角度部分のLaplacianと角運動量
角運動量演算子(詳しくは後で学ぶ)
L = r × p → r × (−i =∇)
∂
∂
L
→
−
i
=(
x
−
y
)
例えば z
∂y
∂x
これらを球座標に変換する(やってみよ)
∂
∂
Lx = i =(sin φ
+ cot θ cos φ )
∂θ
∂φ
∂
∂
Ly = −i =(cos φ
− cot θ sin φ )
∂θ
∂φ
∂
Lz = −i =
∂φ
2
1 ∂
1 ∂2 ⎞
2⎛ ∂
2
2
2
2
+ 2
L = Lx + Ly + Lz = − = ⎜ 2 +
2 ⎟
tan
θ
∂
θ
∂
sin
∂
θ
θ
φ
⎝
⎠
よって角度部分の方程式は L2Y (θ , φ ) = A(A + 1)Y (θ , φ )
角度θ部分の方程式とLegendre陪関数
角度部分のシュレディンガー方程式を変数分離し、θ部分の
角度部分のシ
レデ ンガ 方程式を変数分離し θ部分の
方程式を書くと
d 2Θ
1 dΘ
m2
− A(A + 1)Θ −
2 +
2 Θ = 0
tan θ dθ
dθ
sin θ
ここで x = cos θ (−1 ≤ x ≤ 1) と変数変換する。つまり
d
dx d
d
= − sin θ
dθ dx
dx
2
d
d
d
d
(− sin θ ) = − cos θ
+ sin2 θ 2
2 =
dθ
dx
dx
dθ
dx
dθ
d2
=
代入すると
d 2Θ
dΘ
m2
(1 − x ) 2 − 2x
− A(A + 1)Θ −
2 Θ = 0
dx
(1 − x )
dx
2
Legendre陪関数(associated Legendre)
d 2Θ
dΘ
m2
(1 − x ) 2 − 2x
+ A(A + 1)Θ −
Θ=0
dx
(1 − x 2 )
dx
2
はLegendreの微分方程式の仲間である。
はLegendreの微分方程式の仲間である
微分方程式は級数解(物理数学2B)
Θ(x ) =
∞
∑ ajx j
j =0
とおいて代入するのが手順である。
とおいて代入するのが手順である
が、その前に「物理的な要請から領域内で発散しない解を探す」
ことを念頭に、
ことを念頭に
x = +1, −1
で変な振る舞いをしないか確認する。(確定特異点)
振 舞
。(
特異点)
x → +1 で、方程式は 2
2
2(1
( − x)
d Θ
dΘ
m
−
Θ=0
2 −2
dx 2(1 − x )
dx
と振る舞う。
Legendre陪関数(associated Legendre)
方程式の形から x → +1 での解は
Θ ~ (1 − x )s
として代入してみる(これより次数が高い解は x
s −2
2(1 − x )s(s − 1)(1 − x )
s −1
+ 2s(1 − x )
m2
{2s −
}(1 − x )s −1 = 0
2
2
→ +1 で微小)
m2
−
(1 − x )s −1 = 0
2
∴s = ±
m
2
x → −1 でも同様な振る舞いをする。
以上から解の形を
|m |
|m|
Θ(x ) = (1 − x ) 2 (1 + x ) 2 F (x )
とおいて解を探す この解を陪L g d の微分方程式に代入
とおいて解を探す。この解を陪Legendreの微分方程式に代入
すると
d 2F
dF
(1 − x ) 2 − 2(m + 1)x
+ {A(A + 1) − m(m + 1)}F = 0
dx
dx
2
Legendre陪関数(associated Legendre)
微分方程式の解を決定するためには、級数展開法を用いる。
微分方程式の解を決定するためには、級数展開法を用いる
F (x ) =
∞
∑ a jx j
j =0
以下計算(物理数学2Bでやった通り)
∞
(1 − x )∑ j ( j − 1)a j x
2
j =2
j −2
∞
− 2(m + 1)x ∑ ja j x j −1
j =0
∞
+ {A(A + 1) − m(m + 1)}∑ a j x j = 0
j =0
j
j
( j + 2)( j + 1)a j +2x − j ( j − 1)a j x − 2(m + 1)ja j x
j
+{A(A + 1) − m(m + 1)}a j x j = 0
∴ a j +2
j 2 + (2m + 1)j − {A(A + 1) − m(m + 1)}
=
aj
( j + 2)( j + 1)
Legendre陪関数(associated Legendre)
この級数が発散せずに有限にとどまるためには、この級数はjが
ある値のときに0になる必要がある。
j 2 + (2m + 1)j − {A(A + 1) − m(m + 1)} = 0
jmax
−(2m + 1) ± (2m + 1)2 + 4{A(A + 1) − m(m + 1)}
=
2
−(2m + 1)± | 2A + 1 |
∴ jmax =
= A −m
2
この式でjは自然数なので 有限な解が得られる条件は
この式でjは自然数なので、有限な解が得られる条件は
A は自然数であること、かつ A ≥ m
以上から定まる解をassociated Legendre polynomialと呼ぶ」
Θ(x ) = (1 − x
2
|m|
) 2 F (x )
Griffith (4.27)式と同じ
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