信号理論
(金田)
1演-1
三角関数演習問題
(答は別紙の解答用紙に記入する)
[ 三角関数 ]
1.右の図の直角三角形において、r,a,b は、
それぞれの辺の長さを表す。
また、θは r と a の辺のなす角度を表す。
このとき、
(1) sinθ (2) cosθ (3) tanθ
を、r,a,b を用いて表せ。
r
b
θ
a
2.角度の単位を2つあげよ。
3.(1) π/3 (2)π/4 (3) π は、何度の角度か?
4.次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、(1) は、可能な限りていねいに書くこと。
(2) は、(1)との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。
(1) sin( x )
(2) cos( x)
1
1
0
2π
x
-1
0
2π
x
-1
5.次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、sin(x) との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。
(1) sin( x-π/2 )
(2) sin( x+π/2)
1
1
0
2π
-1
0
2π
x
-1
6.三角関数の微分・ 積分
d
(1)サインの微分
sin ax
dx
(3) サインの不定積分
x
 sin(ax)dx
(2)コサインの微分
(4) サインの定積分
d
cos ax
dx
b
 sin x dx
a
a,b は定数
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田)
1演-2解(1)
三角関数演習 解答用紙
1
(1)
2
(2)
(3)
b/r
a/r
b/a
3
(1)
(2)
(3)
60°
45°
180°
度、°、
deg. など
4. (1) sin( x )
ラジアン、
rad. など
πは3.14・・・という
量であって、単位
ではない
(2) cos( x)
波形は次ページ
1
0
1
x
2π
-1
0
2π
x
-1
5. (1) sin( x-π/2 )
(2) sin( x+π/2)
1
1
0
x
2π
-1
0
2π
-1
(1)
(2)
(3)
a・cos(ax)
-a・sin(ax)
-(1/a)・cos(ax) + C
(4)
cos(a) - cos(b)
x
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田)
1演-2解(2)
三角関数演習 解答用紙
4.
(1) sin( x )
(2) cos( x)
2πで1周期
1
1
x
π
π
2π
2π
x
-1
×
1
π
半円の繰り返し
ではダメ
x
2π
-1
5.(1) sin( x-π/2 )
参考: sin( x )
1
1
x
x
2π
π
0
0
-1
π
2π
-1
π/2
sin(x) が右に π/2 移動
= -cos( x)
関数 f(x-τ) は、
→ 元の波形が、( ) 内がゼロとなるxに移動する
→ 左の式では、sin波形の開始点が
x=π/2 の点に移動する
(2) sin( x+π/2 )
1
0
π
2π
π/2
sin(x) が左に π/2 移動
= cos( x)
x
信号理論
(金田)
1演-3
複素数演習
答えだけでなく途中式も書くこと
1.以下の計算をして、答を 実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。
3.次の複素数を、複素指数関数(極座標表示) r ej θ の形
で表せ。 (ただし、θは「度」で表せ。また√2=1.4 とせよ)
(1) (2+j 3)+(1+j 2)
(1) ( 1 )
(2) ( j )×( j )
(2) ( j )
(3) ( 4+j )×( 3-j 3 )
(3) ( 1-j )
(4) ( j )6
(4) ( -1+j )
(5) ( 1 )÷( j )
(6) ( j ) -3
4.次の複素数の計算をせよ (答えは複素指数関数)
(1) 2ej 25°× 4e-j 315°
2.以下の複素数を、実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。
ただし、sin45°=cos45°=0.7 として計算せよ。
(1)
ej 90°
(2) 2ej 25°÷ 4e-j 315°
(2) 2ej 45°
5.次の複素数 z の絶対値(大きさ) | z | を計算せよ
z=3+j4
(3) 4e-j 315°
信号理論
(金田)
1演-3解
第1回演習解答
複素数演習
1.以下の計算をして、答を 実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。
(1) (2+j 3)+(1+j 2)= 3 + j 5
(2) ( j )×( j ) = -1
3.次の複素数を、複素指数関数(極座標表示) r ej θ の形
で表せ。 (ただし、θは「度」で表せ。また√2=1.4 とせよ)
◇ 複素数 a+ j b から 複素指数関数 A e jθ への変換
A = √(a2+b2 ) θ=tan-1(b/a)
☆ただし、電卓などの計算結果では、
(3) ( 4+j )×( 3-j 3 ) = 12 - j12 + j3 + 3 = 15 - j 9
θは -90°<θ< 90°の範囲で得られる
(4) ( j )6 = (( j2 )3 ) = (( -1 )3 ) = -1
ので 、a <0 のときは、θに ±180° する
(5) ( 1 )÷( j ) = 1 / j (分母分子に j をかけると)
= j / ( j × j ) = j / (-1) = -j
(6) ( j ) -3 = 1 / ( j ) 3 = 1 / ( -j ) = ( j ) / ( -j × j ) = j
θの値が複素平面上で妥当なことを確認する
(1) ( 1 ) = 1+j 0 なので、a=1、b=0 に相当
よって、A=1、 θ=tan-1(0)=0° よって e j0°
(2) ( j )= 0+j 1 なので、a=0、b=1 に相当
よって、A=1、 θ=tan-1(1/0)=90° よって e j90°
【参考】 ( a+j b ) と、その複素共役 ( a - j b ) との積は
( a+j b )×( a - j b ) = a2+b2
と、簡単に計算できる。 (答は実数となるので、
複素数の分母の実数化に利用される)
2.以下の複素数を、実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。
ただし、sin45°=cos45°=0.7 として計算せよ。
【重要】 な オイラーの公式 ( 必ず覚えておくこと!)
e jθ = cosθ+ j sinθ
を利用する。
(1)
ej 90°= cos90°+j sin90°= j
(2) 2ej 45°= 2 ( cos45°+j sin45°)
= 2 ( √2/2 + j √2/2 ) = √2 + j √2 = 1.4 + j 1.4
(3) ( 1-j ) = 1+j (-1) なので、a=1、b=-1 に相当
よって、A=√2=1.4、 θ=tan-1(-1)=-45°
よって 1.4 e - j45°
(4) ( -1+j )= (-1)+j (1) なので、a=-1、b=1 に相当
よって、A=√2=1.4、 θ=tan-1(-1)=-45°
ただし、a <0 であるので、θに +180° する
よって 1.4e j135°
4.次の複素数の計算をせよ (答えは複素指数関数)
指数関数の積と商
e j θ1・A2 e j θ2
= A1・A2・e j (θ1+ θ2)
(商) A1 e j θ1/A2 e j θ2
=( A1 /A2 ) ・e j (θ1-θ2)
(積) A1
注: 実数の場合と同じ結果です
(3) 4e-j 315°
= 4 ( cos(-315°)+j sin(-315°))
= 4 ( √2/2 + j √2/2 ) = 2√2 + j 2√2 = 2.8 + j 2.8
注: - 315+360 =45 なので、-315°と45°は同じ角を表す。
(1) 2ej 25°× 4e-j 315°
= (2×4) ej (25-315)°= 8 e- j 290° (= 8
e j 70° )
(2) 2ej 25°÷ 4e-j 315°
= (2/4) ej (25-(-315) )°= 0.5 e j 340°(= 0.5 e- j 20°)
☆ 複素数の知識が不十分な人は、
「複素数のまとめ」 が、ホームページ
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ の
[授業]→[信号理論] にあるので、
再度勉強しておいてください
5.次の複素数 z の絶対値(大きさ) | z | を計算せよ
z=3+j4
複素数の絶対値(大きさ)は、
(実数部の2乗)+(虚数部の2乗)の平方根なので、
| z | =√32+42=√9+16=5
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田)
1宿-1
[ sin 関数の形の理解 ]
下記の表の空欄に,適切な文字式と数字を記入せよ。その結果を使って下記のグラフ y=sin(x) を完成させよ。
変数
x
sin(x)
変数
x
sin(x)
度
0°
30°
60°
90°
120°
ラジアン
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
分数
0
1/2
√3/2
1
√3/2
小数
0
0.5
0.87
1
0.87
度
210°
240°
270°
300°
330°
150°
180°
360°
ラジアン
分数
小数
◇ 関数の傾きは微分によって与えられる。 sin(x) の微分は,
d
sin( x)  cos( x)
dx
であるので, 例えば、x=0 での sin(x) の傾きは,cos(0)=1 である。
y
2
y = x の直線
x=π/2 で,y =π/2=1.6
1.5
x =π/2 では,傾きは0。 x=3π/2 でも同じ
1
0.5
0
x
-0.5
x = 0 では,傾きは 1
x=πでは、傾きは -1
x=2πでは ,傾きは 1
-1
-1.5
sin(x) = 0 となる点をはさんで,
sin(x) = ±0.5 までの範囲で,
ほぼ y=x の直線と一致する
-2
0
1

6
2 1 4


6 2 6

2
信号理論
(金田)
1宿-2
[ 正弦波 ]
時間を変数としたサイン(またはコサイン)関数は,正弦波と呼ばれる。
sin (2 f t )
T
時間
t
0
1
f
2
f
1.以下の文の ( ) をうめよ。
・ 時間 t を変数とした関数の図は,「波形」と呼ぶ。
・ 上記の sin( 2πf t ) の波形は,時間 T,または,f を使って表すと ①(
この f を ②(
) と呼び, T を ③(
・ 1秒間に同じ波形が ④(
) ごとに同じ波形をくり返す。
) と呼ぶ。
)回繰り返される。
・ ω= 2πf を使って, sin( ωt ) とも表される。 このωを ⑤(
) と呼ぶ。
・ sin( 2πf t +θ) と表されるとき,θは t=0 の時の( )の中の値であるが,このθを ⑥(
) と呼ぶ。
2. sin( 2πf t ) は,t の値が 0 から増加するに伴って ( )の中の値が増加し,
例えば,t の値が 1/(4f ) となると, 2πf t の値は π/2 となるので, sin( 2πf t ) =1 となる。
同様の考えで,t がどのような値をとると sin( 2πf t ) がどのような値をとるか,を示している以下の表の
空欄をうめよ。
t
0
1/(4 f )
2πf t
0
π/2
sin(2πf t)
0
1
π
3π/2
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
3.以下の式で表される波形を描け。
① sin(2πf t -π/2)
② 2・sin(4πf t)
1
0
1
t
1
f
0
t
1
f
信号理論
(金田)
1宿-2解
[ 正弦波 ]
時間を変数としたサイン(またはコサイン)関数は,正弦波と呼ばれる。
sin (2 f t )
T
時間
t
0
1
f
2
f
1.以下の文の ( ) をうめよ。
・ 時間 t を変数とした関数の図は,波形と呼ぶ。
T
・ 上記の sin( 2πf t ) の波形は,時間 T,または,f を使って表すと ①( 1/f ) ごと
に同じ波形をくり返す。 この f を ②( 周波数 ) と呼び, T を ③( 周期 ) と呼ぶ。
・ 1秒間に同じ波形が ④( f )回繰り返される。
・ ω= 2πf を使って, sin( ωt ) とも表される。 このωを ⑤( 角周波数 ) と呼ぶ。
・ sin( 2πf t +θ) と表されるとき,θは t=0 の時の( )の中の値であるが,このθを
⑥( 位相 ) と呼ぶ。
2. sin( 2πf t ) は,t の値が 0 から増加するに伴って ( )の中の値が増加し,
例えば,t の値が 1/(4f ) となると, 2πf t の値は π/2 となるので, sin( 2πf t ) =1 となる。
同様の考えで,t がどのような値をとると sin( 2πf t ) がどのような値をとるか,を示している以下の表の
空欄をうめよ。
t
0
1/(4 f ) 2/(4 f ) 3/(4 f ) 4/(4 f ) 5/(4 f ) 6/(4 f ) 7/(4 f ) 8/(4 f )
2πf t
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
sin(2πf t)
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
t = 1/f = T で, 2πf t =2π だから
1/f = T は周期になる
3.以下の式で表される波形を描け。
① sin(2πf t -π/2)
1
f
0
② 2・sin(4πf t)
= 2・sin(2π(2f) t)
1
t
0
1
f
t
1/f
1/(4f)
sin(2πf t) が 1/4 周期右に移動
・ π/2 → 1/4 周期
・ 2πf t -π/2=0 → t=1/(4f)
周期
周波数2倍
⇒ 周期は1/2
振幅は2倍
信号理論
(金田)
2説-1
[ パラメータ ]
y
y  a x b
例1) 直線のパラメータ
y  a x b
直線の式:
パラメータは2つ。 a と b
a
b
x
b: 切片 (x=0 における y の値 )
a: 直線の傾き。 x が 0 から 1 に増えたときの
y の増加量
0
1
2つのパラメータ a と b の値がわかれば,直線が描ける。
※ 直線は,2点を定めれば描ける,ということと等価
(x,y) が (0,b), (1,a+b) の2点
y
例2) 2次曲線のパラメータ
2次曲線の式:
y  a  x2  b  x  c
パラメータは3つ。 a と b と c
2つのパラメータ a と b の値がわかれば, 2次曲線が描ける。
◇ 別の3つのパラメータもある
y  a  (x  )  (x   )
a と α と β の3つ
ただし,α と β は,
の解
a  x2  b  x  c  0
b
0
信号理論
(金田)
2説-2
[ 関数の平行移動 (1/2) ]
図1
f(t)
図2
f(t-τ)
τ
f(t-τ) は、f(t) を
f(0)
右側に「τ」移動したもの
f(0)
t
τ
0
t
τ
0
(タウ)
・ 信号
f(t) は、t =0 の時 、 値 f(0) となる。(図1)
・ 信号 f(t-τ) は、t =τ の時 (t =τを代入すると)、
( )の中は 0 となり,値 f(0) となる。(図2)
「右側にτ」 移動したものである。
・ したがって、f(t-τ) は、f(t) を
f(t +τ) は、f(t) を
左側に「τ」移動したもの
図3
f(t)
図4
f(t +τ)
τ
f(0)
f(0)
t
0
・ 同様に,f(t
t
-τ
0
+τ) は、t =-τ で、 f(t) が t=0 の時の値をとるので,
f(t) を 「左側にτ」 移動したものとなる。
信号理論
(金田)
2説-3
[ 関数の平行移動 (2/2) ]
① sin(x) と sin(x - π/2)
sin(x - π/2)
sin(x)
・ 右に π/2 移動
・ x=π/2 で,( ) の中が0になり、
sin(0) の値を取るから
x
π
2π
2π
π
π/2
② sin( ωt ) と sin( ωt - π/2)
sin( ωt - π/2)
・ 右に π/(2ω) 移動
・ t = π/(2ω) で,( ) の中が0になり、
sin(0) の値を取るから
sin(ωt )
t
t
π/ω
x
π/ω
2π/ω
=1/ f
π/(2ω)
2π/ω
=1/ f
・ 横軸の値に注意
・ t が,2π/ω (= 1/f = T ) になったとき
sin の ( ) の中は 2π になる。
→ 2π/ω (= 1/f = T ) が1周期
③ sin( ωt ) と sin( ω( t - τ) )
sin(ω( t - τ) )
sin( ωt )
・ 右に τ 移動
・ t =τ で,( ) の中が0になり、
sin(0) の値を取るから
t
x
τ
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田)
2演-1
[ 正弦波の表現1と表現2 ]
1. 正弦波の表現を2種類示せ
2.以下の2つの正弦波形について,
波形 (a)(b) を, A・sin( 2πf t +θ) として表すとき,f,A,θ を求めよ。
波形(a): f =
, A=
, θ=
波形(b): f =
, A=
, θ=
波形
(a)
波形
(b)
1
1
t
-1
t
-1
1(秒)
( 続きは 裏面 )
1/6
0.5
1(秒)
3.次の正弦波の表現1: A・sin( 2πf t +θ) を、表現2: a・cos(2πf t )+b・sin(2πf t ) に変更せよ
(1) sin( 2πf t +π/2) →
(2) sin( 2πf t +π/6) →
(3) 2・sin( 2πf t -π/3) →
※ 質問事項(本日の授業でわかりにくかったこと)、
および、この授業に対する感想・意見・要望などあれば、記入してください。
信号理論
(金田)
2演-2
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田)
2宿-1
問1.次の周波数の正弦波の式を示して、グラフを描け。ただし、すべて、振幅は1、位相は 0 とせよ。
[ この問題は基本的な問題なので、必ず、理解して解けるようにしておくこと]
(1) 周波数が 100Hz の正弦波
(式)
1
0
時間
t
10ms
5
横軸は時間軸で、
1目盛が 1ms(ミリ秒)
-1
(2) 周波数が 500Hz の正弦波
(式)
1
0
5
-1
問2.正弦波は、
表現1: 振幅Aと位相θを使った表現
表現2: cos と sin の和を使った表現
で表すことができる。次の表現2から表現1を求めよ。
(1) cos(2πf t) + sin(2πf t)
(2) √3・cos(2πf t) + sin(2πf t)
時間
t
10ms
問3.
同じ周波数の、2つの正弦波の和は、1つの正弦波になる
信号理論
(金田)
2宿-2
このことを作図により確かめる。
下のグラフは cos( 2πf t) と sin(2πf t ) を表している(f=1 の場合) 。
これより、 cos( 2πf t) + sin(2πf t ) のグラフを作図せよ。
(あまり、ていねい・厳密にやる必要は無い。おおまかな形がわかればよい)
※ 各時間において、縦方向に2つのグラフの値を加算した値の点を記入して、それをつなげばよい。
※ 描いたグラフと、問2(1) の計算結果を比較せよ。同じ結果になっているか?
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
sin( 2πf t)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
時間
t
0.1
0
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
cos( 2πf t)
-0.8
-0.9
-1
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
-1.6
-1.7
-1.8
-1.9
-2
0 0.020.040.060.08 0.1 0.120.140.160.18 0.2 0.220.240.260.28 0.3 0.320.340.360.38 0.4 0.420.440.460.48 0.5 0.520.540.560.58 0.6 0.620.640.660.68 0.7 0.720.740.760.78 0.8 0.820.840.860.88 0.9 0.920.940.960.98 1
問4. 複素数 z =a+ j b (ただし、a、b は実数) と、その共役複素数 z* の和と差、 z+z* と z-z*
を、a、b を使って表せ。
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