Bi-CR法の積型解法への
準最小残差アプローチの適用
南 さつき、曽我部知広、杉原正顯、張紹良
東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻
発表の流れ
1. 研究の背景
大規模線型方程式の数値解法(Krylov部分空間法)
2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用
・ Bi-CG法系統への適用:TFQMR法、QMRCGSTAB法
・ Bi-CR法系統への適用:各解法
3. 数値実験
4. まとめと今後の課題
連立一次方程式の数値解法
Krylov部分空間法
A  AH
CG法
A  AH
Bi-CG法
積型解法
Bi-CR法
CR法
積型解法
MINRES法
GMRES法
Krylov部分空間法
Krylov部分空間:
1.基底
を生成
基底アルゴリズム
(ランチョス原理、アーノルディ原理・・・)
2.近似解を構成
残差条件
(Ritz-Galerkin条件、残差最小条件・・・)
研究概要
PGアプローチ
+
各積型解法の条件
QMRアプローチ
+
QMRアプローチ
双ランチョス原理
×
積型部分
CGS法
Bi-CGSTAB法
GPBi-CG法
TFQMR法
QMRCGSTAB法
A-双直交原理
×
積型部分
CRS法
Bi-CRSTAB法
GPBi-CR法
残差条件
基底
新たな解法
Bi-CR法の積型解法
定義:
 Bi-CR部分:残差多項式
 積型部分:加速多項式
Bi-CR法の積型解法
基底アルゴリズム
定義:
 Bi-CR部分: A – 双直交原理
:A-双直交原理の中で計算される
(n+1)×nの三重対角行列
 積型部分:積型原理
:積型部分により計算される
(n+1)×nの三重対角行列
Bi-CR法の積型解法
残差条件
定義:
 Bi-CR部分:Petrov-Galerkinアプローチ
 積型部分:各解法の条件
Bi-CR法の積型解法への
QMRアプローチの適用
基底アルゴリズム
残差条件
Bi-CR部分
Bi-CR部分
A-双直交
Bi-CR法の
原理
積型解法の
基底
積型部分
アルゴリズム
Petrov-Galerkin
アプローチ
QMR
アプローチ
積型原理
積型部分
各積型解法
の条件
Bi-CR法の
新しい解法
積型解法
Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用
基底アルゴリズムの式
A-双直交原理
積型原理
基底アルゴリズム:
:対角要素
、下対角要素に
を持つ(m+1)×m下三重対角行列
Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用
QMRアプローチ
基底アルゴリズム:
残差条件:準最小残差アプローチ
近似解
残差
擬似残差
Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用
各解法の定義
パラメータ
の選び方によって各解法が導かれる
の選び方
TFCRQMR法
QMRCRSTAB法
QMRGPBi-CR法
QMRアプローチ
Bi-CR法の積型解法
(Second QMR and update iterate)
(First QMR and update iterate)
各解法の分類
(First QMR and update iterate)
(Second QMR and update iterate)
各解法の分類
の計算
TFCRQMR法
QMRCRSTAB法
QMRGPBi-CR法
実験環境
CPU
メモリ
コンパイラ
行列 初期解 ベクトル 右辺ベクトル 収束判定
解法
Intel (R) Xeon (TM) 2.66GHz
512MB
Fortran77 倍精度
Matrix Market
0
と同じ
CGS、TFQMR、CRS、TFCRQMR
実験結果 – Matrix Market
CGS
Iter.
TRR
add20
474
-9.6
bfw398a 235
-8.3
bfw782a 394
-7.8
cavity17 6714 -2.7
fidap001 1057 -6.2
fidap022 2350 -5.8
fidap037
73
-12.2
orsirr2
×
-1.9
pde2961 309
-3.2
pde900
137
-4.8
sherman4 165 -10.2
sherman5 2151 -6.7
TFQMR
Iter.
TRR
×
-9.5
×
-8.2
×
-9.5
×
-0.3
×
-6.7
×
-4.2
71
-12.1
×
-5.4
×
-3.2
×
-4.8
×
-10.1
×
-5.1
CRS
Iter.
TRR
419 -11.9
185 -10.9
321
-7.8
7085 -6.4
703 -10.7
1775 -11.5
71
-13.0
1214 -8.1
273
-7.9
128
-6.9
151 -10.3
1944 -7.8
TFCRQMR
Iter.
TRR
388 -11.9
×
-10.8
×
-11.3
×
-7.6
×
-11.7
×
-11.1
68
-12.2
×
-9.7
×
-7.4
×
-6.6
×
-10.3
×
-10.1
Matrix Market
SHERMAN5:油層シミュレーション
Size
3312
Non Zeros
Type
20793
real unsymmetric
Matrix Market
SHERMAN5:油層シミュレーション
CGS
-6.7
TRR
TFQMR
CRS
-5.1
-7.8
6
TFCRQMR
-10.1
CGS
TFQMR
CRS
TFCRQMR
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
0
500
1000
1500
Iteration No.
2000
2500
まとめ


QMRアプローチをBi-CR法の積型解法に適用す
る一般的な方法を示した
数値実験よりTFCRQMR法は
・ 他の3解法に比べて高い精度
・ CRS法よりも滑らかな収束性
・ CRS法と比べてより正確に真の相対残差の
振る舞いを反映
を示した
今後の課題

QMRCRSTAB法・QMRGPBi-CR法に
ついても数値実験を行い、性能評価
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