2005年6月2日
統計力学の基礎
計算科学科4年 橋 知史
統計力学とは
系のミクロの物理法則を基に、
マクロの性質を導き出すための学問
• 例えば1モルの気体の粒子の動き(位置や運動量など)を
運動方程式を解いて求めるのは到底無理
• 解いてもあまり意味がない
位相空間
古典力学では、
粒子の状態は 運動量
p
座標
を指定することで決まる。
位相空間
( p, q)
を考える
1粒子系の位相空間をμ空間、
多粒子系の位相空間をΓ空間という
q
確率密度
( p, q)
から ( p  dp, q  dq)
の範囲にある確率を考え、
f ( p, q)dpdq として位相空間の確率密度を定義す
ると物理量の期待値が計算できる。
f ( p, q)
を分布関数という
粒子が多数の場合
粒子が多数の場合、位相空間は
( p1 , p2 ,, pN , q1 , q2 ,, qN )
位相空間の体積
d  dp1dp2 dpN dq1dq2 dqN
ただし、粒子数 N とする
エルゴート仮説
温度Tが一定でも、いろいろな系の状態がある。
系の状態を集めたものがアンサンブル
エルゴード仮説:
アンサンブル平均=長時間平均
すなわち、時間平均を取る代わりに確率平均で
置き換えることができる。
アンサンブルの種類
ミクロカノニカルアンサンブル:
エネルギー、粒子数が一定の系の集団
カノニカルアンサンブル:
粒子数は一定であるが、エネルギーは一定でない。
温度が一定の系。
グランドカノニカルアンサンブル:
粒子数も内部エネルギーも一定でない。
化学ポテンシャルと温度が一定。
ミクロカノニカルアンサンブル
エネルギーE(E<H(p,q)<E+ΔE),体積V ,粒子数N を
持つ孤立系を考える(Hはハミルトニアンといい、全エネ
ルギーをp,qで表した関数)
この系が熱平衡状態になっていると考えると、特定の
微視的状態が他の微視的状態よりも大きな実現確率を
持つだろうと考えるべき積極的な理由がない
そこで次の等重率の原理を考える。
等重率の原理
孤立系の熱平衡状態では
Eが同じなら実現確率は等しい
微視的状態の実現確率がこのように一定
の値になるアンサンブルをミクロカノニカル
アンサンブルと呼ぶ
位相空間においてEとE+ΔEの等エネルギー面を
考えた場合、それに挟まれる体積内の状態が
実現される確率は体積に比例する。
p
E  E
E
実際にはもっと次元が大きく、
粒子数N、で3次元なら、
p,q合わせて6N次元
q
分配関数
エネルギーのやり取りがあるカノニカル分布では
エネルギーがEになる確率は
E
exp(
)
k BT
に比例する
(高温ではどのエネルギーも
同程度、低温では低いエネル
ギーが確率高い)
Zを規格化因子とすると物理量Aの期待値は
Ei
1
A   Ai exp(
)
Z i
k BT
Ei
Z   exp(
)
k BT
i
Ai は状態iでの物理量Aの値
を分配関数と呼ぶ
分配関数の性質
• 色々な量の平均を出す時の規格化因子
• 微分を用いると様々な物理量の期待値が得られる。
例えば
E
Z   exp( i )
k BT
i
 log Z



1
K BT

 ( E ) exp(E )
i
i
i
Z
 E
とおくと
一般の物理量に対してはハミルトニアンに-aAをつけて
Z (a)   exp( ( Ei  aAi ))
i
d log Z (a)
A 
d (a ) a 0
とすれば求まる。
参考文献
• 物理学基礎シリーズ 4 熱・統計力学
宮下誠二 培風館
• http://soliton1.ph.sci.toho-u.ac.jp/sm.pdf
• http://www.ph.sophia.ac.jp/~tomi/kougi_no
te/stat_phys.pdf
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