物理科学1 レポート課題(第3回)
3
解答例
【問 1】x 軸上で運動する質点の質量,速度を m, v(t) とするとき,この質点の運動エネルギー K(t) は
K = 1 mv 2
2
で定義される.
x 軸上の各点で,x 軸方向のみに作用する力 F (x) が,x1 から x2 まで移動する質点にする仕事 W は
∫ x2
F (x)dx
W =
x1
で定義される.
運動方程式 m
dv = F の両辺に v = dx を乗じて,t = t から t = t まで t で積分すると,
1
2
dt
dt
∫ t2
∫ t2
m
v(t) dv dt =
F dx dt.
dt
dt
t1
t1
左辺は,v = v(t) で置換積分すると,積分範囲は v1 = v(t1 ) から v2 = v(t2 ) になり,dv =
∫
t2
m
t1
v(t) dv dt = m
dt
∫
[
v2
mv 2
2
vdv =
v1
]v2
=
v1
dv dt だから,
dt
mv22
mv12
−
2
2
すなわち,運動エネルギーの変化量となる.一方右辺は,x = x(t) で置換積分すると,積分範囲は x1 = x(t1 ) から x2 = x(t2 )
になり,dx =
dx dt だから,
dt
∫
t2
t1
F dx dt =
dt
∫
x2
F dx
x1
すなわち,力 F による仕事となる.
−
→
【問 2】一般に,ポテンシャルエネルギー U (x, y, z) に対する保存力 F との間には
→
−
F =−
(
∂U î + ∂U ĵ + ∂U k̂
∂x
∂y
∂z
)
−
→
の関係が成り立つ.これを用いて,U から F を求めればよい.
−
→
(1) F = −kxî.
(
)
∂U = kx, ∂U = ∂U = 0 より.
∂x
∂y
∂z
−
→
(2) F = −g ĵ
−
→
(3) F = − √ GM
3 (xî + y ĵ + z k̂)
x2 + y 2 + z 2
→
−
−
→
【問 3】質点 m1 , m2 のそれぞれに,力 F 1 , F 2 が作用していれば,運動方程式は
−
−
→
d→
v1
= F1
dt
−
−
→
d→
v2
m2
= F2
dt
−
→
→
→
となる.これらを辺々加えて,→
p 1 = m1 −
v 1, −
p 2 = m2 −
v 2 を用いて変形すれば
m1
−
→ −
→
d (−
→
→
p1+−
p 2 ) = F1 + F2
dt
−
→
−
→
を得る.衝突の間は,内力のみが作用していると考えられるので,作用反作用の法則より F 1 = − F2 が成り立っており,上
−
→
記右辺は 0 であるから,この間,全運動量 →
p1+−
p 2 は時間変化しないことがわかる.(注:もし,外力が存在した場合でも,
−
→
−
→
衝突の時間 ∆t がとても微小, F 1 + F 2 がほぼ一定であれば,上式を衝突時間で積分して,
−
→
→
−
−
→
∆(→
p1+−
p 2 ) = ( F 1 + F 2 )∆t
→
−
→
−
を得る.もし力積 ( F 1 + F 2 )∆t が無視できるほど小さければ,運動量変化もゼロであると(近似的に)いえる.)
物理科学1 レポート課題(第3回)
4
【問 4】(1) 張力は運動方向と直交するので,仕事をしない.
(2) (張力は仕事をしないので)「運動エネルギーの変化量=重力による仕事」が成り立つ*1 :
これより,V =
mV 2 − 0 = mgℓ(1 − cos ϕ)
2
√
2gℓ(1 − cos ϕ)
(3) 最下点において,運動方程式の鉛直成分を考える(第1回レポート問5参照)と
2
m V = T − mg
ℓ
V 2 = mg(3 − 2 cos ϕ)
ℓ
(4) C 点における速さを VC とすれば,C 点における速度成分は (VC cos θ, VC sin θ) となり,ひもが切れたあとは,鉛直方向
これに (2) の結果を代入して,T = mg + m
のみに重力が作用するだけなので,(運動方程式により)速度の水平成分 VC cos θ は一定である.よって頂点における運
動エネルギーは(速度の鉛直成分は 0 なので)
m (V cos θ)2 = m V 2 cos2 θ.よって,頂点における運動エネルギーは,
2 C
2 C
C 点におけるそれ(= m VC2 )の cos2 θ 倍.
2
m V 2 = mgℓ(cos θ − cos ϕ) が成り立つ.
次に,運動エネルギー=仕事の原理により,
2 C
C 点と頂点との間で,力学的エネルギー保存の法則を用いると,(水平方向の速度は一定 VC cos θ になることに注意して)
m V 2 = m (V cos θ)2 + mgh
2 C
2 C
が成り立つ.これらをあわせて
h = ℓ(cos θ − cos ϕ) sin2 θ.
【問 5】(1) 一体化の際に,物体と台車の間に働く力は,作用・反作用の力のみであり,外力は存在しないと考えられるから,
運動量保存則が成り立つ.
(2) 運動量が保存するので,mv = (m + M )V がなりたつ.よって V =
mv .
M +m
(3) 物体と台車の間に働く摩擦力が仕事をするので,それに等しい大きさの運動エネルギーが変化し得る.この状況下では,
衝突の前後で位置エネルギーは変化しないが,運動エネルギーの差は
M + m V 2 − m v2 = M + m
2
2
2
(
mv
M +m
)2
Mm
v2
− m v2 = −
2
2(M + m)
であり.全体の運動エネルギーは(そして力学的エネルギーも)減少している.(この失われたエネルギーは,散逸する
熱エネルギーとして使われることになるだろう)
(4) 垂直抗力が仕事をしないことと,摩擦が働いていないので,斜面の上端と下端の間で,力学的エネルギー保存の法則が成
m v 2 = mgh. つまり v = √2gh. (2) の結果より
り立つ.
2
√
m 2gh
V =
m+M
(5) 物体が台車に乗ってからは,バネの力のみが作用するので,力学エネルギー保存則が成立する.
√
m + M V . これに (4) の結果を代入して,
りd=
k
√
2gh
d=m
.
k(m + M )
(m + M ) 2
V = k d2 よ
2
2
注意
よくある誤答に,「力学的エネルギー保存則より,斜面の頂点での位置エネルギーと,バネの弾性エネルギーが等し
いので,mgh =
k d2 , d =
2
√
2mgh
」というのが多くありましたが,一体化の際に,力学的エネルギーは減少して
k
おり,この段階で力学的エネルギーの保存則は成り立たなくなっていることに注意すること.
*1
あるいは,保存力である重力のみが仕事をするので,力学的エネルギー保存の法則が成り立つことを利用しても,同じ等式が導かれる.
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