第3回 仮説検定
教科書p14-25
問題例1
サイコロを6回振って、6回とも偶数の目が出た。
このサイコロはイカサマと言ってよいか。
正確なサイコロ
偶数の目:2,4,6=>確率p=0.5
奇数の目:1,3,5=>確率q=1-p=0.5
6回中、偶数の目の出る回数の期待値=?回
二項分布
n=
6
p=
0.5
q=
0.5
x nC x pxqn-x
0
1 0.015625
1
6 0.015625
2 15 0.015625
3 20 0.015625
4 15 0.015625
5
6 0.015625
6
1 0.015625
6
∑ x×fX(x)=3
x=0
fX (x)
0.015625
0.093750
0.234375
0.312500
0.234375
0.093750
0.015625
6回中6回とも偶数になることがある
その確率は0.015625
帰無仮説(H0:Null Hypothesis)
:サイコロは正確である。
仮説がおこる確率が小さい場合は仮説を棄却する
対立仮説(HA: Alternative Hypothesis)
:サイコロはイカサマである。
帰無仮説を棄却する基準
有意水準α=0.05または0.01
仮説検定の手順
①有意水準αの設定、α=0.05または0.01
②帰無仮説が真とした場合、観測した現象が起こる確率πtを計算
③ πt ≦α:帰無仮説を棄却、対立仮説を採択
④ πt >α:帰無仮説を消極的に採択
6回中6回とも偶数になる確率πt=0.015625≦α
:帰無仮説の棄却
サイコロはイカサマである
片側検定と両側検定
6回とも偶数の目が出るような歪がある=>片側検定
α=0.05
πt=0.015625
α-=0.025
α+=0.025
α=α-+α+=0.05
6回とも偶数か奇数の目に偏る歪がある=>両側検定
問題例2
ある生産ラインで作られるアンプルの封入薬剤量は50.0mlと
決められている。また、この生産ラインの封入精度の標準偏差は
2.5mlと決められている。
ある日の生産ラインで25個を抜き取って調べたところ平均封入量
m=51.2mlであった。
この日の生産ラインに異常があるか。
25個のサンプルの平均値は母平均値と差があるか?
母数は既知:正規分布、母平均μ=50.0ml、標準偏差σ=2.5ml
サンプルの平均値と母平均値との差は正規分布である、
N(m-μ、σ2/n)=N(1.0、0.25)
分散= σ2/n =2.52/25=0.25


N  m   ,
n

2

1
 
e
2
2 / n


m   2

標準誤差:s m 
2 2 / n
2
n
 0.25  0.5
m-μ=51.2-50.0=1.2
標準化: Z 
m   1.2

 2.4
sm
0.5
帰無仮説:標本平均は正常な生産ラインのものである。
正常なラインの封入量の分布

N x   ,
2


1
e
2 
x   2
2 2
標本平均の分布


N  m   ,
n

2
平均μ

1
 
e
2
2 / n


m   2

2 2 / n
対立仮説:異常な生産ライン
・平均値が異なる
帰無仮説:標本平均は正常な生産ラインのものである。
有意水準α=0.05、両側検定
|z|≧2.4の確率
πt=0.0082×2=0.0164
πt ≦α
帰無仮説を棄却
Z=-1.96
Z=1.96
生産ラインに異常がある
2.5%
2.5%
z
標準正規分布表
第1種の過誤と第2種の過誤
真実
帰無仮説
棄却
消極的採択
生産ラインは正常
第1種の過誤(α)
過誤なし
生産ラインは異常
過誤なし
第2種の過誤(β)
1-β
:検出力
β
α
偶数の目の出る確率が0.5の正常なサイコロと偶数の目が出る
確率が0.8の歪んだサイコロがある。
サイコロを10回振って、8回偶数の目が出た。このサイコロは
歪んでいると言ってよいか。有意水準5%で検定しなさい。
α=0.05
帰無仮説
10回中8回以上の確率
πt=0.043945+0.009766+0.000977
=0.054688
πt >α=0.05
帰無仮説を採択
第2種の過誤
>0.63
β=0.62419
演習3.1
偶数の目の出る確率が0.5の正常なサイコロと偶数の目が出る
確率が0.8の歪んだサイコロがある。
サイコロを10回振って、8回偶数の目が出た。このサイコロは
歪んでいると言ってよいか。有意水準5%で検定しなさい。
その結果によって第1種の過誤又は第2種の過誤を示しなさい。
演習3.2
以下のデータは平均5.0、標準偏差1.0の母集団からの標本と
言えるか、有意水準5%で検定しなさい。
3.6
2.8
4.5
5.9
5.0
4.3
5.6
5.1
5.2
3.5
4.4
7.4
5.3
4.3
5.7
5.8
5.5
4.4
6.2
3.1
5.3
5.0
5.7
6.0
5.1
4.3
5.4
3.8
5.7
6.8
6.8
3.3
3.9
3.8
4.1
5.1
前回の演習2.1、2.2と今回の演習3.1、3.2を1つのExcelファイルにまとめて
(1演習を1シートにしてください)、サイバーキャンパスに提出してください。
レポート課題は“応用統計11A0425 ”又は“応用統計11A0427 ”になっています。
自分のクラスに提出してください
7.0
5.9
4.2
6.5
ダウンロード

PowerPoint