碓氷軽井沢 IC 数学教育研究所
定数係数非斉次線形微分方程式 2階微分方程式の研究_6
d2 y
dy
+a +by = R(x)(a, b は定数) 2
dx
dx
例 6 次の微分方程式の一般解を求めよ。
(1) d2 y
d2 y
dy
dy
+ 2y = e4x sin x (2) 2 − 6
+ 13y = e3x cos x
−3
2
dx
dx
dx
dx
(解)
(1) 非斉次微分方程式
y′
′
− 3y ′
+ 2y = e4x sin x · · · 1
に対し、斉次微分方程式
y′
′
− 3y ′
+ 2y = 0 · · · 2
(2) 非斉次微分方程式
y′
′
− 6y ′
+ 13y = e3x cos x · · · 3
に対し、斉次微分方程式
y′
′
− 6y ′
+ 13y = 0 · · · 4
を考えると、
4 の特性方程式は
を考えると、
2 の特性方程式は
λ2 − 6λ + 13 = 0
λ2 − 3λ + 2 = 0 (λ − 1)(λ − 2) = 0
∴ λ = 3 ± 2i
ゆえに
4 の一般解は
∴ λ = 1 , λ = 2
ゆえに
2 の一般解は
y = C1 ex + C2 e2x (C1 , C2 は任意定数)
である。次にこれと
1 の右辺から
1 の特殊解の1つを
y = e4x (p sin x + q cos x) と予想すると
y′
= 4e4x(p sin x+q cos x)+e4x(p cos x−q sin x)
y′
=
′16e4x(p sin x+q cos x)+4e4x(p cos x−q sin x)
+4e4x(p cos x−q sin x)+e4x(−p sin x−q cos x)
= 15e4x(p sin x+q cos x)+8e4x(p cos x−q sin x)
これらを
1 に代入して
15e4x (p sin x + q cos x) + 8e4x (p cos x − q sin x)
−3{4e4x(p sin x+q cos x)+e4x(p cos x−q sin x)}
+2e4x (p sin x + q cos x) = e4x sin x
∴ (5p − 5q)e4x sin x + (5p + 5q)e4x = e4x sin x
5p − 5q = 1
5p + 5q = 0
1
1
これを解いて、p = 10
, q = − 10
よって、
1 の1つの解は
1
1
4x
sin x −
cos x
y=e
10
10
ゆえに求める一般解は
1
y = e4x (sin x−cos x)+C1 ex +C2 e2x 〃
10
(C1 , C2 は任意定数)
y = e3x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
(C1 , C2 は任意定数)
である。次にこれと
3 の右辺から
3 の特殊解の1つを
y = e3x (p sin x + q cos x) と予想すると
y′
= 3e3x(p sin x+q cos x)+e3x(p cos x−q sin x)
y′
′
= 9e3x(p sin x+q cos x)+3e3x(pcosx−q sin x)
+3e3x(p cos x−q sin x)+ e3x(−psinx−q cos x)
= 8e3x(p sin x+q cos x)+6e3x(p cos x−q sin x)
これらを
3 に代入して
8e3x (p sin x + q cos x) + 6e3x (p cos x − q sin x)
−6{3e3x(p sin x+q cos x)+e3x(p cos x−q sin x)}
+13e3x (p sin x + q cos x) = e3x cos x
∴ 3e3x (p sin x + q cos x) = e3x cos x
3p = 0
3q = 1
これを解いて、p = 0 , q =
よって、
3 の1つの解は
y=
1
3
1 3x
x cos x
3
である。ゆえに求める一般解は
1
cos x+C1 cos 2x+C2 sin 2x
y = e3x
3
(C1 , C2 は任意定数)
〃
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定数係数非斉次線形微分方程式 d y dx2 +a dy dx +by=R(x)(a, b は定数)