格子の振動(古典論)
a:バネの自然長
M
K: バネの強さ
大文字のK
uj
j番目の原子の変位
問1:j番目の原子に関する運動方程式を書け。
問2:uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、
ωとkの関係式(分散関係と言う)を求めよ。
またグラフに書け。
問3:周期的境界条件 uj+N=uj が全てのjについて
成立するとき、kはどのような値をとるか?
1
格子の振動(古典論)解答
M
K: バネの強さ uj
j番目の原子の変位
問1:j番目の原子に関する運動方程式
M
d 2u j
dt 2
 K (u j 1  u j )  K (u j  u j 1 )
問2:uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、
ωとkの関係式(分散関係と言う)を求めよ。
 M 2  K (e ika  e ika  2)  2 K (coska  1)  2 K sin 2
ka
2
4K
ka
分散関係:ω(k)
sin 2
M
2
グラフは次のページ ikaN
e
 1,
問3:周期的境界条件 uj+N=uj が全てのjについて
kaN  2n
成立するとき、kはどのような値をとるか?
2 
k
2n
aN
2
格子の振動(古典論)続き
uj=uexp[i(kaj-ωt)]は隣の原子の位相が、exp(ika)変化している。
したがって、kaの値で意味があるのは、-π<ka≦πの範囲。
周期的境界条件より、k=2πn/aNなので、nで言うと、
-N/2 < n ≦ N/2
n=0, ±1、... ±(N/2 –1) , N/2 の合計N個
ω
2
K
ka
 sin
M
2
-π/a<k≦π/a の範囲を
「第1ブリルアンゾーン」と言う。
-π/a
0
k
π/a
3
比熱の古典論
エネルギー等分配則
1自由度当たり、kT/2
N個の原子なら、3Nの自由度
U= 3NkT
C=dU/dT = 3Nk
温度に依らず、いつも一定の比熱?
E
0
T
C
しかし、低温で実験と合わない。
量子力学で考える必要がある。
0
振動子をボゾンとして扱う。
T
実験と合わない
4
同種粒子(区別がつかない粒子):
ボゾンとフェルミオン
ボゾン(ボーズ粒子) boson
1つの準位に粒子が多数入れる。
フェルミオン(フェルミ粒子) fermion
1つの準位に粒子は1個だけしか入れな
い。
例:フォトン、
偶数個のフェルミオンの系はボゾン。
例:電子、陽子、中性子など。
奇数個のフェルミオンの系は、フェルミ
オン
波動関数は粒子の入れ替えに対して、対称。 波動関数は、粒子置換に対して、反対称
Ψ(2,1)=+Ψ(1,2)
Ψ(2,1)=-Ψ(1,2)
エネルギーE の状態数
エネルギーE の状態数
1
1
f ( E )   ( E  )
f ( E )   ( E  )
e
1
e
1
f(E)
1
1よりも大きい値をとれる
f(E)
0から1までの値をとる
0.5
E
μ 0
0
E
5
比熱の量子論(アインシュタインの議論)
調和振動子のエネルギー準位:
1
E n   ( n  )
2
はプランク定数
n=0,1,2,...

問題1.占有数nの平均値
を求めよ。
問題2
1
n
exp[




(
n

)]

2
 n  n 0
1
exp[




(
n

)]

2
n 0
β=1/kT
前問の<n>の結果を使って、もし振動子が全て同じ振動数ω0を持つ場合の
内部エネルギー U  3N0  n 
から、
比熱Cを求めよ。UとCの高温極限と低温極限を求めよ。
UとCを温度Tの関数としてグラフを書け。
6
やっていること。
固体原子
+
自由電子
->
?
+
格子と逆格子
ブリルアンゾーン
格子振動
比熱
金属中の電子
Ψ=exp(ikx)の波 E
 2k 2
Ek 
2m
k
0
7
復習:等比数列
(忘れている人もいたので)
n
1

r
1  r  r 2  ...  r n 1 
1 r
証明:左辺をSn(r)と置くと、
S n (r )  1  r  r 2  ...  r n 1 ,
rS n (r )  r  r 2  ...  r n ,
両辺引いて、
(1  r ) S n (r )  1  r n
よって
1 r n
S n (r ) 
(1  r )
証明は終わり。数学的帰納法でもよい。
ちなみに、そもそも因数分解の形をしている。
(1  r  r 2  ... r n1 )(1  r )  1  r n
n=2や3だと見たことある形。
(1  r  r 2 )(1  r )  1  r 3 ,
(1  r )(1  r )  1  r 2 ,
8
復習:等比級数
等比数列の和は前頁より
n
1

r
1  r  r 2  ...  r n 1 
1 r
すると
等比級数は、両辺でn→∞の極限をとり、|r|<1なら、
1
1  r  r  ...  r  ... 
1 r
2
n
もし|r|≧1なら、発散する。
9
他の級数

n
nx

n 0


f ( x)   x n , g ( x)   nxn
n 0
とおく。g(x)を知りたい。
n 0


df
n 1
方法その1.微分する。
  nx   (m  1) x m g ( x)  f ( x)
dx n1
m 0
f=1/(1-x)、df/dx=1/(1-x)2なので、
g(x)=df/dx-f=x/(1-x)2
方法その2

xg( x)   nx
n 0
n 1


  (m  1) x  1   (m  1) x m
m
m 1
よって、xg(x)=1+g(x)-f(x),
(1-x)g(x)=f(x)-1,
g(x)=(f(x)-1)/(1-x).
f(x)=1/(1-x)を代入して、g(x)=x/(1-x)2
m 0
10
比熱の量子論(アインシュタインの議論)
調和振動子のエネルギー準位:
1
E n   ( n  )
2
はプランク定数
問題1.占有数nの平均値
n=0,1,2,...

1
n
exp[




(
n

) ]

2
 n  n 0
1
exp[




(
n

)]

2
n 0
 n 
β=1/kT
1
e   1
を求めよ。
問題2 前問の<n>の結果を使って、もし振動子が全て同じ振動数ω0を持つ場合の
内部エネルギー
から、
比熱Cを求めよ。 U  3N0  n 
比熱Cの高温極限と低温極限を求めよ。
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