を Maple で計算してみよ。
(2)
漸化式: cn = an cn!1 + cn!2
[10]
(1)
[11]
( n " 3 ) が成立することを示せ。
次の行列式を Maple を使って計算せよ。
(b + c)2
c2
b2
c2
(c + a)2
a2
b2
a2
(a + b)2
1+ a 2
(2)
ba
ab
1+ b
ac
2
ad
bc
ca
cb
1+ c
da
db
dc
bd
2
cd
1+ d 2
171
n 次の行列式:
1+ x 2
x
0
x
1+ x 2
x
0
"
0
x
"
0
1+ x
#
!
!
0
!
0
!
0
#
x
x 1+ x 2
2
1! x 2(n+1)
=
1! x 2
( x !1 )
を証明せよ。
[12]
x
i
1 !i
!i x
i
1
1 !i x
i
i
1 !i x
を因数分解せよ。
[13]
次の行列の逆行列を求めよ。 [14]
"
$$
$
A = $$$
$$
$$
#
3
4 !2 5 %''
'
4
3
5 !7 ''
'
6
4 !3 !1 '''
'
!2 !6 !1 4 '&
次の連立1次方程式をクラーメルの公式を用いて解け。
(1)
"$2x + 4y ! 3z = 3
$$
#3x ! 8y + 6z = 1
$$
$$%8x ! 2y ! 9z = 4
(2)
"$8x !11y + 7z + 9w = 10
$$
$$7x ! 8y + 9z ! 8w = 3
#
$$3x + 9y !11z + 7w = 5
$$
$%11x ! 4y + 5z ! 5w = 7
[15]
"$2 p 3 + 3p 2 x
!C = 0
$#
2
$$
p + 2 px ! y = 0
%
から、 p を消去して、 x, y の関係式を求めよ。
[16]
4 次方程式: x 4 ! 3x 3 ! 4 = 0, x 4 ! 5x 3 +11x 2 !13x + 6 = 0 が共通解があるか否 かを判定せよ。
[17]
x 4 ! 3bx 2 + 4ax 2 !12x + 56 = 0 が重複解を持つ条件を求めよ。
172
解答
[1] (1)
1! 2! 3!
1 2 1
1 2 1
2
4! 5! 6! = 4!7!3! 1 5 5 = 4!7!3! 0 3 4 = 3!! 4!! 7!! 3
7! 8! 9!
1 8 12
0 3 7
= 6531840
5 7 4
0 !3 !26
(2) 与式 = 3 6 !7 = 0 0 !25 = 75
1 2 6
1 2
6
12 14 17
54 14 5
1
0 = !562
(3) 与式 = !3 1 !3 = 0
2 8 !6
26 8 !8
7 9 4
3
5
4
5 17 = !11 !12 17 = 950
(4) 与式 = 6
50 50 50
0
0
50
!7 1 14
0
1
0
(5) 与式 = 18 20 19 = 158 20 !261 = 4632
!5 7 !4
44 7 !102
32 13 18
32 !19 !110
1 4 = 1
0
0
= !713
(6) 与式 = 1
!1 6 !1
!1 7
3
(7)
与式 = 99 !101!100 ! vandermonde(99,100,101)=1999800
25 3 !4
0 = !1356 (8) 与式 = 0 4
9 8 !15
4
81 2
4
81
2
0 1793 !30
(9) 与式 = 21 !23 10 = 1 !428 8 = 1 !428
8 = -25964
19 25 30
!1 !380 20
0 !808 28
(10)
2
5 !7 3
0 19 !39 19
19 !1 152
0 !1 2
7
0 !1
2
7
与式 =
=
= !1 0
0 = !736
1 !7 16 !8
1 !7 16 !8
!4 5 !24
1 !11 29 !4
0 !4 13
4
(11)
173
2
5
8
7
0
1
42
11
1
42
11
1
2 !17 !2
1
2 !17 !2
=
= ! !10 !28 !19
与式 =
0 !10 !28 !19
0 !10 !28 !19
!6 !13 !8
0 !6 !13 !8
0 !6 !13 !8
1
42 11
1 42
11
= ! 2 !2 !3 = ! 0 !86 !25 = !987
!6 !13 !3
0 !19 !17
(12) 与式
5
11
!17 39
=
8
12
10 !9
0 !15
5
11
2 !34
!17 39
=
0 15
8
12
4 13
10 !9
0 !15
5
11
2 !34
!17 39
=
0 15
8
12
4 13
44 !87
0 !15
2 !34
0 15
0 81
5
11 !15
5
1
0
0
1
0
= !2 8
12
15 = !2 8
!4
39 = !2 28
!4
39
44 !87 81
44 !175 213
919 !175 213
= ̶59754
(13)
3
5
2
7 !2
3 5
2
7 !2
!2 !1 2 !5 3
1 4
4
2
1
4
3 = 13 !4 7
与式 = 11 !5 9
9
0 6
4
3 11 5
6 4
3 11 5
3
5 !1 !3 0
3 5 !1 !3 0
3 5
2
7 !2
0 0
0
0
1
= 13 !4
7
9
0 =!
1 1 !17 1
5
3 5
!1 !3 0
5
3
10 11
13 !11 7
9
=!
1
1 !17 1
3
6
!1 !3
5 !7
10 16
13 !37
7
22
1 !1 !17 2
3
0
!1 0
174
35 !7
10 16
35 !7 16
435
1
0
34 !37
7
22
=!
= ! 34 !37 22 = ! 584 !26 0 = 23788
!50 !1 !17 2
!50 !1 2
!50 !1 2
0
0
!1 0
(14) A:=matrix(5,5,[seq(seq(binomial(m+n, n),n =1..5),m=1..5)]),det(A)
(15)
与式 = 5!!vandermonde(1,2, 3, 4,5) = 34560
[2]
1 a a+b+c
1 a 1
(1) 与式= = 1 b b + c + a = (a + b + c) 1 b 1 = 0
1 c 1
1 c c+a+b
(2)
1
a
bc
1 a bc
与式 = 1 b ca = 0 b ! a !c(b ! a) = (a !b)(b ! c)(c ! a)
1 c ab
0 c ! a !b(c ! a)
(3)
A := matrix(4, 4, [0, a, b, c, a, -1, 0, 0, b, 0, -1, 0, c, 0, 0, -1]);det(A);
(4)
A:=matrix(4,4,[0,a^2,b^2,1,a^2,0,c^2,1,a^2,c^2,0,1,1,1,1,0]);factor(det(A))
(5) A:=matrix(4,4,[0,a,b,c,a,0,e,f,b,e,0,g,c,f,g,0]);det(A)
(6) A:=matrix(4,4,[0,1,1,1,1,0,z^2,y^2,1,z^2,0,x^2,1,y^2,x^2,0]);factor(det(A))
(7) A:=matrix(4,4,[0,a,b,c,-a,0,d,e,-b,-d,0,f,-c,e,-f,0]);factor(det(A))
(8)
175
1
cos!
cos 2!
1
cos!
cos 2!
2
2
与式= 0 cos " ! cos! cos 2" ! cos 2" = 0 cos " ! cos! 2(cos " ! cos !)
0 cos # ! cos! cos 2# ! cos 2"
0 cos # ! cos! 2(cos 2 # ! cos 2 !)
1 cos"
cos 2"
1
2(cos ! + cos")
= (cos ! ! cos")(cos # ! cos") 0
0
1
2(cos # + cos")
1 cos"
cos 2"
1
2(cos ! + cos")
= (cos ! ! cos")(cos # ! cos") 0
0
0
2(cos # ! cos !)
= 2(cos!! cos ")(cos " ! cos #)(cos # ! cos!)
(9) 与式= 1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
x a! x a! x a! x
x a! x
0
0
x a! x
0
=
=
x y! x b! x b! x
x y! x b! y b! y
x y! x b! y
x
y! x
z!x
c! x
x
y! x
z!y
c! y
x
y! x
0
0
0
z! y c!z
= (a ! x)(b ! y)(c ! z)
(10)
a !b 0
0
b a
0
0
a !b
与式= c !d 2c !2d = b a
d c 2d 2c
2c !2d
= 4(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )
2d 2c
(11) 与式=
a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c
a+b+c
0
0
0
b
a
0
c
b
a !b !a
c
=
c
0
a
b
c
!c
a
b!a
0
c
b
a
0
c
b ! c a !b
a !b !a
c
a !b
!a
c
= (a + b + c) !c
a
b ! a = (a + b + c) !c
a
b!a
c
b ! c a !b
0
a+b!c
0
= !(a + b + c)(a + b ! c)
(12) 与式=
a !b
c
= (a + b + c)(a + b ! c)(a !b ! c)(a !b + c)
!c b ! a
176
2a + 2b + 2c
a
b
2a + 2b + 2c
a
b
2a + 2b + 2c b + c + 2a
b
=
0
b+c+a
0
2a + 2b + 2c
a
c + a + 2b
0
0
c+a+b
= 2(a + b + c)3
(13)
a ! p 0 0 0 0 !(a ! p)
与式=
0
b 0 0 q
0
0
0
0
0 c r 0
0 r c 0
q 0 0 b
0
0
0
p
0 0 0 0
a
a! p 0 0 0 0
=
0
b 0 0 q
0
0
0
0
0 c r 0
0 r c 0
q 0 0 b
0
0
0
a
0 0 0 0 a+ p
b 0 0 q !b
b 0 0 q
= (a ! p)(a + p)
b
0
0 c r 0
0 c r
0
= (a ! p)(a + p)
0 r c 0
0 r c
0
q 0 0 b
q 0 0 b!q
0 0 q !b
0
c r
= (a ! p)(a + p)
0
r c
b+q 0 0
0
0
0
0
c r
= (a ! p)(a + p)(b ! q)
0
r c
b+q 0 0
= (a ! p)(a + p)(b ! q)(b + q)(c ! r)(c + r)
(14)
与式 =
=
a+d
e+ h
b+c c+b
f +g g+ f
d+a
h+e
h
g
f
e
d
c
b
a
a+d
e+ h
b+c
f +g
f !g
e! h
b!c
a!d
=
a+d
e+ h
b+c
f +g
0
0
0
0
h
g
f !g
e! h
d
c
b!c
a!d
(15)
sin! cos" cos! cos" !sin"
与式 = r sin! sin! sin"
2
cos!
cos! sin"
cos"
!sin!
0
177
"
sin! sin" cos! sin"
sin! cos" cos! cos"
$
= r sin! $$!sin"
! cos"
$#
cos!
!sin!
cos!
!sin!
2
%'
''
''
&
"
sin! cos!
sin! cos! %''
= r 2 sin! $$$!sin 2 "
! cos 2 "
'
$#
cos! !sin!
cos! !sin! ''&
= r 2 sin!(cos 2 ! + sin 2 !)(cos 2 " + sin 2 ") = r 2 sin!
! 0 z y $&! 0 z y $&
y2 + z 2
##
&&##
&&
#
&#
&
xy
[3] 左辺= ### z 0 x &&&### z 0 x &&& =
## y x 0 &&## y x 0 &&
zx
"
%"
%
[4]
t
xy
zx
z2 + x2
yz
yz
x 2 + y2
2n!1
A = ! A 。故に、 A = 0
A = !A より、 A = (!1)
(En + A +!+ A m!1 )(En ! A) = En ! A m = En であるから、
[5]
En + A +!+ A m!1 En ! A = 1 で、 En + A +!+ A m!1 , En ! A " Z であるから、
En + A +!+ A m!1 = ±1, En ! A = ±1 (復号同順)
[6]
(1)
E2
O2,3
O3,2
E3
! 1 2 3 4 5 $
& を作用させたのが
# 3 4 5 1 2 &
"
%
の列に対して置換 ! = #
与式と考えられる。 ! = (1,2)(2, 3)(1, 4)(2,5) と思えるから、 sgn(!) = (!1)2"3
与式= sgn(!)
! O
# 2,3 A2
(2) ##
## A3 O3,2
"
[7] $& ! A O
2,3
&& = ## 2
&& ## O
&% #" 3,2 A3
E2
O2,3
O3,2
E3
$&! O
&&## 2,3 E2
&&## E
&%#" 3 O3,2
=1
$&
&& ' O2,3 A2 = A A
2
3
&&
A3 O3,2
&%
178
1
cos!
cos(! + ") cos(! + " + #)
cos!
1
cos "
cos(" + #)
cos(! + ")
cos "
1
cos #
cos(! + " + #) cos(" + #)
cos #
1
1
0
cos!
sin!
=
cos(! + ")
sin(! + ")
cos(! + " + #) sin(! + " + #)
0
0
0
0
0
0
0
0
1 cos! cos(! + ") cos(! + " + #)
0 sin! sin(! + ") sin(! + " + #)
0
0
0
0
0
0
0
0
=0
[8]
証明
n:=2:A:=evalm(matrix(n, n, 1)+diag(seq(a[j],j =1..n))); det(A)
n:=3:A:=evalm(matrix(n, n, 1)+diag(seq(a[j],j =1..n))); det(A)
2
3
a1a2
aa a
. if n = 3 , A = a1a2 a3 + ! 1 2 3 .
ak
k=1 ak
k=1
if n = 2, A = a1a2 + !
がわかる。
n !1 次のこのタイプの行列式についてこの命題が成立するとする。
179
1+ a1
1
1
!
1
1+ a1
1
1
!
1
1
1+ a2
1
!
1
1+ 0
1+ a2
1
!
1
1
1
1+ a3 !
1
= 1+ 0
1
1+ a3 !
1
"
1
"
1
"
1+ 0
"
1
#
"
1 1+ an
!
1
"
1
"
1
!
!
!
1
1
a1
1
1
!
1
0
1+ a2
1
!
1
1+ a3 !
1
+ 0
1
1+ a3 !
1
"
0
"
1
1
1
1 1+ a2
= 1
#
"
1 1+ an
1
1
#
"
1 1+ an
!
#
"
1 1+ an
!
帰納法の仮定から、
a1
1
1
!
1
0
1+ a2
1
!
1
0
1
1+ a3 !
1
"
0
"
1
!
!
1
1
1
1
1+ a3 !
1
"
1
"
1
!
1
1
!
1
= a1
"
1
#
"
1 1+ an
!
1
1
1 1+ a2
1+ a2
1
1+ a3 !
1
"
1
#
"
! 1+ an
n
"
a !an %'
'
= a1 $$a2 !an + ! 2
$#
ak ''&
k=2
1 1
0 a2
1
0
!
!
1
0
0
= 0
0
a3 !
"
0
"
0
# "
! 0 an
#
"
1 1+ an
1+ a1
1
1
!
1
1
1+ a2
1
!
1
1
1
1+ a3 !
1
"
1
"
1
!
!
1
= a2 a3 !an
a1a2 !an
ak
k=1
n
= a1a2 !an + "
#
"
1 1+ an
数学的帰納法により、すべての自然数 n について命題は成立する。
180
[9]
C:=seq(evalm(band([-1,0,1],n)+diag(seq(a[j],j =1..n))),n=2..7)
seq(det(C[n]),n=1..4)
(2)
cn を第 n 行展開をすると、
a1
cn = an (!1)n+n
1
!1 a2
O
O
!
! ! 1
!1 an!1
a1
+ (!1)(!1)n+(n!1)
1
!1 a2
O
O
!
! !
1
!1 an!2
= an cn!1 + cn!2
[10]
(1)
A:=matrix(3,3,[(b+c)^2,c^2,b^2,c^2,(c+a)^2,a^2,b^2,a^2,(a+b)^2])
factor(det(A))
(2)
A:=matrix(4,4,[1:a^2,a*b,a*c,a*d,b+c,1+b^2,b*c,b*d,c*a,c*b,1+c^2,c*d,d*a,d*b,d*c,
1+d^2])
181
det(A)
[11]
M :=seq(band([x, x^2+1, x], n),n=2..5)
Det:=seq(det(M[k]),k=1..4)
与式を an とおくと、上の行列式の Maple による計算から
an = x 2n + x 2(n!1) +!+ x 4 + x 2 +1
であることが推定できる。
帰納法で証明する。
n = 3 のとき、
1+ x 2
a3 =
x
x
1+ x
0
x
0
2
x
= x 6 + x 4 + x 2 +1
1+ x 2
である。
与式の1行展開すると、漸化式 an = (1+ x 2 )an!1 ! x 2 an!2 をうる。
an!1 ,an!2 ついては成立しているとする(帰納法の仮定)。
an = (1+ x 2 )(x 2(n!1) + x 2(n!2) +!+ x 2 +1)! x 2 (x 2(n!2) +!+ x 2 +1)
= x 2n + x 2(n!1) +!+ x 4 + x 2 +1
[12]
182
与式 =
= (x +1)
0
!i !ix
1! x 2
i + ix
0
x +1
1
i
0
0
!i !ix x i + ix
0
!i x +1
=
0
!i !ix
0
x +1
!x 2 + x + 2 !i !ix
i + ix
0
1
i
0
0
x !1
0
!i x +1
!i(x +1)
x +1
!i
1
= (x +1)3
= (x +1)3 (x ! 3)
!(x ! 2) !i
!(x +1)(x ! 2) !i(x +1)
A:=band([I,1,-I,x,I,1,-I],4)
factor(det(A))
[13]
A:=matrix(4,4,[3,4,-2,5,4,3,5,-7,6,4,-3,-1,-2,-6,-1,4])
The_inverse_of_A =adjoint(A)/det(A)
[15]
(1) AA := matrix(3,4,[2,4,-3,3,3,-8,6,1,8,-2,-9,4])
M:=submatrix(AA,1..3,1.. 3),seq(submatrix(swapcol(AA,k,4),1.. 3,1..3),k=1..3)
183
DET:=seq(det(M[k]),k=1..4)
(x, y, z) = (seq(DET[k]/DET[1],k = 2..4))
(2)
AA:=matrix(4,5,[8,-11,7,9,10,7,-8,9,-8,3,9,-11,7,5,11,-4,5,-5,7])
M:=submatrix(AA,1..4,1..4),seq(submatrix(swapcol(AA,k,5),1..4,1..4),k=1..4)
DET:=seq(det(M[k]), k =1..5)
(x,y,z,w) = seq(DET[k]/DET[1],k=2..5)
次のようにすることもできる。
matrix(4, 1, [x, y, z, w]) = multiply(inverse(M[1]), submatrix(AA, 1 .. 4, 5 .. 5))
184
[15]
sylvestermatrix:= sylvester(2*p^3+3*p^2*x-C,p^2+2*p*x-y,p)
det(sylvestermatrix)
Ans: !4y 3 + 4Cx 3 ! 3x 2 y 2 + 6Cxy + C 2 = 0
[16]
resultant(x^4-3*x^2-4,x^4-5*x^3+11*x^2-13*x+6,x)
Ans
2 つの方程式の終結式が 0 であるから、共通解が存在する。
[17]
discrim(-3*b*x^3+x^4+4*a*x^2-12*x+56,x)=0:
(1/64)*%
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